2019年全国中考数学真题分类汇编40：直线与圆的位置关系.doc

直线与圆的位置关系
一、选择题
1.（2019年重庆市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC＝40°，
∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；
故选：C．
2. （2019年云南省）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ）
A.4 B.6.25 C.7.5 D.9
【考点】切线的性质、勾股定理、正方形的判定
【解答】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，故选A
3.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（　　）

A．2 B．2 C．3 D．4
【考点】切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义
【解答】解：∵⊙O与AC相切于点D，
∴AC⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵AD＝OD，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠C＝∠ADO＝90°，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝×6＝2；
故选：A．
4.（2019年乐山市）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）
图5

【考点】切线的性质、二次函数的性质、勾股定理
【解答】因为抛物线与轴交于、两点，所以A（-4,0），B（4,0），即OA=4.
又因为P在圆C上，且半径为2，即CP=2,OC=3，Q是AP上的中点.所以当AP与圆C相切时OQ最大。可得∠APC=90°，连接AC，在Rt△ACO中由勾股定理得AC=5，连接BC，可知BCP在同一直线上，所以BP=BC+CP=7，因为Q为AP中点，O为AB中点，所以OQ=BP=.
5. （2019年江苏省苏州市）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．

【考点】圆的切线性质、三角形的内角和
【解答】切线性质得到

故选D
6. （2019年浙江省杭州市）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5

【考点】圆的切线长性质
【解答】因为PA和PB与⊙相切，所以PA＝PB＝3
故选B
二、填空题
1. （2019年山东省菏泽市）如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是　 　．

【考点】切线的判定和性质、一次函数、相似三角形的判定和性质
【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝，
∴P（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．

2. (2019年浙江省温州市)如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于　　度．

【考点】切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理
【解答】解：连接OE，OF

∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F
∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°
∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF
∴∠EPF＝57°
故答案为：57°
3. （2019年湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　 　．

【考点】切线的性质，圆周角定理
【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．
4. （2019年湖北省荆州市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为　 　．

【考点】切线的性质、相似三角形的判定与性质
【解答】解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，
∴AB⊥BD，
∴AB＝＝＝8，
当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC，
∴EP经过圆心O，
∴AP＝AO＝4；
当∠APE＝90°时，则EP∥BD，
∴＝，
∵DB2＝CD•AD，
∴CD＝＝＝3.6，
∴AC＝10﹣3.6＝6.4，
∴AE＝3.2，
∴＝，
∴AP＝2.56．
综上AP的长为4和2.56．
故答案为4和2.56．
5.（2019年内蒙古包头市）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为　 　．

【考点】切线的性质、相似三角形的判定与性质
【解答】解：连接CD、OC，如图：
∵AC与⊙O相切于点C，
∴AC⊥OC，
∵∠CAB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠ABC＝∠CBO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°＝∠CAB，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24，
∴BC＝＝2；
故答案为：2．

三、解答题
1.(2019年天津市)已经PA,PB分别与圆O相切于点A，B，∠APB=80°，C为圆O上一点.
（I） 如图①，求∠ACB得大小；
（II） 如图②，AE为圆O的直径，AE与BC相交于点D，若AB=AD，求∠EAC的大小.

【考点】切线的性质、圆内有关性质
【解答】（I）如图，连接OA，OB
∵PA,PB是圆O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB
即：∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=80°
∴在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°
∵在圆O中，∠ACB=∠AOB
∴∠ACB=50°

（II）如图，连接CE
∵AE为圆O的直径
∴∠ACE=90°
由（1）知，∠ACB=50°，∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°
∴∠BAE=∠BCE=40°
∵在△ABD中，AB=AD
∴∠ADB=∠ABD=
又∠ADB是△ADC的一个外角，有∠EAC=∠ADB-∠ACB
∴∠EAC=20°

2. （2019年北京市）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．

【考点】切线的判定、圆内有关性质、全等三角形的判定
【解答】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴，∴AD=CD
（2） 解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt△CDF和Rt△CMF中
，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
3. （2019年四川省广安市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．

【考点】切线的判定和性质、圆内有关性质、勾股定理、三角函数、相似三角形
【解答】（1）证明：∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴AE的中点是圆心O，
连接OD，则OA＝OD，
∴∠1＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
∴，即，
∴r＝，
在Rt△BDO中，BD＝＝＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，
在Rt△ACD中，tan∠2＝＝＝，
∵∠3＝∠2，
∴tan∠3＝tan∠2＝．

4. （2019年乐山市）如图，直线l与⊙相离，于点，与⊙相交于点，.是直线l上一点，连结并延长交⊙于另一点，且.
图13
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若⊙的半径为，求线段的长.
【考点】切线的判定和性质、圆内有关性质、勾股定理、相似三角形
【解答】 证明：(1)如图，连结，则，
，
，，
而，即，
，
即，
，
，
故是⊙的切线；
(2)由(1)知：，
而，，
由勾股定理，得：，
过作于，则，
在和中，
，，
∽，
，
又，，
，
，.
5. （2019年山东省滨州市）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．

【考点】切线的判定和性质、圆内有关性质、扇形面积、相似三角形
【解答】解：（1）如图所示，连接OD，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，
∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，
则DB＝DC＝，
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，
而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，
∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；
（3）连接OE，
∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，
∴∠AOE＝120°，
S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，
S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．
6. （2019年山东省菏泽市）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：∠ABG＝2∠C；
（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．

【考点】切线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵BF⊥GE，
∴OE∥AB，
∴∠A＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABG＝∠A+∠C，
∴∠ABG＝2∠C；
（2）解：∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵GF＝3，GB＝6，
∴BF＝＝3，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴＝，
∴＝，
∴OE＝6，
∴⊙O的半径为6．

7. （2019年山东省济宁市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．

【考点】切线的判定和性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、建模思想
【解答】解：（1）∵D是的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴tanC＝tan∠ODB＝＝，
∴设HF＝3x，DF＝4x，
∴DH＝5x＝9，
∴x＝，
∴DF＝，HF＝，
∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，
∴△DFH∽△CFD，
∴＝，
∴CF＝＝，
∴AF＝CF＝，
设OA＝OD＝x，
∴OF＝x﹣，
∵AF2+OF2＝OA2，
∴（）2+（x﹣）2＝x2，
解得：x＝10，
∴OA＝10，
∴直径AB的长为20．

8. （2019年山东省枣庄市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．

【考点】切线的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、建模思想
【解答】（1）证明：连接OC．
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（4﹣r）2＝r2+22，
∴r＝1.5，
∵tan∠E＝＝，
∴＝，
∴CD＝BC＝3，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝3．
∴圆的半径为1.5，AC的长为3．
9. （2019年四川省达州市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．

【考点】切线的判定和性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质
【解答】解：（1）DF与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴＝，
∴BD＝．

10. （2019年四川省资阳市）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．

【考点】切线的性质、垂径定理、切线长定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【解答】解：（1）∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BAP＝30°；
（2）作OD⊥AB于D，如图所示：
则AD＝BD＝AB，
由（1）得：△APB是等边三角形，
∴AB＝PA＝1，
∴AD＝，
∵∠BAC＝30°，
∴AD＝OD＝，
∴OD＝，
即求点O到弦AB的距离为．

11. （2019年云南省）如图，B是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是OC上的点，且DE2＝DB· DA.延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED
（1）求证：△DEB∽△DAE；
（2）求DA，DE的长；
（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.

【考点】勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数
【解答】（1）证明：DE2＝DB·DA，
∴
又∵∠BDE＝∠EDA，
∴△BED∽△DAE
（2） 解：∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AF.
又∵AE=EF；BF=10
∴AB=BF=10，
∴ADEB ∽△DAE，cos ∠BED=
∴∠EAD=∠BED,cos ∠EAD =cos ∠BED=
在Rs△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝,得AE=ABcos∠EAD=8，
∴
∴△DEB ∽△DAE
∴
∵DB=DA-AB=DA-10
∴,解得
经检验，是的解。
∴
（3）解：连接FM.
∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，
∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径.
∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，
∴点M在以BF为直径的圆上
∴FM⊥AB
在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝得
AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×＝
∴MD＝DA－AM＝
∴MD＝
12.（2019年广西贵港市）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA=2，PC=4，求AE的长．
【考点】切线的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO=∠OCE=90°，
∵OE⊥OA，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°，
∴∠BAO=∠COE，
∴△ABO∽△OCE，
∴ABOC=OAOE，
∵OB=OC，
∴ABOB=OAOE，
∵∠ABO=∠AOE=90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO=∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO=∠AFO=90°，
在△ABO与△AFO中，∠BAO=∠FAO∠ABO=∠AFOAO=AO，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF=OB，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，
∴AF2=AP•AC，
∴AF=2(2+4)=23，
∴AB=AF=23，
∵AC=6，
∴BC=AC2-AB2=26，
∴AO=AB2+OB2=3，
∵△ABO∽△AOE，
∴AOAE=ABOA，
∴3AE=233，
∴AE=332．
13. （2019年广西贺州市）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求AC的长度．

【考点】切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质
【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，
∴AF⊥OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠F＝30°，
∴∠F＝∠DBC，
∴AF∥BC，
∴OA⊥BC，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝30°；
（2）∵OA⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝4，
∴AB＝AC，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴OE＝OB，BE＝OE＝4，
∴OE＝，
∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．
14.（2019年江苏省泰州市）E
D
C
B
A
O
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，AB=8，求CE的长.
【考点】切线的判定，相似三角形的判定和性质
【解答】（1） DE为⊙O的切线，
理由：连接OD，
∵AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，
∴弧AD=弧CD,
∴∠AOD＝∠COD＝90°，
又∵DE∥AC，
∴∠EDO＝∠AOD＝90°，
∴DE为⊙O的切线.
(2)解：∵DE∥AC，
∴∠EDO＝∠ACD,
∵∠ACD＝∠ABD,
∵∠DCE＝∠BAD,
∴△DCE∽△BAD，

∴

∵半径为5，∴AC＝10，
∵ D为弧AC的中点，
∴AD＝CD＝5

∴

∴CE＝
15.（2019年江苏省扬州市）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB。
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点。
①求∠AQB的度数；
②若OA=18，求弧AmB的长。

【考点】直线与圆的位置关系，扇形的弧长，圆心角于圆周角关系、等腰三角形
【解答】解（1）连接OB
∵CP=CB
∴∠CPB=∠CBP
∵OA⊥OC
∴∠AOC=90°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵∠PAO+∠APO=90°
∴∠ABO+∠CBP=90°
∴∠OBC=90°
∴BC是⊙O的切线
（2）①∵∠BAO=25° OA=OB
∴∠BAO=∠OBA=25°
∴∠AOB=130°∴∠AQB=65°
②∵∠AOB=130° OB=18
∴l弧AmB=（360°-130°）π×18÷180=23π
16.（2019年湖北省十堰市）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．

【考点】圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质
【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵∠CDE＝∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，
∴AD＝＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝，即＝＝
∴DE＝4，x＝，
∴AC＝3x＝14，
∴⊙O的半径为7．

17.（2019年陕西省）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线，作BM＝AB，并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：AB＝BE；
(2)若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．
【考点】圆的切线的性质、相似三角形的判定和性质
【解答】(1)证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠EAM＝90°，
∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°.
又∵AB＝BM，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE
(2)解：连接BC
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°
在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，
∴BC＝8
由(1)知，∠BAE＝∠AEB，
∴△ABC∽△EAM
∴∠C＝∠AME，＝
即＝
∴AM＝
又∵∠D＝∠C，
∴∠D＝∠AMD
∴AD＝AM＝
18.（2019年浙江省衢州市）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.

（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
【考点】圆周角定理，切线的判定，弧长的计算
【解答】（1）证明：如图，连结OD．

∵OC=OD，AB=AC，
∴∠1=∠C，∠C=∠B，
∴∠1=∠B,
∴DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径．
∴∠ADC=90°．
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°，BD=CD，
∴∠AOD=60°．
∵DE= ，
∴BD=CD=2 ，
∴OC=2，…6分
∴AD= π×2= π
19.（2019年甘肃省天水市）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与
OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．

【考点】切线的性质以及判定、三角函数的应用、全等三角形的判定与性质
【解答】解：（1）连接OC，

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OCtan∠COB＝5．
20. （2019年甘肃省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．

【考点】切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠A．

（2）解：连接CD．
∵∠ADE＝∠A，
∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝2DE＝10，
在Rt△ADC中，DC＝6，
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，
∴x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得x＝，
∴BC＝＝．

21. （2019年湖北省鄂州市）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

【考点】三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定
【解答】（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．

22. （2019年湖北省荆州市）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．

【考点】切线的判定、菱形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理
【解答】解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∵FC＝FD
∴∠FCD＝∠FDC
∵∠FDC＝∠BDP
∴∠OCB+∠FCD＝90°
∴OC⊥FC
∴FC是⊙O的切线．
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
∴四边形BOCE是菱形；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．
∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，
∴AC＝12，BC＝16，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，
∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，
由勾股定理得OP＝＝＝6，
∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，
∵＝tan∠ABC＝，即DP＝BP＝＝3
∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．

23. （2019年湖北省随州市）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF=33，求BC和BF的长．
【考点】切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴2∠1=∠CAB．
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF=33，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=33，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3，
∴BE=AB•sin∠1=3×33=3，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=23，
∵sin∠CBF=CHBC=33，
∴CH=2，
∵CH∥AB，
∴CFAF=CHAB，即CFCF+3=23，
∴CF=6，
∴AF=AC+CF=9，
∴BF=AF2-AB2=62．
24. （2019年湖北省襄阳市）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．

【考点】切线的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形
【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：连接BD、OB，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝BC＝3，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，
∴∠BDH＝60°，
而OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴优弧的长＝＝8π．

25. （2019年湖北省宜昌市）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA
的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，
连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
（3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．

【考点】切线的判定定理，解直角三角形，扇形的面积与三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠AHC＝90°，
∴∠H