川大版高数第三册答案.pdf

第一章行列式1.1(23154)=1+1+0+1+0=3该数歹U为奇排列(2)毛(631254)=5+2+0+0+1+0=8该排歹U为偶排歹U(3)中(1)321=(1)+(2)+(3)+2+1+0=当=4加或=4加+1时，屯321为偶数,排列为偶排列当=4加+2或=4加+3时，寸(一1)321为奇数，排列为奇排列(其中加=0,1,2)(4)巾35.(2 1)246.(2叨=0+1+2+3+(聋-1)二的心当=4冽或=4加+1时，中35(2-1)246(2叨为偶数，排列为偶排列当=4加+2或=4加+3时，巾35(2 1)246(2叨为奇数，排列为奇排列(其中加二0,1,2)2.解：已知排列殖)的逆序数为怎这个数按从大到小排列口寸逆序数为(-1)+(-2)+(-3)+2+1+0=迎心个.2设第滋H之后有个数比北小，则倒排后(的位置变为北_什1，其后XT个数比+1小，两者相加为-x故璋/一i；)=7)-4)3证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇 排列.当n2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相 等，即所有的情况不变。.偶排列与奇排列各占一半。4(1)q3a24。33。41不是行列式的项 44。23。34：是行列式的项因为它的列排排列逆序列Z二(4321)=3+2+0+0=5为奇数，应带负号(2)。51。42。33。24%不是行列式的项 434 52a41。35a24=24 4 35a41。52因为它的列排排列逆序列C(34512)=2+2+2+0+0=6为偶数.应带正号。%1。23。32。445 解：an 电3。34 g1利用汇为正负数来做，一共六项，丁为正，则带正号，T为负则带负。14。23。31。42号来做。6 解：(1)因为它是左下三角形0 0.01 1“11 21。31 a41 an4 d 22 0 a22”32 042&“20 0/3。43 册331 32 33 ,0。0。44%4an3 ann0 0 0 0.am1/r(123)(-1)q22。33=(2)%a22a33a2。31%2。3区4。240%5。250%产。22。32。42。23002400。2500+。22。32“230为1。42000000。51。52000a52%2(-1户；：=%回22(-1广。-%2%(-1);。=。a5 1 0 0 012 0 00313243421170-15(1)1+2+1+2-153二 321x000yy o x y 0 x 0 0 0 00 0 0 0 y o x y0 xx5+y5X y 000y0y(7)3+2Ox y0 Q x+y(_)2+3+l+20XyXXy0Xa an7.证明：=Imau 0 0.02 77a a22 0.0*将行列式转化为 若零元多于2 个时,21 214)%凡2%anX 凡 20006100行列式可变为故可知行列式为0.08.1)册120-4-120-4-143-1043-10361-1=5361-1361-1=55940=53-1 312-11-2301-2301-230233123312331233124513-19 4-2 34=5 21133-121 0=6307 0第一章 高数3册9.（1）.7=根+6.经过（X,必）（2，y2），斜率加=21二%X 一2y=左代入（王，%）X 一7=.玉+6=6=%.X 一 ,（%一%）再_%必一 马必芭-x2贝 W 二 z2iX-x2一町2一工2必.人十玉-x2Xy1又由i=oy21左边=（必一2）%一歹（再一12）十（占歹2-、2%）=0=右边则y=Az2i.X+-“IX-x2问题特征:3b+cc+a1 0.(1)b+c，b+cc+ac+aa+ba+b，fl ffb+a利用性质（4）和（5）.分成六个行列式相加 其余结合为零故原式=h b,b+c=2ab b,cc（性质2）ah b,bia bsi n2 a si n2 si n2 yco s2 a co s2 p co s2 yco s 2a cos 2/3 co s 271-co s2 a 1-co s2 p1-co s2 yco s2 a co s2 p co s2 yco s 2a co s 2/7 co s 27-(2)列+(1)列2 co s2 a-l2 co s2 夕-12 co s2 7-Ico s2 a co s2/)co s2/co s 2a cos 2/3 co s 27co s 2a co s 2/7 co s 2/co s2 a co s2 P co s2 yco s 2aco s 2=0(性质(5)co s 2/4（3）.0Xyz0 xyzxyzxyzX0zy|。)|列 xyz 1X0 xz2孙2yz0X&(3)列 x x z-(4)列 xxzyzxz-xyy田0 x2yzyX0zx2z0（4）列x孙xyz-xyzyz-xz-xy|0111011102 Zy2102 Z必12 Z0 x212 Z01 1必x201x20bdaa+ba+b+ca1 1.(1)a+b+c+d2a+b3a+2b+c4q+3b+2c+d3a+ba10。+66+3c+，（1）列41）加到 （2）（4）列6a+3b+cabc dabcd0aa+ba+b+c（2）行.（-2）+（3）行0aa+ba+b+c02a3a+264q+36+2c（2）行3）+（4）行00a2a+b03a6a+3610。+66+3c003a6+36行(3)+(4)行-a4abcd0aa+ba+6+400a2a+b000a51 2 3 n-10 3 n(2)-1-2 0 n-1-2-3 02 60 3降阶 1x(-1).0 0 40 0 0X G2 13*X 2 Q23 ,(3)x x2 x3%x2 x3 11列M+(2)列-1(1)列 x-/)+()列1列 x(-2)+(2)列、1 0 0-12 6-10 3-1 0 0 ,x4xx/2=n死%”。23 a2n%3 砥%3 Z3 an-Xn:3 生一与GT”-01 2,n-2 n-1n(n+l)2u：2 33 41 2123n-1nn-1n0111 nn1将前行乘以-i加 n(n+l)0111-n1到后行得 2n-2n-l01-n1 111 11 1变为(口-1)阶=.1 1-n1-n 111-n1-n1将(2卜(n)列加、n(n+l)-1-11 1 11-n1-n1到列上得)211-11 1111=-(-1)2(IL_ n(n+l)111 1 11-n1-n1-1X列加到(+1)1111 0 n-n02(2卜(1!)列,211-n 111-n.011 11100 02-3+2 2w-2二(-1)2+丁 Th+177(W-1)二(l)k/+l22(3)1 aa2 4111 11 a-13-1 y(a-1尸act 1a 2 a-n+11 a-2(2)2(a-2)i转置,a2(a-1)2(2)2(一+1)21 an+1(a n+1)2+n-l a(1尸(a-2)1 (a n+l)w-1范达蒙行列式T)2 i!2!.(”l)!注：根据范达蒙行列式原式=(_1)(_2(_+1)=(_1)1+2+3+-+(2)1!2!.(_1)!(-1)2.)X+-1=(一1)2 1!2!(-1)!7 可-%i 0尸甲.a/；-b：a7 b2 q/片?咛 星(4)第行提出a：得n 一2乙2 t w-l inan+也+1“+14+1”“+12+1 年+i1 篇均a二k.4一可1b2段.姨也。%a22 a2球I d;.12+1%.hn-1%+1 4+1一1氏+1%+1%+1%+11 b邛一K1 axa；1目殳 2夕 n-lK境=a；a；a：7T(h bj、_/LUj U2,*an+%+产()7iu：uiZY ZT Cl-CL j端%A un+%匕1Un+2)+=一 X+&y+a u(二 X2+2 3 2 w+S 2 y 2+2blx+2 b M y+c)以o，_/2C co s(p si n cp n=l 时 A=l-疝(P co s 外/co s(p si n(p co s(p sm (p n=2 时/2=(si n 夕 co s 夕八一si n 夕 co s 力co s 2(p si n 2。=、一 si n 2夕 co s 2夕,co s 2 夕 si n 2 夕f co s 夕 si n 夕n=3 时 A3=A A=、一si n 2(p co s 2 夕,-si n(p co s(p,co s 3(p si n 3、一si n 3(p co s 3(p)(co s n(p sm n(p二假设/二si n n(pco s n(p,/,co s cp sm (p(1 当 n/=i 时，1=1一si n cp co s 外(.co s(p si n cp(2假设当介2时(n为自然数)成立，令-k,则(p co s/成立;当n=k+l时co ssi nk(p k(psi nco sk(p k(P,co s(p si nsi n(p co s、夕6f co s 左0si n k(p-si n 左 si n cp、一si n 左9 co s 9+co s kg sin(pco s-si nkcpsva 夕一 si n 左0 co s(p k(psin e+co s/co s(p)co s(左+1)同si n(左+1)0si n(左+1)co s 6+点成立co s n(p si n n(p综上当n微自然数时/=一$皿n(p co s n(p)1 0、(2)A=0 1 1、0 0 1,1 1 0、当 n=l 时，I=0 1 1、。J141111121当n=2时,A2010012当n=3时,A3101假设400o 11710110121001710111o)133、01101310101y0017n101当n=l时/=00假设n=k+l时1Ak+=AkA=001+kkr010011+左0100(一)、2n17110+k100、12k17110、011k(k-l)2k+17左（左+1）21+左1成立n综.上当n为自然数时，A0110017（刘 一1）、2n00115A=(a 1 0 0、00a 1 00 a 1、0 0 0 a.当A=2时/2a0 a20 0,0 01 0、X 1a2 an=3时A3=00(03a2 3a 1a3 32 3a0 a3 3a20 0n=4时A4=(4 a4/000106a 2 4。4a 3 6a 2a4 4/0-(a5 5 a 4 10a 3 10a 4n=5 时 A5=00a505a4 a510a 35/000an几优t C：2an-2 C n na加_、30anan-2假设n2 3时成立400na na?-l0002,7/a3i2 3a1、0a3 3/3a当n=3时 A3二00 优3a20 0a,(akkak-1*-2 a产30annak-x C.2ak-假设n=k时成立AK二100akkak-1。00ak7/CJkak-1C；a2 cd 一 3/a10q当 n=k+l 时 ak+l0akkak-1C 20a1000akkak00a0000ak jb00a,16整理得/k aka+kaklka，+cy-2+cy-20ak+xak+kakkak-l+C；400k+aak+kak、000尸）”(左+M dak+x=0 ak+(左+1)/成立0 0 ak+x(左+1)/0 0 0k+a7(2 n-2 3/7-3 Aa nci。n/“c l 2U a nci J a所以40 0 a nanx(心3)、0 0 0 an?1 4 2、综上a 1 00a2 2a 1 0、(an na-C盘屋、0 a 100 a2 2a 1,小 0 an nan-An=0 0a00 0 a2 2a0 0 a na、0 0 0a)、0 0 0 a2 jo 0 0 an;7、已知 B=0-3 2、0 4 3证明8二E,当n为偶数;B,当n为奇数证明：(13=04 2 V12、(-3-2 04 3104-34-20 0、1 00 03J 1.B2k=B2)k=Ek=EB2k+=B2kB=EB=BB=E,当n为偶数；B,当n为奇数8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。证明：设两个n阶上三角形矩阵为AB,17斯 o&%q%nn且A=ann)B=ah22(0A0000bnn/根据矩阵乘法,AB=%也1“114 2+0a22l、00有%2b22、1 瓦+anb2n+%/122，22,2+。也4也7则可知AB为上三角形矩阵同理，可得BA也为上三角形矩阵。9、若 AB=BAAC=CA证明：A、B、C 为同阶矩阵，且 A(B+C)=(B+C)AA(BC)=BCA.证：设A=(明，40)冈，C=(C“xs由题知AB、BA有意义，则可知必有m=s,又由于AB=BA且AB为m Xn阶矩阵，则可知m=n,所以 A、B均为n阶矩阵。同理可知A、C均为n阶矩阵，故可得A、B、C为同阶矩阵A(B+C)=AB+AC(5+0 A=BA-C又由于=A4,ZC=C4)(B+C)A=BA+CA=AB+AC=A(B+C)A(BC)=(AB)C=B(AC)=B(G4)=BCA10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA,证明：(1)(A+B)2=A2+2AB+B2(=(3)+=Am+CAB2+Bm(加为正整数)解:(/+5)2=(/+5)(/+8)18=A-A+A B+B A-B=A1+AB+BA+B2由于4B=BA,则原式(Z+B)2=A2+2AB+B2(2)(A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2由于Z5=5 2贝lj A3 出0故+力 2_笈(3)数学归纳法当冽=2时,(N+5)2=/2+2AB+2成立 设相=孔时成立，(/+8)T=/T+(_ 1)A-2B+CAB1+Bn-l 当根=时,(Z+8)=(4+3)(/+3)a=(4+6(纪彳明炉8+可=(%+(-1)/一1+CAn-2B2+C：t/T53+.)+An-B+(n-1)An-2B2+-+Bn)=/+nAn-xB+C,3+(1)An-2B2+c 3+c ji/f 3+.+5=/+nAB+CAn2B2+3”综上,(A+B)n，=A1+CAB2+-+BmIk(A A b、U2 Unbz be b、解：由题知8必为阶矩阵，设8=口21 口22 2n，b,b、b n 2 nn/19BA=4133 anb JA 2,22J飞口 62 P 1b b2乡21 b2nb2 2 2a2an)bb MeIM。3，卢林）2由于48=BA,且a2为两两互不相等,则必有除勾，怎，勾等元之外的元均为零,(bu故5=22 J即5必为对角矩阵。12、证明0)/=(%L，B=(b将/4分成根x 块,即/%2nxs/%1/114i则&2nA册2a 1 ml20/F中a A+2+4分*/uA+4 0才+册，）./砸第z个行向量为Mi+%昆+a*/=1,2,加（2）若将Z分成一列为一块，8分成力xs块即z=（4,4，4），8出鱼4八(1.力 8=(4,4,J/#6 4+2-=4/#6 a+2-A/i+b./f-.勿的第/个列向量为牝4+匕4+A,13、a b c,-b a dA=一c d a-d c-ba b cT-b a dAAt=一c-d a-d c-bd1+b2+c2+d2 00 a2+b2+c2+c0 0、0 Ai%bns)b b 4 1%2 us，2I 人22 b2s%2b2,+b”4,2,+bA,d.ci-b-c-d.-c b a-d cb e d a-ba)yd-c b a?0 0i2 0 0a2+b2+c2+d2 00 a2+b2+c2+d221从而AAt 4a2+/+/+/又小=如|=(tz2+Z)2+c2+t/2214、(1)1+西歹11+九291i+x y 2 i+x瑞1+XV 2记为D”1+x%i+il+x%1+”当 =2 时，D2=1+再必l+、2%1+X1%1+12歹2当题2 3时,10011111x200歹30%000二01400 0000故原行列式=（玉一%2）（乃一必），0,n3n=2记COScos2=cos-4)一%)3-%)1coscoscos(-%)1coscoscos(%一%)(%-%)3-%)cos_%)cos(%一%)COS(6Z3-6Z)1当=2时，D21COS(%一%)co s 一%)1=1-co s2(%当 2 3时,COS。sin a00COS%COS%.cos ancos%sin a200sin asin%.sin anD.二*0 .0=0：cos ansin an0 000.022故2=,si n2=20,w 3记-J*l-anb21-V1 1-a 也21-axbn1-a；b；1-。也Dn=1-a2bl*1 a2b2*1-2*1-1-1 一岫1一也1 一。也a.=1+a.b.+q2 b：+.+a-%/t U 1 J 1 J 1 J则R=%n(%lz jn-)n(bj-bj y ijn=n(%-)(bj-1i j =co s a、si na-smaco s aA-x1*(cos a-7 A-.(-si n。si n。co s a.1(3)4=0、。1M=。0p(2)A=0,02-3、1 20 b2 一 P1：=1 4*o 11 0、1 10 1,1-2 y=0 1、0。Jl1 0、当 n=l 时，1=0 1 1、0 0 J2假设 4=0 1 n0 0 11010、2P当n=2时,A2=011011012100J017100b12np10)q33当n=3时,A3=01i011=013iC：a2+C涉2、0ak+ak+kakkak-l+C注 100ak+lak+kakJ004J综ak+x(k+l)akci心+2、a1=0ak+i(k+l)ak成立00小1(k+Y)ak000ak+i)/a加一C：4cannan-C2an-2所以4c0n n-a na(3)00 an上2616、（1）fa100、(2 a2a10、%nanTC-20a100a22a10anaC2an2A=00a05=i)00a22a5=2)00anria-5=3)100400心100优）解：设X 玉/、（毛 X4j2%1+5x3=42x2+5x4=一6(2)设=3 64 82 4、9 1873为+4x2=2 6xj+8x2=4 3x3+4%=9 6x3+8x4=18 由，得：%=X；%2=；(2_3项)；3=%3；%4=：(9 3%3)得：x=1）产3再）；（9-3七）4 727再(3)设工=x2-1 X2 31 2-10I1 2372X+3x2-x3=2 Xj+2/+0 1X+2%2 3由方程组，得:%1 1,%2=-1；、3=-31、得 二1(4)设=x3 x4(3-12、33-3X6j V1 13项-x3+2x5=399、41u4项-3x3+x5=14x2-3x4+3x6=1 1 xl+3x3=7 x2+3x4=51、x,=%；居=x,;&=-(7-);得 3%4=(7%2)；*5=-(8-5x);x6=-(8-5x2);得：x=/X：(7-%)J(8-5 xJ、；(7一12)(8-5%)3 7(5)28演设X=7010%100、10040011 001(0110OA玉7001(011-4320-1x917-207得X=2;x2=-1;x3=0;x4=1;1;Xg 0;Xg 2(1-10得二13-410-2J19、(1)解:321D=1 2w0231522113D=131=241 11335111A2=-2421 13235231A二36211 1，方程组的解为:(4%2,2)D，DD(2-2 3)29(2)1111D=A=4=5-2-2 012-3112-14231-1-12-3-1-5=-1 420121 1A112312-315-2-2 04-51114-511=-142;P,=426;2=.方程组的解为:a，%,x22 D(3)D 二|止51 0 0 065100065100065112311232 D00065515-2-211-1-1214-511=-28412-311-1-125-2-20=1422,3,-1)65(_)l+2+l+25106510650651006510651+(_)1+2+l+3二19x65 30 x19=19x35=665 wO二 21 25 6 0 0 15 6 10 05 6 0 1 01 5 6 0 01 5 0 0 01 5 6 0 0D.=0 1 5 6 00 10 6 0=703;2=0 15 0 0=-395 50 0 0 5 60 0 10 60 0 1 5 00 0 1150 0 0 1 50 0 0 1 1方程组的解为:AA)4 x2,%3，x4%5，)=1507 1145 665,665703R D，-395A D212A D(4)665 665 665 JD=beab=ab2+be2+ca1-b2c-a2b-，a-，,有且仅有。=b=c或=b=0时，D=0无D D)111abcab(b-a)+bc(c-b)+ac(a-c)意义；则其他情况。=M|wO30a+b+c a1+b2+c2 3ac1 1b c=a2b2+abc1+a3c-ab c-a3b-a2c2 ca ab1 a+b+cD2=a a2+b2+c2 be 3abc1c=ab3+b2c2+a2bc-b3c-a2b2-abc1 ab1 1Dy=a b be caa+b+c a2+b2+C1 3abe=ab2c+be3+a2c2方程组的解为:-b2c2-a2bc-ac3(x，V，z)=偿去朋=3。)(4)2 5 7、/=6 3 4、5-2 3,2 5 7回=6 3 4=-15-2-3-1/*=38-271-1-41 3429-241-1 1-38 41 3427-29 24(5)Pl 2 3 41 0-2-6由(/E)经过初等变换(E八)312。3渝(E)210一20001。0。0。0031 2c-+C 2&+C3 4+C406。00200200003CIX(L)C 2+C 3 2 门2+C 30600000L。010030600C3x(tlIWC3+C40001,10 0 0 0 1。0 0 10 12X11+422%21 卜 42%34=0 xX 月xl王1(/西 力.+4x)+f 力.十4 z)+”.+&(/玉 1 4十 X l-T/+5i+Xn%4f f X X*2 1 占,必2 1 弋 十十4届Xi=2总.对任意nxl矩阵都成立4i=4i=-=4=0.-.A=027.证：=：/A为正交矩阵-I/.AT=A-1 A*A=Z=At又.正交矩阵为可逆矩阵-1二.A=A4 y=T 1,2)x+XNH 0 z H 4 4 Y+4 7 H E 3 一bx z X+N xnloZ o4320002 4-90 0-112000630 0 0A-XYZ-271111-1 273-21 2662621-1 37263_1 301 17111 26621 8-742-1 21 1271-3第三章线性方程组1.证：假设%+%，%+%，%+%线性相关，则三九演4不会为o,使得4(名+a),%时%(4%)用 整理得：(4+4)4+(4+4)%+(4+4)%=o又由,%,%线性无关,故4+4=o4+/12-o 4+4101101由于回=1 o10-12w00111011故由克莱默法则知:4=4=4=o,矛盾故结论正确。2.解:a=xt,x2,x3,x4由3(/-0+?q+/=(5好+婢T得:393a1+2z2-初3=6即3（2 5,1）3 f2,1 0 1）5 0,-5）4二6（玉方七A根据矩阵相等，则对应元相等，得6%1=3x2+2x1 0-5 x 46x2=3x 5+2x 1-5 x 1 6x3=3xl+2x5-5x（-1）6x4=3x3+2x1 0-5x 1得:玉%,1234.”=（1,2,3）3、不一定。原式：/（4+左）+左2（4+尾）+L+左?（+&）=0故仅可得到（/+丹）,（%+尾）,L,（5+力J线性无关将每个向量任意拆分得到的新向量显然不一定仍然线性相关 例如向量成比例或含有零向量例:%=（0,1）,4=（0,2）=（0,1）或%=（1,0）,仅2=（2,0）%=（1，。）百次任个为零向量4、不正确使两等式成立的两组系数一般来说是不相等的，所以不可以做那样的公式提取即匕 w%L kmkm5、提不：含有零向量就一定线性相关极大线性相关组中每一向量都无法用其他组中向量给出，因此可用一极大线性无关组加零 向量构成向量组6.证：假设%,4,%，线性相关，由题意知，必存在一组使得/=由假设%明线性相关必存在一组不全为0的数k1,左2,心使得：左+此q=0由1与2可能：尸=（4+4）%+40但力的表示式是唯一的，故4+3=几方，4+绘即得：左=质=0矛盾 故结论成立。7.证：设%,%，4为力的列向量，则43=0可写成：(h b ,b、u 1 u 1 2 u p 1a b 方U甘a/”=/2 1 2 2 b p2ab 与方寸a/=0(%aJ =(*b,be by ni n2 n/他力a”力一+ab”=总由于必,火，。线性无关，则 0,/3 4%+L+4?而%,4，L 线性相关，根据定义，至少有一个向量可用其他m-1个向量表出，我们不妨设许=4。1+k2%+L+幺则尸=一?(4+匕)/+(4+2)%+L+(4i+(”T)aT+xq X这样得到了夕的另一种表出式，即表出不唯一 综上，假设成立条件下得到的结论与“可用名,4,1,q”唯一表出矛盾故假设不成立，%,%,L,4”线性无关41仍一/、一 回7、将A表不为Z=(a,%，L,%)，B表示为8=乂凡AB=+CC2B2+L+anPn=。若多,4，L,4线性无关，则必有?=凤=1=0”=0=B=0同理可证AP117 T8解：(1)1 4 10 0-7 8 18 417 18 40 103 7 13 1一3(1)行+(4)行-17(1)行+(3)行1 4 10 0-0-20 18 40-50-130 100-5-17 1中2)行+(4)行42)行+(3)行2_1 4 10 0-0-20-52 40 0 0 00 0-4 0力:换(3),行、-1 4 10 00-20-52 40 0-400 0 0 0-7行+行/由此r=3解-2 1 11 210 4-1*互换(I)，行、-1 2 11 20 14-1(T1)行+(3)行行+(4)行、-1 2 11 2-0 14-12-3(2)行+(3)行4(2)行中)行)-1 2 11 2 0 14-111 4 56 52-1 5-6由此r=2解-1 0 0 10 10 20 0 131 2 3 14_4 5 6 32*4-5 互换(16 互换G3277_4 11 56 5-1 2 5-6_-i 0),(3)行 1 24 50 10 0(0 1 43 14 326 32 770 2 51 3 6_0 3 12-30 4 16-4_-4(1)行+(3)行-行+行、310 00 2 30 5 60 1 00 0 10 0 0 00 0 0 0)1 413 2828 612 53 6 _/10 0 1 40 2 3 13 28-a2)行+行2 OJ行+(4)行0 0-1 8Z-2 23 90 0-1 82 20 0 13 6-10014(3)行+(4)行0231328非)行+(9行J-001360000000000由此r=3解4)422 0 3 1 40-5-12 20 5-1行+行、2 0 3 1 40-5-12 20 0 0 0 0T9解(1)：设向量组线性相关,则由此r=2解一3 2-1-3-2一9 1 Q 1 2*可换(21(3)行、(-2-1 3 1 一3一3 2-1-3-24 5-5-6 1 _-3一55-2行+行-!)行+(2)行_乙_4)-2-1 3 1-30 Z.11，32 2 2 20 7-1 1-8 74 5-5-2行+行、-6 1 _一2-1 n 73 111 9由此r二3解：-1 0 1 0110 00 1100 0 110 10 1_(2)行+(3)行-(2,行+(4)行、000001_-10A2 20 0 1互换(4),(5)行、2 2 2-1 0 1 0 0-110 0 0n 1 1 n n-(1)行+行-1 0 1 0 0一 0 1-1 0 0 0 110 0 0 10 11 _0 0 1 1 0_ 0_ 0 A0 1 0 0-1-1 0 0n o n n0 10 10 0 11-行+(4)行10_0A0 1 01-1 0non由止匕r=50 0 1110 0 1 1 0/0 0 1110 0 0 0-1 _+44+4%+4%=(4,34,54,-44,0)+(4,3%2%-2%,4)+(为-2%,%-办-4)+(4T乙,4,4-4)=(4+%+4+4,34+3%2%4 4,54+2%+4+4,4%2%4 4 4)=0434+4+4+4=o（i）34+33-24-4,=0（2）54+2A+4+4=0（3）-44-24-4+4=0（4）4-4-4=。由（1）,（3）得：4=222由（3）,（4）得：4=2%，二0A代入（3）式，得：54+24+4=104+34=0.4-o4=4=4=4=0由止匕r二4.线性无关-1 3 5-4 0-1 3 2-21-（1）行+行/）行+行一103 5-40-3 20-1互换(2),(4)行、-1 3 5-4 0-0-7-4 5-11-2 1-1-41 1-a2）行+行/、1-1-1_-1 30-7-（1）行+（4）行5-4 C-4 5-8 47 7-3 2 10 _0127-5-4 3-7-4 5弓行+（4）行._-1-1_00073 5-4-7-4 5。上-17 770 0-20-5-4 3-10 0-3 2 1_0-12/0 0_0 0774 _io(1)证：由a,%,l，4，线性相关则必有一组不全为o的数4,4,l,4使得4a,4%，l=0既有：=。444。12，2。22，1K/11as 42a2，L，471 a0m2=襁=0从%,火，L 中每一个向量中去掉第2；/2，L 4,就相当于在上述方程组中去掉S个方程 剩下的方程仍成立 既有不全为零的数4,4,l人 使得：4。；，42a2，L，4&=0从而：a；,%,L 线性相关 显然当a；%,L，&线性无关时 由上面的证明可知肯定线性无关（2）由（1）的证明很显然得到结论11、证明：把=（11片,K/3）=l,2,K/）作为矩阵A行向量写成矩阵AL即：A=1 1片1 t2/2 Lr-1,r-2LLL 只须证A的行量组线性无关即可即证：vA-r显然A中有一个阶子式D.=,r-1.r-l 2W0而A内的所有尸+1阶了式为0,因为A的行数12L1t2 L，,2LL1L C1故有弓=尸，从而结论成立12 证：先证当a”%!,名可由6i，62，L,凡线性表示出时，叫,4，1,%的秩小于等于 4&L,4的秩不妨设：%,%,L 的极大无关组为%,%,L,cz.；4&L,用的极大无关组为风&L,4只须证：厂，即可假设尸/45那么由条件可知：%,%，L 0可由40,L,丹线性表出，即存在矩阵左疗，使得,%)=(6，夕2，L,4)孙。21L、%、12。22Lar2MMM即a2tL=(B1,02L，B)ktxr在上式两端同右乘一列向量再M,即得:3，%,l,%)/、/x2M(4,用L,力)4%2M%a22M%只要找到一组不全为0的数X,%,L，%，使得:二0成立/ana2L%f 再ana22L%2MMMMa2tL%就能说明?,L,4.线性相关，与囚,。2，1,火线性无关矛盾 事实上：由于之，所以上述方程组一定有非0解故结论成立，同理可证尸2,从而有=%1 3.证：(1)尸=S时，若 det/)=网 w 0,/、则 M=k xM4说明，向量组B与A可相互线性表示，又由A线性无关，其秩 所以3)=S,从而B线性无关反之：若B线性无关，考察4片+%尾+L+%=0 代入并整理得：46（4，%L,4）M=UJ（4，4,L，4）左 M%1L 令左=21 LLMi L 由上式可得：（4%i+4出1+l+4%）/+?222+4&2）。2+1+（4%s+4 a2s+L+4%）%由4,%,L,%线性无关，所以4%i+L+4%=。（*）L4%+L+4%=o若网=0,则（*）有非。角%s a2sL网AM4=k%a2MasJ从而阮4L,女由故（母血,L/）=（aW，L W.考查：M；+4H+l+4/=04、即（母血,L,4）二0将（母，H，L）=（%,W，L W*代入上式得:4、（a；,a；,L,a：产 二。47由于名，火工线性无关，也线性无关 故-二0M（%而方程组-：2 0只有0解。M/、再而尸一/1L,47线性无关M=0只有0解，故结论成立 匕14.记住下常用矩阵秩的性质(1)rA=rA.（3）若尸,。可逆，则出。二弓（4）max为卜储切工弓+方证法一：由上述性质（4）条，r.（43）所以 rA+B X（l）行+（4）行30o-5423T1146T22T19 T 38 T13_-ij1）x（2）行+（3）行）493-5 2 4 2n 23 11 19 1(J-.3 33 3230 0 00则乃w%无解解：对方程组的增广矩阵进行初等变换.（课本第1 1 9页题1=1出错，应该为一82%!+5x28x3=84再+3x29x392xx+3x25x373+8x27x3=128 A(1 5B=-9（-2）x（1）行十（2）行-lx行+（3）行（2-5-5（1）行+（4）行-712)(0-8 87-73-1-3 84 32 3U 85970000-8（3）行+（4）行 d-25-880-77-700110000则=%二3有唯一解。即唯一解为（3,2,1,）。83由方程组-7 解得：211B 二（4）、解：对方程组的增广矩阵进行初等变换.211-101、p211-10111111-1X行+（3）行、0111111010220-1-1 011。2210-1，2210（2）行+（3）行0 1、1 12 1 T 0,卜2卜（2）行+（4）行1 2 1 1-1 0 1、(1 2 1 1-1 0 1 10 111111行+（4）行、0 1 1 1 1 1 10 0 0 1 2 3 20 0 0 1 2 3 20 0 0-1-2-3 2,0 0 0 0 0 0,50则乃=勿=3 6只方程组有无穷多解。先求它的一个特解，与阶梯形矩阵对应的方程组为国+2%2+工3+%5=1 x2+x3+x4+x5+x6=1+%+2%5+3、6=2令上式中的二%二7二，解得石=1/2=T，/=2。于是得到特解：x0=(1,-1,0,2,0,0)导出组的方程为：z-国+2x2+x3+x4-x5=0J 7-4 1122-17-1 4 2、1 1 1-4 1151-2 (1)行+(2)行 一 1行+(3)行1002-55-13-34-772-3 A-27(2)行+(3)行1002-142-53-7-3000A-57显然，4=5 时，rA=rB=2%+2x2-&+4%-2-54+3工3 _ 7%=_3此时取（七/4）=%4)(x 3,故1，,演二4 一 6/511(%2=-3+3%3-7兄4,7、7（2）同样地，欲使该方程有解，须使弓二%1 r4111其中A二1 2 1B=1 A 1 21 1 l,1 1 2 Z2对B进行初等行变换，得3 1B=1 A1 11 1、2 1 1 1a1 1 1 2 A2 4一4(1)行+(2%亍彳亍+(3)行 0 1-A2、0 1-20 1-2A-l A2-2N i-A21-A 1-A2 J/1 2(1+几(2)行+(3R 亍 0 1-/1、0 01 2、1-A 1-/L2 2-11 AA 1 4(%1)(1-2)(4+2)(4+1)(1-/1)4=1时52100100100B=1)0 此时