高等数学公式汇总（适合在职与非在职考研学员学习使用）.pdf

高等数学公式汇总（适合在职与非在职考研学员学习使用）导数公式：(zgx)r=secI 2 xI Y+a2dx=+a2+-ln(x+x2+/)4-C,2 2(cigx)(=esc J x(sec x)f=sec x igx(esc x)f=esex etgx=c/In 1Q c名 a 工)=xli i ai ar c sin x)f=.、.jKCatccos,1Jl-x2(a rcgx)(=14-x,1(a rcctgx)=_ 1j j基本积分公式:|igxdx=In|cos|+C|ctgxdx=In|sm 司+C*|sec xdx=In 卜巳c:y+恒;口+匚|esc xdx=hi|csc x 庚切+Cdx.x._,.-=ar esm +1_-a2 x2 a；dx；2,n|-=I sec xa x=*cos2 XI dx f 2?I-5=I esc xa x=etgx+G sin x I sec x-tgx=sec x+C.I esc x-ctgxdx=esc x+CI aKdx=+C-In a|shxdx=chx+CI chxdx=shx+C|,=ln(x 4-Jx2/)+C三角函数的有理式积分:一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦,shx=-2双曲余弦:chx=r si n xhm-=1Q xli m(1+3*=2/7 18281828459045.XT9 X双曲正切:弧=叫二学a rshx=ln(x+J x+1)a rchx-ln(x+Jx2-1).1,1+工a rthx=I n-2 1-x三角函数公式:和差角公式：si n（色土户）=si n Ofcos 户cosasi n 尸 cos（fT 密=cosu cos 户干 si n or si n 产 名=皆吗吟必二强生幽里ctgjSctga和差化租公式：口si n d+si n#=2si nsi n d-stn 产=2 cosa+8 a-B-cos 2-2a+8 a-B-si n-cost+cos =2 cos2 2仪+户 a-j8-cos-22cos 所 cos p=2si na+6,a-B-si n-22倍角公式一，si n 2仪=2si n qcosacos2=2cos 比-1=1-2si n a:=cos 仪一si n an cta-cig2a=-2ctgatg2a:=2tga l-g%si n 3a:=3si n 值-4 strr aC 0s3of=4cos3 仪-3 cos a迤空交-3tga半角公式：一.a sm 二2a,(1-cosci f 1-cosa si n atg =I-=-=-2 Yl+cosa si n a:1+cosOf*正弦定理：二办-f-=2五 si n A si n B si n Ca cos=2,a.114-cos a l+coscv si n a ctg-J-=；-=-2 V1-cosar si n a 1 cos a1余弦定理 c2=a2+i2-2cos C,yr反三角函数性质：arcsi n x=-arccos x 27Ta rctgx=-a rcctgx 2育阶导致公式-莱布尼益(Leibniz)公式二Q u产二金片小-外Jfc-0=叫，+WW+砂S/TW+型01也土幺尸-%+口M2!k中值定理与导致应用：7拉格朗日中值定理：f(b)/=/(4)3 0)柯西中值定理:/一/F(b)-F(a)尸 自)当F)=x时，枸西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率:：弧微分公式：ds=Jl+y公,其中；/=坦d平均曲率：友=|等卜%从M点到Ml点，切线斜率的倾角变化量；As：M夕弧长。M点的曲率：玄=11m4=牛=-厂上一 3。As ds J(l+y，2)3直线s K=0r半径为s的圆：K=-.诱导公式：反sin+3立时-a*?-弧好-t叱-其叱900-a以8对90+的-以酰 11800-i熟/+_Q,QS您-以g!斯18。0+*-副麴Jtgg270-1K变欺-确断elg+据射2700+a-&/藏加斯-以-两3600-a-叙欧.3.思好-垢!为一以酬360c+a-巨迫斯S魅欺空间解析几何和向量代数：,空间2点的距离：d=Mi舷/=盯一公/+Sa-巧产+（马一句.尸向量在轴上的投影:Prj B=网，cqs8先是工B与以轴的夹角。Pr j&a+各）=Pr J 31+Pr 圾a后二同|T|cos&=%勾+%+%纥,是一个数量，两向量之间的夹角:cos6=；f a=T+叼+/也+与+九i j kc=a x.b=aK ay%，同二同忖si n8例：线速度：v=wxr bx bv bs n Ji%叼%向量的混合积:拓口=叵办酋=瓦%纥=gx斗同C 0SUQ为锐角时,/5 J代表平行六面体的体积。平面的方程：1点法式:-西）+3-尢）+3-0）=0,其中拓=应尻C，Mj（Xq,为,而）2、一般方程：出+劭+2+D=0M截距世方程，+3+工=1 a b c平面外任意一点到该平面的距离：底曲黑守空间直线的方程，二包=匕也=x=Xq=,其中g=附达,参数方程:当口=ux,y),?=时，du du dv dva n=a x+a y a v=a x 4-a ydx dy dx dy隐函数的求导公式：五一泰-&加+一a噎隐函数广（）=0,率=.a xFx ndy dx2=9 dx,+“一显）.空 苏dx隐函数户Oj,n）=0,生=-，dz _OX陟隐函数方程组JO%”=；G(xryrtirv)=0dF dF_ 风F _du dv凡凡地产）dG 3G5 5du dv电荔电1双况G)J 3(x,v)1双凡G)J 5(v,v)3 宙,G)3Q,x)如)1.J1.J-英一分五竟分法在几何上的应用：X=事心空间曲线T=必。在点,每，既*0）处的切线方程:三苕=21=小 M&J go）Z=m在点乩故L的法平面方程:9工电）（五一河）+4（o）Cv-乂I）+）9 一%）=0若空间曲线方程为产w）=,则切向量（5G（x,y,z）=0 Gj,曲面m(Xy,z)=0上一点贝U：1、过此点的法向量：=(Fk(x0,y0,z0),Fy(xQ,y0rzQ),Fs(x0,0,z0)2、过此点的切平面方程:凡.(而,z0)(一一而)+芬(-0,.v0/口)0一M,)+Fs(x0fyQfz0)(z-z0 工 过此点的法线方程：一一=匕3=一工（而/口_）斗（而，M,ZO）凡（湎，乂，,z0）数与梯度：“函数z=/（工,力在一点7（O）沿任一方向炳方向导数为:W=要cq s中+?sin中 ol ox qy其中S为蚌由到方向上的转角。函数z=1y）在一，点手O，v）的才用.度：gr ad/,Cx,）=舁，+后了 ox dy它与方向导数的关系是:刍=gmd_ f（工j）-声，其中苕=cos 8 9+sir i8j 为方向上的单位向量。.*”是giwd/，（xy）在上的投影。ol多元函数的极值及其求法：）而，%J=力（而J。）=。,令：了标（氏口，九）=4（尤。，汽）=况/砂（而，必）=。则:A C-B2 Q时/A C-B2 0时,A C-B2=0时，4 0,（而,乂,）为极小值 无极值 不确定重枳分及其应用:|f x,y)dxdy=11(不 cos 8,尸 sin&)rdrd8平面薄片的重心：元=曲面z=/Of)的面积4=j|xpxryyda旦=互_,歹=”M I j p(.x?y)dcr M*yp(x,y)dcr平面薄片的转动惯量：对于蚌由4=j6）db,一|j*()db对于专由勺=xp(xry)da-彳平面薄片（位于天拜面）对鼐上质点MCOQ办go）的引力：户=凡内/,其中:W（一十/十。2/芬=4|上F（，十yf 2产-问.同”小工 a（，十八英曲线积分：川第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设/位在上上连续，工的参数方程为卜=3q 鱼则：y=奴G声 _ r _ 2J J（才J）ds=j九双必罚（0+状（&dy Qz-v vL J 乙 乙高斯公式的物理意义-通量与散度：散度：出守日=空+也+至，即：单位体积内所产生的流体质量，若dwi75则为消共 S二金 也通量：11 N 近烝1=11 Ands=|(P+Q cos 产+cos y)公 工 s s因此，高斯公式又可写 成川Tdu=石4/斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的美系衣尸&?.dP dR.x,.dQ dP*cz(k ox ox tjyC-tdyciz.dzdx dxdy上式左端又可写成旧 dx dy dz P Q R空间曲线积分与路径无关的条件:空=军，及)dxdy=卞 Pdx+Qdy+Pdz=)1r一诙 R=C-尸 跑私 osAe，C 餐 Q-C OS8募F苏一市旋度：roL-4=k 3 一也火 Jse iAaxF向量场-五沿有向闭曲线厂的环流量:+Qdy+Rdz=(2 Ids r r常数顶级数：+等比数歹IJ:1+1+1+产=上岂1一4等差数歹限1+2+3+您=业.2调和级数：1+H-F工是发散的2 3 理级数审夔法：一1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：力 1时，级数发散注一9r=1时，不确定2、比值审敛法：*1时，级数.发散理T9 UK 户=1时，不确定3,定义怯：4二4+%1-s*存在，则收敛；否则发散。交错级数为-%+%-卫4 （或-舟a-%H 0）的审敛法-莱布尼兹定理：如果交错级数满足屋口昼，那么级数收敛且其和sM%,其余项q的绝对值区力。绝对收敛与条件收敛；一(1)/+%H-F tin+3 其中 4 为任实(2)卜1|+卜/+归+-一+k+-*如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数:中工发散，而k X收敛；一附 一戏级数：二口收敛：7级数-F 2 1时发散f户1时收敛寡级翦h1 2 3 X 小|1时，收敛于 一14-X4-X2 4-x3+-4-xm 4-(1 1 1-x%|之1时，发散对于级数即+的彳+%/H-许/-*，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全/卜|立时收敛数轴上都收敛，则必存在见 使(因笈时发散，其中笈称为收敛半径。国=我时不定/户=0时，求收敛半径的方法：设111112=户，其中豆，4+1 是的系数,则(夕=0时，R=-wB p=4o0时，R=0函教展开成嘉缎数：+函数展开成泰勒级数：小）=与）炽-曲）+与2（”方+-+E2与2（彳炉+.2!M余项：&-而）加J可以展开成泰勒级数的充要条件是：11m&=0“（总+1）!%=时即为麦克劳林公式：/=/（0）+/（0求+工5叟/+.+d1犬+.2!M一些函数展开成幕级数:*(1+4=1+皿+里曰3+陋伽一 1)出一向小+2!M4 X5 户tsi n x=x-+-F-H(-)x +oo)3!5!(2-1)!欧拉公式：脑(1K1)加 q-cosx+zsi n xcosx=或，si n x=三角级数：+,f（f）=Ai+二 A 由（甩面+我）=?+二（%c M-1 匚 M-l其中，劭=久=乩sin/，丸=典cos孕 正交1 注：l,sm x,cos x,sm 2x,cos 2x-sm nx,cos 上的积分=0。使立叶级数：+f（x）=+二（外 cos?3X+%sin 施工），周期=2 21 ,.ax=一|y（x）cosxdx（融=0,1,2 7）.,7F u其中“1 9,.-bx=|f（x）sm nxdx（盟=1,2,3一）l*一 i i 工 L i i i学 52 8 /2 32 41 1 1 7T2/Lill22 42 62 24/22 32 42正弦级数：久=0,也=|/（x）sm nxdx开、口o?余寇级数：纥=E，久=|cosxa x:，s 附五+3性 sin.x）%,皿=X。+nx任思网，|、不同项的乘积在-;工河:开=H（相加）=Hc相减）12产2-1,2,3/（玲一二外加,，直克幽数n-0,1,2-/（x）=等+=外cqs福x是偶函数周期为2?的周期球的傅立叶融6/=咂+亡dcos至+九例 W),周期=2/2 H?I5=0,1,2)伽二123)微分方程的相关概念：，一阶微分方程：yf=fM 或 产（尽力心+0冗力的=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g）的=/4的形式，解法：冢力的=|/。岫 得：GJ）=F。）+耶为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成半=A）=奴），即写成2的函数，解法：a x x设辽=匕 则空=我+工在，口+玄=浓）,二生=3分离变量,积分后将2代替 x dx dx dx x 飙口）一以 x即得齐次方程通解。二系数齐在线性微分方程及其解法：+公=0，其中p弓为常数；求解步骤：L写出特征方程必）M+尹+0=0,其中户，尸的系数及常数项恰好是切式中的系数,2、求出（A）式的两个根尸 1，6M根据勺另的不同情况，按下表写出（专式的通解rv的形式，（*）式的通解口两个不相等实根（M _4孑 0）。y=crx+c2&rJC两个相等实根 3-4弓=0）Qy=91+c/)U一对共钝复根5*-4弓 0)41r l=a+i r2=Cdi匕上曲士2 2y-ec4X 0 cos 自+勺 sin/)Qnjr常系毒日际火线性微分方程+/+郎+跤=无）,为常数/=/与5）型，兄为常数；j（x）=/*月（兀）cos的r+只（兀）sin侬理概率公式整理1.随机事件及其概率j4lj Q=G吸收律：A u0=AA u A B)=ACl=AHc0=0A ri(AjB)=AA-B=A B=A-(A B)1反演律：A uB=A B A B=A uB IJa=八4(4=U W i-L j-1 2-1 2-12.概率的定义及其计算产(m=1-尸(4)8 若以uB=尸(3工)二尸伊)F(4)，对任意两个事件A,及有P(B-A)=PB-P(A B).加法公式：对任意两个事件从B,有P(A u B)=尸(工)+P0-P(A B)JF(工 工 F(j)+F)“H M fQJa)=ef二产也4)+二尸(为44)+(-1尸产口出jj 2-1;/M 圮空4.随机变量及其分布“分布函数计算P(a Xb)=P(Xb)-P(X 0尸w闫 XT 9 依 口=0,1,2,.(3)Poisson分布 产(7P(X=k)=e-A,上=0,1,2,/6.连续型随机变量“(1)均匀分布Ua,b)-,a x b f x)=b-a0,其他0,1指数分布下(，初一./w=0 其他F%0,x 0(3)止合分布N3,0-2 _*一3f(x)=-2 -co X -KO 11 rF(x)=j w 加 d，2；Tb-F*N(cu)标准正态分布1-=G：x)=-i-w J-co x 4-od4-爽1/_匚(#=1rz_|g 2 a-8 X 凡旧乐/-9、“一g边缘分布函数与边统密度函数4F X*+co&o)=l|_9，,讶的厘”He*fxX)=/(AV)V s-g7(y)=Ir/i,的晶冰加。-T0 -9fy)=i R/Q，r)而 q-CD8.连续型二维随机变量4(1)区域G上的均匀分布，U(GA士/、,(x,y)e G0,其他(2)二维正态分布“2啊 b?J 1 一,q3丁/，=_ I*X-4 q 津一冲尸一林)+(*W 2(1/a)iF F F r co x -Ko,co y 0，=fy O）及式上）为）0*1*-Kd-Ko IAW=口/(工)分=L及“虫)入8的”,-tof-Ko*+o?I/y(y)=_f(.xfy)dx=LJy/jkX/xO)dx*-,_4闺3工）/晨才）为GO力区卜）_八2)AWA|y(工附Ktx)=AWX.Y的二阶混合中心矩 X,Y的协方差舁(X-E(X)(Y-豆Q O)、，工的相关系数+，E3-f物)/5/cox的方差一Dg=E&X-%)2)+，D(X)=E(X-E2(X).协方差qcov(r)=,(X-JO)(K-E(Y y)3=E(XY)-E(X)E(Y)=1 的(X 土 F)-D(X)-D(Y)i相关系数QcovGVrr)/yy=i/=*J线性代数部分,I梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。U充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法,大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的.我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算，金+8=|j4+Bi+C=d+iB+C*ci.j44-5 1=cA-cB c+d j4=cA+dA cdA =cd*j4-,U=0 O c=0 或 j4=0。l/F=小A B =AT BrcA T=cAr L A B f=BTArnvn 11阳我=C；2口 “2141+22-432+,.+4M转置值不变,=|工卜逆但衰k1l=|cj4|=cb|j4|a户i+自,H=h，H+以向,小工=1%,%,%。3阶矩阵，B 二 昌乐月1M+小.+即A+B=4-自,%+自，%+户3 3,|+3=1%+而7.%+岛,%+隹卜卧,/9叶=1有关乘去的基本运算%=+弓3句+/*对”线性性质+/由=4+4/，力|B 1+1 工用+j45j-*-,cA B=ci A B =A icB 结合律必二度人即|=|胭”AkAl=工卬4 i#/=胪.，|/8：/二工不一定成立！“A E=A?EA A 曲裾好，kEA=kA-A B=E B A=EA B=E=B A-E。与敷的乘法的不同之ib，MB i;月牙不一定成立一疟掇律因式分解障碍是交换性“一个矩阵上的每个多项式可以因式分解，例如A2-2A-3E=A-3E 工+无消去律（矩阵和矩阵相乘）+,当上3=0时/工=0或8=0/由j0 和 A B=0 B=0。由jw0时B=Ca+，如果兑列满裁，则R有左消去律，即，/=0=B=0%：1/先后，自一弓，密，%，则存在矩阵%,%Q,，尸则屁，昌，息一小心,，,等价关系：如果,乌,0与先乐,4互相可表示%，乌S龟居，后”记作码,见三处自，。“+s=l,单个向量a,xa=0 仪相关Q仪二0 口s=2,%,%相关O对应分量成比例 周,%相关Q%:8 i=%：瓦=二%:纹向量个数s冬薮总，则,线性相（无）关0瓦仁岸。”j二i，%,dj,24工=0有韭雯解0国=0+，如果%则因,，%一定相关*-,工工=0的方程个数胃 6，则珞，离一定线性相关.证明：记j=1%,，%|,B=i，月则存在sx矩阵C,使得 B=A C,卡以=0有8个方程，仝未知数，s区,珞区无关贝I s。J推论：若两个无关向量组应与屁总等价,则一个线性无关部分组Hi，若尚一等于秣%J 就一定是极大无关组，无关=y i=S-、户一%,/,，/0 H Q 切=尸/，2另一种说法：取供,%,，巴的一个极大无芳缜I/1I也是%,%一1里,/5的极大无毛组0 5户相关。“证明：P-=户一 11 1 11。户相关.g：,，/l户r y,d3 y%0i+l，石 4%.,巴,6可用外，应唯一表示o 尸%,，浜i=y 1%,，%i=5/同，.一%,，%=/，.,昌,.4=尸%，.里 心=尸质，自*尸,，3仪1，=用，珞Q y1=尸./%，珞=/珞，珞矩阵的秩的简单性质，0 rA min mr -rA =0=4=0 u上行满株：广四|=切+：工列满珠：rA=阶矩阵A满秣：ri/t=a上满株=幺的行（列）向量组线性无关 a#0*j A可逆aO4r=0只有零解，且工=5唯一解0 矩阵在运算中费的变化，初等变换康持矩阵的秩-H 1=刑/1 口。时，rcA*=rA,门工B+h32r i-4 j4*?7=*,N 兄命题：设区的特征值为兄，汨，心，岫34的特征值为十兄L，兄M*工可逆时，工-1的特征值为工，工，工=兄 1 4?3&金*的特征值为，+,%兄2 兄.1 J W月的特征值也是兄1a，,N特征值的应用，求行列式|A|=4,兄a，N翎别明性工是月的特征值=|工且一川=。=力一兄总不可逆W-月与可逆0 4不是总的特征值口当力4=0时，如果/S/0,则工-4可逆若4是总的特征值，则户N 是户用的特征值=户如=017klM 0=c不是A的特征值=A cE可逆。口阶矩阵的相似关系+当 27=54时，B=A,而上。声必时，）相似关系有1）对称性：幺508乂#7U-1A U=B,则乂=LW-i“ii）有传递性：上B,BC,则/CU-XA U=B，T0/=C,则乂U/i如，-1丁】人“二，-1 二 C，命题 当时，4和E有许多相同的性质4国=忸卜尸4=p B冷W,F的特征多项式相同，从而特征值完全一致1 1上与b的特征向量的关系：不是s的属于兄的特征向量0是e的属于a的特征向量。A r=沏=B Uf 1=RUf。u-27T且邛=4。-UA UU=霜Uf I-正定二次型与正定矩阵性质与判别+可逆线性变换替换保持正定性q1/叱1，叼L、%1变为01。21乂|，则它们同时正定或同时丕.正定一A-B.则此，R同时正定，同时丕正定。，例如方=C且C。如果上正定，则对每个五工0 xrB x=xtCtACx=CxF ACx 0 口（C 可逆，xO,:.Cx 0!）-我ID给出关于正定的以下性质一上正定o A-EO存在实可逆矩阵C,j=CTCrO且的正惯性指数=融Q上的特征值全大于0.7=4的每个顺序主子式全大于0。+，判断工正定的三种方法：，顺序主子式法.，特征值法.+，定义法。/=A*简单阶梯J施阵：台角位置的元素都为1，台角正上方的元素都为00.如果上是一个弱阶矩阵，幺是阶梯形矩阵=上是上三角矩阵,反之不一定 矩阵消谡:（解的情况），写出增广矩阵闻日，用初等行变换代为阶梯形矩阵网尸。一用小尸判别解的情况。9如果力|尸最下面的韭霍互为a,。日1则无解，否则有解口.，ii）如果有解，记，是I例尸的非零行数，则a=总时唯一解。Vy 73-lt-21l=C=-2从而是上三角矩阵的一个全排列.*假余子式，财守为以祈的余子式0/定理：一个行列式的值D等于它的某一行列），各元素与各自代数余子式乘积之和,，口 0 141+a22-22+.,+一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0.一+列式1 1 4/会相关4A B的aJ i位元素是的第i行和B的第J列对应元素乘积之和.“，二的1月7+%4/+6*希1%口口-%）呵个*，iJ乘积矩阵的列向量与行向量+(1)设泳x理矩阵d=i%,%,题维列向量户=(瓦，,，为一，贝卜上户=d+纥矩阵费应用于方登a+方程组的矩阵形式口卫穴=尸，出=囱也，,，门方程组的向量形式。巧%+向+=#，(2)设4B=C,工3=i却工，上用，上2A玛=九G1+2,口2+十九：/工B的第1个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是田的第，虫列向量的各分量-HA的第六金行向量是&的行向量组的线性组合，组合系数是上的第i念行向量的各分量。-矩阵分解+当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把。分解为乂与一个矩阵B的乘积“特别的在有关Jj角矩阵的乘法中的若干问题口4 0 00 兄2 01%，K 0 0.10 0 00 10=14%,冬冬，4心”对角矩阵从右侧乘3Z矩阵幺，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量 对角矩阵从左侧乘工矩阵A,即用对角线上的元素依次乘的各行向量=于是 A E=A EA=A*-j4i 4岂=kA,kEA=kA-两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘“对角矩阵的3次方霆只须把每个对角线上元素作上次方寝。对一个题阶矩阵规定64为工的对角线上元素之和称为W的迹数。于是 必严=履1 a:ra=!尸其他形式方阵的高次霆也有规律，1 0 1例如：A=0 2 0J 0 1初第叫及其在乘法中的作用+(1)Eii,八交换豆的第两行或交换石的第两列“(2)Ei(c)：用数gh Ch乘5的第i行或第i列(3)囱把豆的第j行的二阳加到第工行上，或把豆的第工列的。信加到第j列上。40 0 pu0.o、41与10.00出 0%.o0.0.100aJ1。0,限,、0A双B双矩阵方程与可逆矩阵卜_ I一两题本的矩阵行程（都需求工是方阵，且 o）一11A x=B ILxA=B u（I）的解法：“必同一卜J（II）的解法，先化为工Br-Exr 口通过逆求解：A x=B x=金一】8-可凝阵及其逆矩阵“定义：设/是H阶矩阵，如果存在甩阶矩阵笈，使得为发=不，且的=总，则称工是可逆矩阵，称上月的逆矩阵，证作&一，。定理：修阶矩阵工可逆=|金k0，求工-】的方程（初等变换法）a必一闾工一1 I4Ai4P工*二Aa%=4 Am产可以用的,修，氏线性表示，即产可以表示为幽外，0的线性组合，0也就是存在匕卜J使得 q%+J%+J%=B-1记号：产一%,%,见/线性相关：存在向量1可用其它向量的，,珥口珥+i，,%线性表示。a线性无关：每个向量珥都不能用其它向量线性表示，定义:如果存在不全为。的力,q,q，庾得白乌+小应=0则称色卜附,见线性相关,否则称,，.线性无关即：%的，,区线性相（无）=0有（无）韭霎於0%,0仄=0有（无）韭霎解.3_|极大无0!，秣.*定义：组,%，的一个部分组|口称为它的一个极大无关组，如果满足：。i）九线性无关。ii）Ui再扩大就相关口”，小衣%修，,G%=(/*-定义：规定%的蛛y0乌，,%i=#i/j W如果每个元素都是零向量，则规定其秣为CL0三困,，iWmm5产；有相同线性关系的向量组+定义：两个向量若有相同个数的向量：%,1，自，月,，月，并且向量方程+,近,%+町%+3%=。与3月+盯鸟+/网=0同解,则称它们有相同的线性关系对应的部分组有一致的相关性.%外外的激麋险组先小凤若%,%相关，有不全为0的力,巧，q使得，+臼+.%=0,即叫,勺,0,%，是勺%+-+/1=0的解，-从而也是.4+南自T-=0的解,则有+1/4+q-+%户4=。，缘自，鱼也相关极大无芳缜相对应，从而裱相等一，有一致的内在线表示关系。4设：工=0，电，,%h B=i自，用，用。则丫犬1%+工2%H-F/%=。即 A x=0,.自+芍鱼T-/45=。即=0 o+-,%,外,与先月，月有相同的线性关系即工x=。与珠=0同解一J 反之，当如v=U与&.=0同解时，兑和B的列向量组有相同的线性关系。矩阵的秩+，定理：矩阵A的行向量组的表列向量组的殊。规定产4=行（列）向量组的株.”尸5,的计算：用初等变换化为阶梯形矩阵B，则E的非零行数即个刃.，命题：E/=达的非零子麹魏的最大值0.，/二f*:C*。:吟*4口_4c-半 Q9*乜J H*3U*)C*(军 q?芈 上/方的表达形式，十一后+%既=1.产旗1工1+仪漱工2+一.+2神工乂=”2.A x=p 不是解=不=好,3.%+与%+4%=户 有解=户 T%,%,，%,8Jl!联系和 Ji+，l及=o恿窿嬲的gas解系.员,，兀是工工=o的基破解意敢条件：，每个/都是工1=0的解a一,%,，/线性无关金彳=0的每个解不一为,啊,，和，/=胃 _ yijs如果为,%，巩是0的一个基础解系，则从彳=0的通解为u它%+勺+4九，6任意宗如果备是工工=4户。W的一个解，外,啊，%是总工=0的基础解系，则月工二户的通解为”备+巾1+勺+4内，/任意4特征向量与特征值，定义：如果不。0,并且工不与不线性相关，则称不是工的一个特征向量。此时，有数兄,使得为不二称4为7的特征值。.，设以是数量矩阵忿，则对每个程维列向量小 功=孙 干是，住何裴骸血熏都是花的特征向量 征值都是足.j特征值有限特征向量无穷多招若上个二4不，仁役c%不=勿上不”工为=,切,n 工七1 次|=?1工%+勺=兄“%二兄%_每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值计算时先求特征值，后求特征向量.特征向量与特征值计算，A 7)=初，力丰0“=1.超一金叩=Q寸W 0，=不是侬一火优=0的韭整财命题：N是月的特征值=根内一可=0T是属于a的特征向量o力是d豆-4五二o的韭雯解+称多项式城1-可为月的特征多项式一，兄是/的特征值0凡是工的特征多项式卜9-旬的根。4的重教：4作为卜豆一国的根的重数，融阶矩阵上的特征值有融念：入卜心,，心,可能其中有的不是实数，有的是多重的一计算步骤：，求出特征多项式xE-国。4求-耳的根，得特征值。4,对每个特征值;13,求d田-4、=0的韭雯解鼠患展王储的特征向量0 口阶矩阵的相似关系J设上，B是两个理阶矩阵.如果存在扉阶可逆矩阵27,使得27-1qt7=B,则称4与B相似，记作刃n阶矩阵的对角化基本定理工可对角化=幺有限个线性无关的特征向量一设可逆矩阵27=91，%,小 贝如%1 0U1A U=I。00t 00 0 0、%0 0A0,.00 0%区 00%OM%，%，Q0 0、0 0=14%,久小，4%.00%今工后=4加i=1,2判别法则4H可对角化=时于W的每个特征值为，N的重数=黑-川短-*，计算：对每个特征值4,求出以下-4工=0的一个基础解系，把它们合在一起，得到理嚏线性无关白征向量，为，.令Z7=i%,I,则,U1A U=，其中4为公的特征值.4000、0为00000、000%二次型（实二次型二次型及其矩阵+一个用元二次型的一般形式为“只有平方项的二次型称为标准二次型.-形如：X；+君4-F X；-X；+1-工工的修兀二十欠型称为规范二次型二 q 户 p*a f TTf对每个m阶实矩阵且，记彳=（勺，可，/，则/工才是一个二次型。,户勺，犯，,心|=/代入叼，得到为,居的一个二次型g少】，这样的操作称为对力勺作了一次 逆线性变量替换。设y=m,乃，,外F,则上面的变换式可写1成。x=CY P则门勺/=/工x 二 yCWCF=MLj”i于是gi，yj的矩阵为cNc4CtAC=CrArCr=CrA C而摘矩阵的合同两个总阶窸凌称矩.陡区和B，如果存在用防窸亘逆机陡C，值得Cr/C=B。称/与B合同，记作命题：二次型力修居可用可逆线性变换替换代为gXi=ytB Y=/=*1二次型的标准化和规范化口1,每个二漱型都可以用可谓性变量替换化为标准二次型和规范二次型也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵.尸设上是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵。，使得Q=Q TjQ是对角矩阵口，Qr A Q=QA Q=D A-D A-2.标准化和规范化的方法口正交变换法记配方法3.惯性定理与惯性指数定理：一个二次型用可逆线性变换替换代出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和4吁 数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数0-一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。，用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A合同壬瞧育规范对角矩阵.定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换卡不变；两个二次型可互相转化的充要条件是 正、负惯性指数相等.，实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数.一正定二次型与正定矩阵.定义:：一个二次型/与，盯，称为正定二次型，如果当句,，/不全为口时，力为1，科，a 0-，J例如，标准二欷型产和，巧=也才；+1君T-卜.火：正定O如0,i=1,1-1（必要性取勺=1,x2=.=0,此时/1。,0=/0同样可证每个处 实时称矩阵正定即二次型xrA x正定，也就是：当无。0时，xT A x 0 0 01000、例如实对角矩阵0A 200正定a 兄 i0,!=1,*-0001000定义：设上是一个用阶矩阵，记4是上的西北角的呢J,方院，称因|为上的第广仝顺序主子式（或 顺序主子式兀*，正交性：|0的之0,且8=0 0a=0附录L 内积，正交矩阵，翔称矩阵的对角化+-向量的内积-W1.两个用维实向量a,的内积是一A数,记作 u产,规定为它们对应分量乘积之和。尸回 仅、宜 a、b、丁设Q=.,B=.，贝IJ IQ,户i=以付1H-卜外为2.性质；对称性：！U向=后的一双线性性质：0+%,。=依1，a+1%,户3IQ,自+耳 1=0,户J+I&,玛 3 a,-i=c|4,1 1=iarc*花g,=工I公373.长度与正交+,向量a的长度闷|=J a由=工姆a|二n4。/一个实然阶矩阵4如果满足A Ar=E,就称为正交矩阵.定理4是正交矩阵=A的行向量组是单位正交向堂组.=A的列向量组是单位正交向量组例3.正交矩阵工保持内积，即一MH=即证：ij4a男#1=/4户=/尸1例4.(04)工是3阶正交矩阵，并且的1=1,求金五二01万二金一】的解，-,三.施密特正交代方法,这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法.月=户一户1=#_白以设%,%,%线性无关F正交化：令用二4 4，2 鸣，月产（设自二心一用,恪,户=口，月曰户1 B当上二1时,用，母正交u）4-鸣，即