2021年中考数学压轴题题型组合卷.doc

2021年中考数学压轴题题型组合卷

2021年中考数学压轴题题型组合卷

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中考压轴题·题型组合卷（一）
（满分：30分）
一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）
1.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（　　）

A． B． C． D．

2.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点D从A出发以每秒个单位的速度向点B运动，同时点E从点B出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在DE的右侧作∠DEF＝∠B，交直线AC于点F，设运动的时间为t秒，则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，t的值为　 ．

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
3.【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　 　三角形；∠ADB的度数为　 　．
【问题解决】
在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；
【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为　 　．

4.如图，抛物线y＝﹣x2+（3m+1）x﹣m（m＞且为实数）与x轴分别交于点A、B（点B位于点A的右侧且AB≠OA），与y轴交于点C．

（1）填空：点B的坐标为　 　 ，点C的坐标为　 　（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝3时，在直线BC上方的抛物线上有一点M，过M作x轴的垂线交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在第四象限内是否存在点P，使得△PCO，△POA和△PAB中的任意两三角形都相似（全等是相似的特殊情况）？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案
一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）
1.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意找到临界点，E、F分别同时到达D、C，画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，
∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°
∵EF两点的速度均为1cm/s
∴当0≤x≤2时，y＝•AE•DF•sin∠CDB＝x2，
当2≤x≤4时，y＝，
由图象可知A正确．
故选：A．
2.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点D从A出发以每秒个单位的速度向点B运动，同时点E从点B出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在DE的右侧作∠DEF＝∠B，交直线AC于点F，设运动的时间为t秒，则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，t的值为　或或　．

【分析】当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD＝AF，由题意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，推出四边形BEFD是平行四边形，由△ABC∽△BED，可得＝，延长构建方程即可解决问题；
【解答】解：当点F在线段AC上时，如图1，过A作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝，
∴BG＝CG＝2，
由勾股定理得：AG＝＝1，
由图形可知：∠BAC是钝角，
∴当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD＝AF，

由题意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴∴DEF＝∠BDE＝∠B，
∴△ABC∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∴t＝，
②当点F在CA的延长线上，AD＝AF时，

易知△BDE∽△CEF，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝t．
∴+t＝t，
∴t＝．
③当点F在CA的延长线上，AD＝DF时，作DN⊥AF于N，BM⊥CF于M．

设AM＝x，则42﹣（x+）2＝（）2﹣x2，
∴x＝，
∵DN∥BM，
∴＝，
∴AN＝t，
∵DA＝DF．DN⊥AF，
∴AF＝2AN＝t
∴+t＝，
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或．
故答为或或．

二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
3.【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　等边　三角形；∠ADB的度数为　30°　．
【问题解决】
在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；
【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为　7+或7﹣　．
【分析】【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形；
②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．
【问题解决】当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．
【拓展应用】第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；
第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，
在△ABD和△ABD′中，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，
∵BD＝BD′，BD＝BC，
∴BD′＝BC，
∴△D′BC是等边三角形，

②∵△D′BC是等边三角形，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，
在△AD′B和△AD′C中，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°．
故答案为：等边，30°；
【问题解决】∵∠DBC＜∠ABC，
∴60°＜α≤120°，
如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，
同（1）①可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），
∵α+β＝120°，
∴∠D′BC＝60°，
由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°．
【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，

由（2）知，∠ADB＝30°，
作AE⊥BD，
在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，
∴DE＝，
∵△BCD'是等边三角形，
∴BD'＝BC＝7，
∴BD＝BD'＝7，
∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；
第②情况：当0°＜α＜60°时，
如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．

同理可得：∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣α），
同（1）①可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，
∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β），
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．
同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B＝∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，
∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2，
∴DE＝，
∴BE＝BD+DE＝7+，
故答案为：7+或7﹣．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

4.如图，抛物线y＝﹣x2+（3m+1）x﹣m（m＞且为实数）与x轴分别交于点A、B（点B位于点A的右侧且AB≠OA），与y轴交于点C．

（1）填空：点B的坐标为　（3m，0）　，点C的坐标为　（0，﹣m）　（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝3时，在直线BC上方的抛物线上有一点M，过M作x轴的垂线交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在第四象限内是否存在点P，使得△PCO，△POA和△PAB中的任意两三角形都相似（全等是相似的特殊情况）？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）令x＝0，或y＝0，可求B，C坐标
（2）求出BC解析式，设M（a，﹣a2+a﹣3），则N（a，a﹣3），用a表示MN的长度，根据二次函数最值问题可求MN的最大值．
（3）由O，A，B都在x轴上，且要使△PCO，△POA，△PAB中的任意两个三角形均相似，则三个三角形都是直角三角形．可得PA⊥x轴．分∠OPC＝90°和∠OCP＝90°，分两种情况讨论，根据相似三角形所得的线段比可求P点坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣m．
∴C（0，﹣m）；
令y＝0，则0＝﹣x2+（3m+1）x﹣m，
∴x1＝1，x2＝3m，
且m＞，
∴A（1，0），B（3m，0）；
（2）当m＝3时，则抛物线解析式y＝﹣x2+x﹣3；
∴C（0，﹣3），B（9，0），
∴直线BC解析式y＝x﹣3；
设M（a，﹣a2+a﹣3），则N（a，a﹣3），
∴MN＝﹣a2+a﹣3﹣a+3＝﹣a2+3a，
∴当a＝时，MN的最大值为；
（3）∵O，A，B都在x轴上，
∴要使△PCO，△POA，△PAB中的任意两个三角形均相似，则三个三角形都是直角三角形．
∴PA⊥x轴．∠OPB＝90°，
如图1，

当∠OCP＝90°，且AO⊥CO，PA⊥AB，
∴四边形OACP是矩形，
∴OA＝CP＝1，OC＝AP＝m；
∵△POA∽△BPA，
∴，
∴m2＝（3m﹣1）×1，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m1＝，m2＝，
∴P（1，﹣）或（1，﹣）；
如图2，

当∠OPC＝90°，且∠OPB＝90°，
∴点B，点P，点C共线．
∵△OCP∽△POA，
∴；
∴OP2＝AP×OC，
∵∠OAP＝∠OPB＝90°，∠BOP＝∠BOP，
∴△POA∽△BOP，
∴，
∴OP2＝OA×OB，
∴AP×m＝1×3m，
∴AP＝3，
∴P（1，﹣3），
综上所述：P（1，﹣3），（1，﹣），（1，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的最值，相似三角形，利用相似三角形所得线段比例是本题的关键．