系统工程第七章矿山开采优化方法.doc

第七章 矿床模型及采矿优化设计方法
7.1 矿床模型
所谓矿床模型就是矿体赋存状态信息的计算机模型表示方法，矿床模型是应用计算机管理矿床地质信息以及研究和优化采矿设计、规划、生产计划等诸多问题的基础。矿床模型既要能够有效地表示矿床的有关地质信息，同时要便于计算机管理、处理和应用.构造矿床模型，就是要充分利用已有的地质资料（如勘探钻孔、探槽、炮孔、勘探坑道中的矿床地质信息，或矿床平、剖面图、地形测绘图），并采取相关的信息处理方法对原始地质资料进行处理，得到矿床地质有效信息，再将这些信息通过一定的数据结构组织起来。
矿床模型有多种形式，其中块段模型和实体模型是两种主要的模型类型.
7。1。1 块段模型
块段模型通常是指三维块段模型，如图7—1所示。在这种模型中，矿床可视为许多小六面体块段的集合。每一个块段,用坐标（x，y,z）表示其中心的空间位置.进一步，赋予每个块段以矿岩类型、各自的数量、品位及金属量（或发热量、灰分、煤量）等地质参数.最后,根据每一块段的空间位置、地质特征以及开采技术条件，计算出各块段的经济价值.通常,矿石块段开采后可盈利，其经济价值为正值，而岩石块段的经济价值为负值。这样，以块段为单位，矿床的空间形态、矿石品位分布和开采后的经济效益都能清楚地表示出来.在使用时，只要给出空间坐标（x，y，z）,就能找到相应的块段，并能提取该块段相应的地质信息。
图7—1 矿床块段模型

在实际使用中，各块段的尺寸通常都是一样的，因此，只要通过某块段在在x、y、z三个方向上的序号就可以确定该块段的空间几何位置，这样就可用C(I,J，K)表示块段的地质参数，其中I、J、K分别是块段在x、y、z三个方向上的序号，而C表示某种地质参数。
块段的尺寸取决于矿床的赋存条件、勘探的控制程度、矿床开采工艺技术要求和模型的用途等因素。在露天矿中,块段的高度通常为台阶的高度。块段在三个方向上的尺寸可以相同也可以不相同。根据需要，有时也会建立二维块段模型。
建立矿床模型的一般步骤为:
⑴ 收集、整理地质勘探数据;
⑵ 确定模型区域范围；
⑶ 输入原始地质勘探数据；
⑷ 建立模型坐标系和进行块段划分；
⑸ 产生“估值模型",对各种地质变量进行估值;
⑹ 产生“处理构造模型”,模拟和处理各种地质构造；
⑺ 进行三维模块组装,形成三维矿床模型；
⑻ 建立矿石数量及质量文件和有关绘图数据文件等。
7.1.2 块段模型的估值方法
所谓估值，是指根据已有的地质资料来估计块段的各种地质参数（如品位等）。矿床模型的建立,实质上是解决如何利用已有取样资料，准确有效地对各种地质变量进行空间估值计算的问题。可应用的估值方法有地质界限法、多边形法、三角形法、趋势面分析法、距离幂次反比法、地质统计学方法(通常称之为克里金法）等，其中常用的方法是距离幂次反比法和克里金法。下面以品位估值为例，介绍距离幂次反比法。在5。2中将介绍地质统计学估值方法。
矿体中矿石品位的变化情况，可以通过块段模型中每个块段的品位来表示。现在的问题是，如何根据钻孔等勘探工程中样本的品位来估算块段的品位。
6
1
2
4
5
7
8
图7-2 距离幂次反比法
d1
d2
d3
d4
d5
d6
d7
d8
3
设在待估块段周围有m个钻孔，如图7—2所示。距离幂次反比法认为块段的品位与其周围邻近的钻孔样本品位有关系,而且认为这种关系与钻孔到块段中心点的距离的n次幂成反比.
距离幂次反比法的计算公式为:
（7-1）
式中，G为所估块段的估计品位；gi为块段周围钻孔等勘探工程的样本i的品位；λi为样本i的权系数；di为块段中心至样本i的距离；m为参与估值的样本数目。
在实际应用中，通常取n=1或n=2，这样距离幂次反比法就成为距离反比法或距离平方反比法.
使用距离幂次反比法时,应首先确定合理的计算影响半径。所谓计算影响半径，是指参与估计块段品位的样本的范围。由于是和距离幂次方成反比,因此距离较远的样本的影响力将显著下降。
其次，还应剔除影响范围内个别不适用的样本。在统计样本过程中,如遇到两个样本与块段中心连线间的夹角小于30°时，则认为这两个样本基本属于同一方向，这时应舍去较远的样本，用较近的样本代表这个方向上的品位分布。还有，当地质界线明显时，位于岩石区域内的样本也不能参加估值运算。
7。1。3 矿体实体模型
20世纪80年代末期，随着计算机几何造型和CAD技术的发展，出现了三维实体矿体模型。实体的概念引自计算机几何造型学的术语，其通俗含义是指自然界可能存在的物体.实体矿体模型就是应用计算机几何造型技术建立的能够逼真描述矿体及其地质结构的空间几何形态的模型。
几何造型技术是用计算机及其图形系统来表示、控制、分析和输出三维形体的技术，它是CAD系统的核心技术，也是模拟仿真、计算机艺术、机器人、虚拟现实等领域的技术基础。
计算机几何造型系统通常具有以下几个方面的功能：
⑴ 形体的输入，即把形体从用户格式变成计算机内部格式;
⑵ 图形数据的存储及管理；
⑶ 形体的平移、旋转、变比例等几何变换；
⑷ 图形处理，如用集合运算或扫描变换等手段实现对形体的局部或整体的修改;
⑸ 分析，如形体的容差分析、物质特性分析等;
⑹ 显示输出，如隐藏线、隐藏面的删除、明暗度、颜色、渲染、材质效果的控制等。
实体造型技术是完整表示和处理形体三维信息的技术。在实体造型技术的发展过程中，所采用的实体表示方法一般有参数形体及其`调用法、单元分解法、占有空间记数法、扫描表示法、构造实体几何法和边界表示法等。下面简单介绍其中的占有空间记数法和边界表示法等。
占有空间记数法是将实体所在空间进行分割，一般是将其分割成立方体组成的网格,于是，一个实体就可以由它所占有的立方序列来表示。当分割后的立方体越来越小时,就逐步接近用空间点的集合来表示实体了。
八叉树法是占有空间记数法中的一种，这是由图像处理中的四叉树法扩展而来的。如图7—3所示，实体所在空间由一个立方体表示。如果该立方体完全被实体所占有，那么该立方体可表示为“满”，如果该立方体与实体完全不相交，则该立方体表示为“空”.如果实体占有该立方体的部分空间，那么就将该立方体分为8个小立方体，可按一定规律给以编号（0,1，2，…，7，见图7—3—b所示），然后，再按上述规律进行检查，确定每个小立方体为“满"、“空”或再次8等分.如此进行下去，直到全部小立方体均为“满”或“空”,或者是到设备分辨率所能允许的最小立方体为止。这种递归分割的实体表示形式可用八叉树结构加以描述（见图7-3—c所示)。树的跟节点表示实体所在空间，其8个子节点中，黑节点表示“满”的子空间，白节点表示“空”的子空间，需要再次分割的子空间用圆形节点表示.
边界表示法是用实体的边界来表示实体，一个实体可以由它的边界及内部表示。边界表示法强调形体外表的细节，并通过数据结构详细地表示实体边界的拓扑信息和几何信息.数据结构是表示实体的三维信息且能为计算机理解、运算、修改和查找的数据组织形式。拓扑信息是指组成实体边界的面、边、点之间的连接关系、邻近关系和边界关系，而几何信息则是指面、边、点的位置及大小等几何数据。数据结构应能便于对实体进行面、边、点的存放、修改和查找.例如，对于图7-4所给出的三维形体，可用图7-5所示的单链三表结构来表示其几何及拓扑信息，其中第一张表给出顶点的坐标值，第二张表给出顶点连成边的关系，第三张表表示了边形成面的关系。对实体模型进行处理实际上就是处理模型的数据结构。
图7-3 实体的八叉树表示法

0
1
1
2
2
3
3
3
6
7
7
5
具有子结点的结点。
表示子空间为“空”。
表示子空间为“满”。
(a)
(b)
(c)

1
2
3
4
5
6
7
8
图7-4 几何形体
x2 y2 z2
x3 y3 z3
x4 y4 z4
x5 y5 z5
x6 y6 z6
x7 y7 z7
x8 y8 z8
x1 y1 z1
1
… …
… …
… …
… …
… …
5
6
10
1
2
7
6
1
2
3
8
7
2
…
面表
环表
顶点表
图7-5 形体的数据结构

目前国际上大型采矿软件系统大都具有构造实体矿体模型的功能,这些软件通常以矿体实体模型表示矿体的空间几何形态和地质结构,而用传统的块段模型表示矿体内的品位空间变化。例如，英国矿业计算有限公司开发的DATAMINE软件,可以根据钻孔数据和采矿工程测量数据构造矿体实体模型和采矿工程几何模型。该软件可以交互方式建立各种实体模型,其基本方法如下：首先根据各种原始数据圈定各种地质结构的边界线，或者是地下开挖工程的边界线；然后把这些边界线离散；接着以直线连接相邻断面图上这些离散点，构成一系列小三角平面;最后由这些小三角平面构成表示矿体几何形态（或地质结构、采矿工程）的实体模型。
通过矿体实体模型能够显示输出矿体的三维视图,生成矿体的任意剖面,计算任意范围内的体积及矿量。
7.1。4 实体矿体模型实例
⑴基本方法。矿体模型是针对某金矿建造的，采用的方法是实体边界造型法.所谓实体边界造型法，就是通过物体的边界来表示物体三维几何信息的造型方法，所以,构造矿体实体模型的关键问题是构造矿体的空间地质界面。
由于矿体空间界面形状复杂多变，不能用数学方程进行描述,因此采用离散法构造矿体空间界面，即用一系列小平面逼近矿体界面。从理论上讲，小平面可以是任意多边形平面，为了便于由计算机程序自动生成，小平面主要为三角平面，因为空间上不在一条线上的任意三点可以方便而唯一地定义一个平面,而任意的三个以上的空间点则不能保证一定能落在一个平面内。
构造模型依据的原始资料主要是矿体中段平面图和剖面图。为了增加模型的准确性，根据矿体中段平面图和剖面图，在每个中段之间增绘两个分层的矿体平面图，一并作为构造模型的基础资料.
做好上述准备工作后，按照以下步骤构造矿体地质界面：根据矿体复杂程度确定离散步距,离散矿体各中段及分层平面图上地质界面的边界线，得到一系列离散点；将上、下、左、右相邻的有关离散点用直线连接并使其构成一系列三角面；把这些三角面组合起来，表示矿体地质界面。
⑵模型的数据结构.数据结构是表示矿体实体模型的三维信息且能为计算机理解、存储、处理的数据组织形式。要用矿体的边界信息表示矿体，数据结构必须正确地表示出矿体边界即离散平面的拓扑信息和几何信息。拓扑信息表示面、边、点之间的连接关系、邻近关系和边界关系，几何信息表示面、边、点的空间坐标.
LOP
a b c d
V1 V2 nm ky
x y z
f
e
LPT
FA
VET
ED
图7-6 模型的数据结构

设计图7-6所示的数据结构表示和存储矿体模型的三维实体信息：点表(VET）—顺序存放构成平面的各顶点的空间坐标值；边表（ED）—存放组成各边的端点在点表中的地址，V1和V2为指针,分别指向边的两端点在点表中的地址；环表—顺序存放组成面环的边在边表中的地址,面环表示平面的边界；面表—存放各平面的方程系数（a，b，c）；面环指针表—存放面环在环表中的起、止地址，f为面的序号.
数据结构存储了矿体实体模型信息，通过对数据结构进行检索、运算处理，可以输出矿体视图、剖面图，计算矿石量。
已设计了计算机程序，用来自动生成矿体模型（数据结构）,并输出矿体三维视图.也可在AutoCAD支撑环境下将已建好的实体模型转换为AutoCAD的三维面结构,利用AutoCAD的三维图形输出功能输出实体模型的三维图形，并进行旋转或消影、光照及渲染处理。
对于具有断层结构或矿体是由多个实体构成的复杂结构矿体，构造模型时将其分解为多个基本实体，先构造基本实体模型,然后由基本实体模型构造矿体组合模型，描述复杂矿体的空间几何形态.
⑶ 剖面切割原理。可以看出,空间平面切割矿体实体模型形成的剖面是由切割面与矿体实体模型各边界平面的有效交线组成的。根据矿体实体模型采用的数据结构的形式,设计以下算法流程.
①由面环指针表中取出矿体实体模型的一个面环的起、止指针。
②根据指针由面环表中取出面环的一条边，再由边表和点表取出该边两端点的坐标,计算该边（线段）与切割面的有效交点，即首先计算该线段或线段延长线与切割面的交点，然后判断该点是否落在线段内。如果交点落在线段内，该交点为有效交点；否则，为无效交点。
③如果面环所有的边已经处理完毕,转④，否则转②。
④如果该面环的边与切割面有有效交点，把交点连接成边（线段）,用数组存储起来。
⑤如果矿体模型所有的面都已处理完毕，转⑥，否则转①。
⑥检索数组中存储的新生成的线段,按照相互邻接关系，将数组中的线段重新排序,排序后的线段构成剖面的原始图形。
⑦如果需要,可以线段端点为插值点,拟合三次参数样条曲线，使剖面图形的边界由光顺的曲线组成。
⑧对生成的剖面图形进行几何变换,将其由空间平面图形变为以切割面为基准面的二维平面图形.
⑷ 点体分类算法.在计算实体模型的矿量时要用到点体分类算法。给定任意一个空间点和一个空间形体，确定该点是在形体内部、外部或边界上的问题,就是点体分类问题。实体矿体模型的几何结构为平面多面体，因此，点与实体模型的分类，实质上是点与平面多面体的分类。
x
x
P
O

y
图7-7 点与平面多边形的分类

Q
首先讨论点相对于平面多边形的分类。如图7-7所示,给定一点P及任意平面多边形Q，求P与Q的分类,这是点体分类算法的基础。从P点引一条任意射线PX，然后计算PX与Q的交点数，若交点数为奇数，则P在Q内；若交点数为偶数，P在Q外。此外,有两种特殊情况要考虑：一是当PX恰好穿过Q的顶点时，如果多边形Q的两条边在PX的同侧,则交点无效（不参加计数）；若在异侧时，交点有效.第二个情况是要判断P是否在Q的边界上。
接下来讨论点与体的分类。给定一点P及实体模型R，过P点引一任意平面M，若M与R不相交,说明P在R外。否则,设R被M切割后形成的断面为平面多边形Q，这时应用点相对于面的分类算法求P与Q的分类，同时得到以下结论：若P在Q内且M不与R的任一面重合,则P在R内；若P在Q外，P肯定在R外；若P在Q的边界上，或M与P的某一个面重合，则P在R的边界上.
⑸ 矿量计算。设有实体模型S,矿石密度为β，夹石密度为γ,并设矿石品位空间分布规律可用函数p=f(x，y，z)表示,其中p为空间点（x，y,z）处的品位。实际上要知道空间上每一点的矿石品位是不可能的，因此应该根据实际勘探资料构造近似的品位变化函数，例如可用局部区域内矿石平均品位、块段模型的块段平均品位等方式表示矿石品位的分布情况。
下面设计一种矿量计算方法。首先找出矿体实体模型的几何空间最小的外接正方体,然后把该正方体离散为多个足够小的正方体，并以每个小正方体的中心点坐标代表该小正方体的空间位置。采用点体分类算法根据每个小正方体的中心点判断该正方体是否位于矿石区域内。当中心点位于矿石区域时,认为该正方体为矿石体积,而且其包含的矿石质量是均匀的,因此可用该中心点处的品位变化函数表示正方体的矿石平均品位。根据判别结果进行各项指标的计算，并把各正方体的计算结果累计起来，即是整个模型的计算结果.
很明显，当离散正方体取得相当小时,本算法可以达到相当高的精度，其误差仅仅为离散过程造成的误差.有一点需要说明的是，这里的离散小正方体与块段模型中的块段不是同一个概念。实际上小正方体是专门设计的计算微元，由这些微元来逼近矿体复杂的空间形态。从尺寸上说，正方体要比块段小很多。
下面给出计算流程.设R为指定的空间计算区域，通常,R与S是相同的。又设:
x1=min｛x}， y1=min｛y｝， z1=min｛z｝
x2=min{x}， y2=min{y}， z2=min｛z}
x,y，z∈S
将由平面x= x1，x= x2，y= y1，y= y2和z= z1，z= z2围成的封闭区域划分为n（n应足够大）个小正方体d,并设第i个正方体di的中心点坐标为(xi，yi,zi）。
①令i=1，G=0,Vk=0，Vs=0.
②判断di是否在S内，如在S内,转③，否则，转⑤.
③判断di是否在R内，如在R内，转④，否则，转⑤。
④判断di是否在矿体实体模型的矿石区内.若di在矿石区内，说明di是矿石,把di的体积q计入矿石体积累加器Vk中,即令Vk=Vk+q。同时根据di的中心点坐标由品位函数求出di的品位，计算di的金属含量gi，把gi计入金属量累加器G中，即令G=G+gi。若di不在矿石区内，说明di是矿体内的夹石，将di体积计入夹石累加器内，即令Vs=Vs+q.
⑤令i=i+1,判断i是否大于n。若i>n，转⑥,否则，转②。
⑥由矿石体积Vk、夹石体积Vs和金属量G计算矿石重量Tk、夹石重量Ts和矿石平均品位P，即：
Tk=β·Vk ； Ts=γ·Vs； P=G/ Tk
7。2 地质统计学估值方法
7.2。1 基本概念
地质统计学不同于经典的统计学，它研究的对象是在一定空间范围内既有随机性又有结构性的变量，这样的变量被称为区域化变量。矿石品位、矿层厚度、煤的灰分、发热量、地下水位的高低以及井下空气含尘量等都可以看成是区域化变量。区域化变量是一种在空间上描述区域性质的随机函数.
地质统计学的计算体系建立在一定的概率分布规律的基础上,矿床条件起码应该满足内蕴假设的要求。所谓内蕴假设，是指区域化变量满足以下两个条件.
⑴ 在研究区域内，区域化变量z（x)的增量的数学期望存在且相等，即
E［z(x）- z(x+h）］=m-m=0 （7—2)
⑵ 在研究区域内，区域化变量的增量的方差存在且相等，即:
Var[z（x）—z（x+h）]=E[z（x)-z（x+h）]2=2r(h)
上式中r（h)称为变异函数，只与连接增量的向量h有关，而与点x的位置无关.由上式也可知道r（h）的定义:
(7—3）
变异函数有以下特点：
⑴ r(h）间接地反映了矿床中品位变化的规律，说明了间距为h的两点的品位之差；
⑵ r（h）与间距h有关，一般说来h越大，r（h）也越大；
⑶ r（h）有方向性,不同方向的r（h）是不相同的。
不同的矿床具有不同的变异函数,其中常见的变异函数是下述的球状模型：
(7-4）
式中，C和C0为常数，其中C0称为块金效应；a为变程。当h>a时，r（h）无明显变化，可视作常数。球状模型如图7-8所示。变异函数除了球状模型外，还有指数模型、高斯模型等类型。
在实际操作中，可以用同一方向上具有相同模值（h）的样品来推断变异函数，即：
（7—5)
C+C0
a
h
C0
f(h)
图7-8 球状模型
式中，r＊（h）为r（h）的估计值，N（h）为具有相同向量模值的样品对数。计算出各种h时的r＊（h）值后，便可绘出的r-h关系曲线图。再将曲线图与理论模型图相比较，最终确定变异函数的模型公式.
例如， 现有勘探网如图7-9所示， 图中共有25个钻孔。已知钻孔间距为25m，每个钻孔的品位为zi(i=1，2，…，25).

1
2
21
22
23
24
25
16
17
18
19
20
11
12
13
14
15
3
4
5
6
7
8
9
10
图7-9 计算变异函数

这时在水平方向的变异函数为:

类似地，可求出、以及垂直方向上的.
当矿床各个方向的变异函数均相同时称为各向同性，而大多数矿床是各向异性的。对于各向异性的矿床，一般要先作出几个方向的变异函数，然后根据这些函数作各向异性的套合处理,得到任一方向的变异函数,详情本文从略.
在克里金方法中，需要计算随机变量的协方差。概率论中定义，E［(X—E（X）)（Y—E（Y)）]称为随机变量X与Y之间的协方差,记作C（X，Y）.协方差表示随机变量X与Y之间的相互关系,假若C（X，Y）=0，说明变量X与Y相互独立。
根据平稳假设，两点品位的协方差，只随两点的距离而变化，而和具体位置无关，即有:
C（z（x+h），z（x))=C（h）
根据上式,可导出变异函数与协方差之间的关系：
r（h）=C（0)-C（h) （7—6）
7。2.2 克里金方程
地质统计学（克里金)估值方法是一种最佳无偏的估计方法。仍以品位为例，已知某一块段V的真实品位为Z(V），其估计品位为Z＊(V)。共有m个周围样本参与估值，其品位分别为zi，则块段品位的估计模型为
（7-7)
由上式可以看出,克里金法也是一种加权平均法,该方法的实质是求出一组满足无偏条件,并且使估计方差最小的权系数λi。
所谓无偏估计，是要求块段的真实品位值和估计值之差的数学期望为0，因此有:
E[Z(V)—Z＊（V)]=0
根据式(7-7）有
（7-8）
根据内蕴假设的第一条可知,E[zi］=m，即不论样本的位置在哪里，其品位的数学期望是一个常数m。据此由式（7—8）可得:
m-λ1m-λ2m-…-λnm=0
即: λ1+λ2+…+λn=1 (7-9）
上式便是无偏条件.为了合理确定权系数，还要求品位估计的方差最小，即：
(7—10）
综合式（7—9）和式（7-10），求解权系数的问题，实际上是如下一个非线性规划问题：
(7-11）
下面对式（7-11）的估计方差的表达方式继续进行推导。根据协方差的定义，样本品位zi与样本品位zj之间的协方差为
C(zi，zj)=E[（zi—m)（zj-m）］
=E［zi zj]—mE[zi]—mE［zj］+E[m2］
根据内蕴假设，上式变为
C（zi,zj）= E［zi zj]— m2
即 E[zi zj］ = C(zi，zj)+ m2 （7-12）
上式是地质统计学的一个基本公式。接下来要做的工作是用协方差来表示式（7—11）中的估计方差。将估计方差展开，有
E［（Z(V）—Z*(V))2]= E［（Z（V））2］—2 E[Z(V）Z*(V)]+ E［（Z*（V）)2]
(7-13）
对上式右端的三项可分别进行推导。
⑴ E［(Z（V））2］.Z（V)为块段V的真实品位，因此可将块段再划分为一系列更小的模块（如图7—10所示），然后用这些小块的真实品位的平均值来表示Z（V)。
因此,有
（7-14）
v(xb)
v(xa)
图7-10 块段的再次划分

式中,vk为块段划分的小块的品位，n为块段被划分的小块的数目。由此可得

将式（7-12）代入,有
（7—15）
式中：,它代表小方块之间的平均方差。
通过类似的推导过程，可得
(7-16）
(7—17）
式中:，表示小方块与样本之间的平均协方差。
由式（7—15)、式(7-16）和式（7-17），可得：
(7—18）
根据式(7-6）给出的协方差与变异函数的关系式,有
（7—19）
求满足条件下的最小值，是一个条件极值问题，采用拉格朗日乘数法求解.
令:
其中µ是拉格朗日乘子.对和µ求偏导,令其为0:

解上述方程组，得：
（7—20）
上式即为克里金方程组，共有个方程，因此可以求出个变量（λ1,λ2…,λm和µ)。克里金方程组也可用变异函数来表示：
(7—21）
也可将式（7—20）展开为矩阵形式:
(7—22）
7。2.3 计算示例
100m
20m
100m
x1
x2
x3
G
图7-11 钻孔布置
首先以看图所示的简单例子. 已知三个钻孔的品位x1、x2、x3，试估计点G的品位.各点的间距如图7-11所示，为简化计算，假设x1到x2及x1到x3的距离均为100m,且各个方向的变异函数是相同的.

根据矿床品位分布，已求得变异函数为：

由式(7-22）,得克里金方程组：

由式（7—6）,有

代入上式克里格方程组),有

解此方程组,得

由此可得估计品位G：

从这个例子可以看出，尽管x1、x2、x3，距G都是100m,但是由于分布不同，在G的左侧中只有一个钻孔x1,其权值近乎为0。5，而x2、x3都在G的右側，其权值各近似为0。25.相反，在距离平方反比法中, x1、x2、x3的权值都一样,这显然是不合理的，由此可以看出地质统计学的优越性。
下面再举1例.假设钻孔分布如图7—12所示，待估区域为V，并已知该矿床具有各向同性的球状模型的变异函数：

其中a=346.0。下面用V内和附近的10个钻孔资料对V进行二维估值计算.
具体步骤如下。
⑴ 首先将区域V离散为16个小方块，如图7—13所示。
⑵ 计算块段方差：

x7
x5
x6
x1
x2
x3
x4
x9
x10
V
图7-12 克里金计算示例
y1 y2 y3 y4
y5 y6 y7 y8
y9 y10 y31 y12
y13 y14 y15 y16

x5
图7-13 块段离散化

⑶ 计算样品之间的协方差：
C（xi,xi）=C（0）=74 （i=1，2，…10）
C(x1,x2）=C（x2，x1)=C(0）-r（61）=32.78
C（x1,x3）=C（x3，x1）=C（0）—r(75)=29。93
……
⑷ 计算样品与块段之间的协方差。这里只以求x5与V之间的协方差为例,说明计算过程：

⑸ 解克里金方程组
将求得的协方差代入式(7-22）,建立克里金方程组，求解权系数，结果如下：
λ1=0.18 λ2=0。14 λ3=0。16 λ4=0.14 λ5=0。07 λ6=0。06
λ7=0。07 λ8=0.08 λ9=0。05 λ10=0.06 μ=—0。779
⑹ 计算估计方差：

7.3 露天矿开采境界的优化
露天矿开采境界是指露天开采活动结束时采场所达到的境界范围。在确定露天矿开采境界时,通常以矿床开采综合经济效益最好为境界确定原则，并通过经济合理剥采比为设计手段来确定开采境界.但是，由于手工设计难以考虑众多的复杂因素，往往难以确定出真正合理的开采境界。
露天矿计算机优化方法有移动圆锥法、动态规划法、图论方法、网络流方法等,下面简单介绍其中的移动圆锥法和动态规划法。在应用计算机优化方法之前，应首先建立矿床的块段模型,赋予块段矿岩数量指标(如矿石吨数、废石吨数，如有多种矿石，应分别给出）、矿石质量指标(如品位、有害成分含量、煤发热量、灰分、水分等，如有多种矿物，应分别给出）和块段的赢利指标等。
7。3.1 移动圆锥法
移动圆锥法是以块段模型为基础的一种模拟方法，其实质是用小头朝下、大头朝上的倒圆锥台去模拟露天矿坑，并用有限个相互交错重叠的圆锥台来逼近最终开采境界,如图7-14所示。
图7—14 移动圆锥法

下面介绍该方法的基本原理.首先选定一个水平作为开始层，在此水平上选择一个赢利指标为正值的块段作中心O，并选定小头半径,以O为圆心,以为半径作圆,此圆即为圆锥台的小头。令圆锥体母线倾角等于最终边坡角，以此角向上作母线投射至地表,这时反映在各分层平面图上的是半径互不相等的同心圆。以此同心圆为界限,将包含在圆内的各块段的赢利累加起来，就得出此圆锥台的总赢利值.如果总赢利值为正，表明此圆锥台可采，如果为负，表明无利可图，留下不采，并将此同心圆所圈定的边界作废.
当第一个圆锥台形成后，将圆锥台小头中心移向邻近的赢利值为正值的另一矿石块段，并以此块段为新的圆心产生第二个圆锥台。这两个圆锥台有相当的部分是重叠的，计算第二个圆锥台的赢利值时,只需计算其不重叠部分的价值。当这部分的价值为正值时，说明第二个圆锥台可采，露天开采境界得以扩大;如果为负，则第二个圆锥台放弃不采,境界保持原样。如此进行下去，不断沿水平方向及垂直方向移动圆锥台.这样,逐个圆锥体进行计算，所圈定的境界范围内累计赢利值为最大的境界即为露天开采境界。
图7-15 圆锥体移动增量
每一移动圆锥范围内的计量方法是,首先按照一定的底盘位置、底盘尺寸（不小于最小尺寸）及最终帮坡角,得出新扩展的矿岩量范围。锥底方块一般应为矿石方块.例如，当锥体各向帮坡角一致时,由倒置圆锥台的几何关系得出的圆曲线函数就可以限定某一水平上的开采范围，如图7-15所示.
图7-15中有：
（7—23)
式中: x0，y0 —移动圆锥中心坐标;
—移动圆锥与第水平相交得到的圆曲线的坐标；
Rk—第k水平上圆曲线半径。
（7-24)
式中： R0— 移动圆锥底盘曲线半径；
H0— 移动圆锥底盘标高；
Hk— 第k水平标高；
β- 最终帮坡角.
移动圆锥内赢利值可依下式求出：
（7—25)
式中：△M—移动圆锥范围内总赢利值；
I0,J0，k0—圆锥顶方块三维序号；
Ik—第k水平计量边界所在行序号，Ik =Rk/b；
b-矿岩方块底边长度;
Cijk-第（i，j，k）方块赢利值，当采出后即改赋零值；
J1，J2-圆周上各点所在列序号。由图7—16可知：

j 序列号)
i(行列号)
(I0,J0)
J2
J1
Rk
图7-16 动圆锥的平面范围
对移动圆锥范围内各矿块进行逐层逐个搜索后，累计有关的技术经济指标，最后得到该移动范围内的总赢利值。
当一个移动圆锥增量计算完毕后，如果这一矿岩量增量应圈入境界，则相应改变这一增量范围内的地形，使其降至该圆锥采出后的位置，已“采出”矿块应改为空气块,以便进一步进行计算。
由于矿床范围内岩石性质的变化、岩体状态的不同，以及地质构造的存在，开采境界内边坡稳定状态可能因地而异，往往需要定出分区段的最终帮坡角。在这种情况下，移动圆锥参数应按不同区段的最终帮坡角度来确定，也就是说，圆锥母线的倾角，在不同方向上是可以不相同的。
通常，矿床模型由几万或几十万个块段组成，在搜索露天开采境界时要产生成千上万个圆锥。假若每个圆锥都采用式(7—24)计算，运算时间很长，于是有人提出了模板技术，以便快速确定某个锥台在空间上所包含的矿床块段.
图7-17a为一个圆锥台的平面表示图。每一个数字表示这个位置应该开采的深度（用

0
0
0
0
0

0
1
1
1
1
1
0

0
1
2
2
2
2
2
1
0

0
1
2
3
3
3
3
3
2
1
0

0
1
2
3
3
4
4
4
3
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
5
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
5
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
3
4
4
4
3
3
2
1
0

0
1
2
3
3
3
3
3
2
1
0

0
1
2
2
2
2
2
1
0

0
1
1
1
1
1
0

0
0
0
0
0

a

-6
-6
—6
—6
—6

—6
-5
-5
-5
-5
-5
-6

—6
—5
—4
-4
—4
-4
-4
—5
—6

-6
-5
—4
—3
—3
-3
-3
—3
-4
-5
—6

—6
—5
—4
—3
—3
—2
—2
-2
—3
—3
-4
-5
—6
-6
-5
—4
—3
-2
—1
—1
—1
-2
-3
—4
-5
—6
-6
—5
-4
—3
-2
-1
0
-1
—2
-3
-4
—5
-6
—6
-5
—4
-3
-2
—1
-1
—1
-2
-3
—4
-5
-6
-6
—5
-4
-3
—3
-2
—2
—2
-3
-3
-4
—5
—6

-6
-5
—4
-3
—3
—3
-3
-3
—4
-5
—6

-6
—5
-4
-4
—4
-4
—4
—5
-6

—6
-5
—5
—5
—5
—5
—6

-6
-6
—6
—6
-6

b

—3
-3
—3
—3
-3

-3
-2
-2
-2
—2
-2
—3

-3
-2
—1
—1
-1
—1
—1
-2
-3

—3
-2
—1
0
0
0
0
0
—1
—2
—3

-3
—2
-1
0
0
1
1
1
0
0
-1
-2
-3
—3
—2
-1
0
1
2
2
2
1
0
-1
—2
-3
-3
—2
-1
0
1
2
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
—2
—1
0
1
2
2
2
1
0
—1
—2
—3
-3
-2
—1
0
0
1
1
1
0
0
—1
-2
-3

—3
—2
—1
0
0
0
0
0
-1
-2
-3

—3
-2
-1
-1
—1
—1
—1
-2
-3

-3
—2
—2
—2
-2
-2
—3

—3
-3
-3
—3
-3

c

—5
-5
—5

—5
—4
-4
—4
—5

—5
—4
-3
-3
-3
-4
—5

—5
-4