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(word完整版)中考数学二次函数选择题
2017。0601二次函数选择题

一．选择题（共29小题）
1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0,﹣2)和（0，﹣1)之间(不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　)

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
2．如图,已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：(1)4a+b=0；（2）9a+c＞3b;（3）8a+7b+2c＞0；(4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣,y2）、点C（，y3）在该函数图象上,则y1＜y3＜y2；(5)若方程a（x+1)（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2,且x1＜x2,则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）,其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3;
③3a+c＞0
④当y＞0时,x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，
其中，正确的个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和(4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0;
②3a+b=0;
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是(　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1,下列结论:①abc＞0;②2a+b=0；③4a+2b+c＜0;④若（﹣),（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③④
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　）

A．2a﹣b=0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c=0
D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形
9．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①c＞0；
②若点B（﹣，y1)、C(﹣，y2)为函数图象上的两点，则y1＜y2；
③2a﹣b=0；
④＜0，
其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（　　）
①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞时，y随x的增大而减小．

A．1 B．2 C．3 D．4
11．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　）
A．b≥ B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论:①b＜2a;②a+2c﹣b＞0;③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是(　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论:
①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．
其中正确的有（　　)

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
14．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0)，则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（　　）
A．x1=﹣3,x2=﹣1 B．x1=1,x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1
15．已知抛物线y=ax2+bx+c(b＞a＞0)与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;
③a﹣b+c≥0；
④的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
17．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1;
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是(　　)
A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3
19．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．2a+b＜0 B．4a+2b+c＞0
C．m(am+b）＞a+b（m为大于1的实数） D．3a+c＜0
21．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2)，且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：
①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0;③a+c＜1；④b2+8a＞4ac,
其中正确的有(　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0)、（x1,0)，且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2)的下方．下列结论:①4a﹣2b+c=0;②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（　　）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
23．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）,顶点坐标为（1,n)，与
y轴的交点在(0，2）、（0,3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＞3时,y＜0；②3a+b＞0;③﹣1≤a≤﹣;④≤n≤4．
其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．①③④
24．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论:①b＜0；②b+2a=0；③方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣2,x2=4；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
25．若二次函数y=ax2+bx+c(a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（　　)

A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1 C．k＜﹣3或k＞1 D．k＜4
26．已知二次函数y=x2﹣(m﹣1）x﹣m,其中m＞0，它的图象与x轴从左到右交于R和Q两点,与y轴交于点P，点O是坐标原点．下列判断中不正确的是（　　)
A．方程x2﹣(m﹣1）x﹣m=0一定有两个不相等的实数根
B．点R的坐标一定是（﹣1，0）
C．△POQ是等腰直角三角形
D．该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣1的左側
27．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C(点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（　　）
①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．

A．1 B．2 C．3 D．4
28．如图，二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①abc＜0；②b＜﹣2a；③b2+8a＞4ac;④2a+c＜0．其中正确的结论有(　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，2）．下列结论①2a+b＞﹣1,②3a+b＞0，③a+b＜﹣2，④a＞0，⑤a﹣b＜0，其中结论正确的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

2017.0601二次函数选择题
参考答案与试题解析

一．选择题(共29小题）
1．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）,与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1)之间(不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过(3，0)，则得②的判断;根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断;从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和(0,﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为(3,0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0,
故②错误;
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0)，
∴当x=﹣1时，y=（﹣1)2a+b×(﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c,c=b﹣a,
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a)﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在(0，﹣2）和（0，﹣1）之间,
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1,
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．

2．（2016•枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b,④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点,可得c=0，所以abc=0;然后根据x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0；再根据图象开口向下,可得a＜0，图象的对称轴为x=﹣，可得﹣,b＜0，所以b=3a，a＞b；最后根据二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△＞0，所以b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0,据此解答即可．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，
∴c=0，
∴abc=0
∴①正确；
∵x=1时,y＜0,
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0,
∵抛物线的对称轴是x=﹣，
∴﹣,b＜0，
∴b=3a，
又∵a＜0,b＜0,
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△＞0,
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口;当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时（即ab＜0)，对称轴在y轴右．（简称:左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于(0，c）．

3．（2016•随州）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b;(3)8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1)（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】（1）正确．根据对称轴公式计算即可．
（2）错误,利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和(5,0），列出方程组求出a、b即可判断．
（4）错误．利用函数图象即可判断．
（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【解答】解:（1）正确．∵﹣=2,
∴4a+b=0．故正确．
（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3)正确．由图象可知抛物线经过(﹣1,0）和（5，0），
∴解得,
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0,故（3）正确．
（4）错误，∵点A(﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（,y3），
∵﹣2=，2﹣(﹣）=，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3,故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0,
∴(x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，
即（x+1）(x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故(5）正确．
∴正确的有三个，
故选B．

【点评】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题,属于中考常考题型．

4．（2016•齐齐哈尔）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3;
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0)，则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=﹣2a,然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断;根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0,所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为(3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，
而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0,
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1，0）,（3，0)，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左; 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

5．（2016•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，
其中,正确的个数有（　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．
【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0,故①错误；
∵图象开口向上，∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵图象与y轴交于x轴下方,
∴c＜0,
∴abc＞0，故②正确；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2,
故二次函数y=ax2+bx+c向上平移小于2个单位，则平移后解析式y=ax2+bx+c﹣m与x轴有两个交点，此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根,
故﹣m＜2，
解得：m＞﹣2，
故④正确．
故选：B．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．

6．(2016•孝感)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4,0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0)和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，则可对②进行判断;利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣2，0）和(﹣1，0）之间．
∴当x=﹣1时,y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1,n)，
∴=n，
∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n）,所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c)：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

7．（2016•日照)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论:①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点,则y1＜y2其中结论正确的是（　　)

A．①② B．②③ C．②④ D．①③④
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，有对称轴方程得到b=﹣2a＞0，由∵抛物线与y轴的交点位置得到c＞0,则可对①进行判断;由b=﹣2a可对②进行判断;利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=2时，y＞0，于是可对③进行判断；通过比较点(﹣）与点（）到对称轴的距离可对④进行判断．
【解答】解:∵抛物线开口向下，
∴a＜0,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴b=﹣2a＞0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误;
∵b=﹣2a,
∴2a+b=0，所以②正确;
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣）到对称轴的距离比点（)对称轴的距离远，
∴y1＜y2，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口;当a＜0时,抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点．

8．（2016•攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　）

A．2a﹣b=0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c=0
D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形
【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3,得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0,得出，选项A错误；
当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0,得出选项B错误；
当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误；
由a=，则b=﹣1,c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．
【解答】解:∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1,则﹣=1，
∴2a+b=0，
∴选项A错误；
∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴选项B错误;
∵A点坐标为（﹣1，0）,
∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a,
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，
∴选项C错误；
当a=,则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E,如图,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，
把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，
∴D点坐标为（1，﹣2）,
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴选项D正确．
故选D．

【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0,抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．

9．(2016•巴中）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A（﹣3，0)，对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①c＞0;
②若点B（﹣，y1）、C(﹣，y2)为函数图象上的两点，则y1＜y2；
③2a﹣b=0;
④＜0，
其中,正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线y轴交点情况可判断；②根据点离对称轴的远近可判断；③根根据抛物线对称轴可判断;④根据抛物线与x轴交点个数以及不等式的性质可判断．
【解答】解：由抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，故①正确；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴点B(﹣，y1)距离对称轴较近,
∵抛物线开口向下,
∴y1＞y2，故②错误；
∵对称轴为直线x=﹣1,
∴﹣=﹣1，即2a﹣b=0，故③正确；
由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0即4ac﹣b2＜0，
∵a＜0，
∴＞0，故④错误；
综上,正确的结论是：①③，
故选:B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定;c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数,决定了b2﹣4ac的符号．

10．（2016•德阳)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（　　)
①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞时，y随x的增大而减小．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设y=ax2+bx+c与x轴的交点为A,B，左边为A,右边为B，A(x1，0），B（x2，0），那么抛物线方程可写为y=a（x﹣x1）(x﹣x2），那么b=﹣a（x1+x2），从图中可知，因为x1+x2＞﹣1,因此b=﹣a（x1+x2)＞（﹣a）×(﹣1）=a,所以a＜b＜0,故②正确,其余不难判断．
【解答】解:由图象可知，a＜0，c＞0，a+b+c=0，a﹣b+c＞0，故①正确，
设y=ax2+bx+c与x轴的交点为A，B，左边为A,右边为B，A(x1，0），B(x2，0），那么抛物线方程可写为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），那么b=﹣a(x1+x2）,从图中可知，因为x1+x2＞﹣1，因此b=﹣a(x1+x2）＞（﹣a）×（﹣1)=a,
所以a＜b＜0，故②正确，
∵a+b+c=0，a＜b＜0，
∴2b+c＞0，故③正确，
由图象可知，y都随x的增大而减小，故④正确．
故选D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数关系、解题的关键是判定a＜b＜0，题目有点难，属于中考选择题中的压轴题．

11．（2016•黄石）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　）
A．b≥ B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
【分析】由于二次函数y=x2﹣2（b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限,
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
当抛物线的顶点在x轴上方时,
则b2﹣1≥0，△=［2（b﹣2)]2﹣4（b2﹣1）≤0,
解得b≥；
当抛物线的顶点在x轴的下方时，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2=2(b﹣2）＞0，b2﹣1＞0,
∴△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①
b﹣2＞0，②
b2﹣1＞0，③
由①得b＜，由②得b＞2，
∴此种情况不存在，
∴b≥，
故选A．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题．

12．（2016•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是(　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的图象，对称轴的位置，利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：由图象可知，a＞0,b＞0，c＞0，
∵﹣＞﹣1，
∴b＜2a，故①正确，
假如｜a﹣b+c|＜c,
则∵a﹣b+c＜0，
∴﹣a+b﹣c＞0，
∵c＞0,
∴﹣a+b﹣c＜c，
∴a﹣b+2c＞0，则②正确，
由于无法判定｜a﹣b+c｜与c的大小,故②错误．
∵﹣＜﹣，
∴b＞a，
设x1＞x2
∵﹣＜x1＜0，﹣2＜x2＜﹣1，
∴x1•x2＜1,
∴＜1，
∴a＞c，
∴b＞a＞c，故③正确，
∵b2﹣4ac＞0，
∴2ac＜b2，
∵b＜2a，
∴＜3ab，
∴b2=b2+b2＞b2+2ac，
b2+2ac＜b2＜3ab，
∴b2+2ac＜3ab．故④正确．
故选C．
【点评】本题考查二次函数的性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用图象信息解决问题,题目比较难,属于中考选择题中的压轴题．

13．（2016•烟台）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．
其中正确的有(　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=﹣1，y＜0，即可判断②错误，根据对称轴x＞1，即可判断③正确，由此可以作出判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点,
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0,
∴4ac＜b2,故①正确,
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b,故②错误，
∴对称轴x＞1，a＜0，
∴﹣＞1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故③正确．
故选B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识,解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

14．(2016•宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0）,则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（　　)
A．x1=﹣3,x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1
【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．
【解答】解:∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线的对称轴为:直线x=1,
∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：(3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为:x1=﹣1,x2=3．
故选:C．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用二次函数对称性是解题关键．

15．（2016•长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点,现有以下四个结论:
①该抛物线的对称轴在y轴左侧;
②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；
③a﹣b+c≥0;
④的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．
【解答】解：∵b＞a＞0
∴﹣＜0，
所以①正确;
∵抛物线与x轴最多有一个交点,
∴b2﹣4ac≤0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，△=b2﹣4a(c+2）=b2﹣4ac﹣8a＜0，
所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时,y≥0
∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；
所以③正确;
当x=﹣2时，4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3（b﹣a）
≥3
所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向;a、b的符号决定对称轴的位置;抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号．

16．(2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是(　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2)，二次函数的开口向上,据此判断二次函数的图象．
【解答】解：当a＜0时,二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时,二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选C．
【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质,用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．

17．（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;
②4a+2b+c＜0;
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值;
②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和;
④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
【解答】解:∵抛物线的顶点坐标为(﹣1，4)，∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确;
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．

18．（2015•贵阳)已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（　　）
A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3
【分析】先求出x=2时y的值，再求顶点坐标，根据函数的