四川大学版高数第一册部分习题答案.pdf

高数第一册第一章习题1.1x W 2/、1 1 1 51.(4)-2-2 x+2 ,x x+2 ,x-x+2 2 2 2(5)21x。01而2-1 1 1 1,x 一,X _或 X-4 4 43.(-8,-l)U(T，+8)(2)x|x w l,x e R(TD9 x2 A 0=-3W x 4 3(4)或 Xv i(5)(-8,3)(6)7rx w knw k(k e z)2x 4x2 2,1(7)-Win-1 4x2 0 n x 0n xIn x0 n x 11-1,2x2l=x 0(10)/(x)=/.0和0Vx/2 xex n 1 WxW 27.(1)奇函数(2)偶函数(3)偶函数(4)偶函数(5)非奇非偶(6)/(r)=W+x)2+#(1%=/(%)奇函数(7)/(-x)=In 1+=-In-=-f(x)偶函数)1 X 1+X(8)/(-x)=-sinx-cosx w/(x)非奇非偶函数(9)/(-%)=-sin%cosx非奇非偶 13.(1)/(x)=/(2V)=22x=4v,(/(x)=2xxeR/、1 x 1(2)/(/(%)=1=(x0,l)1-%1-Xx+1=,则 x=tT,(3)f(t)=Q-1)，-3(1)+2=J-5/+6./(x)=Y-5%+6或：/(x+l)=(x+1尸-5(%+1)+614.(l)y=x2*(0 x 0.(2)Ve0,解不等式，2+1-0=,-1 尸=7y/n+Yn 2Jn 4e(2)歹=-J1-f 定义域0,1反函数 x二一 J1 一 y 2(3)j=,x-l=,x=l+=i函数y=liA,定义域1 w 0 x-1 y y y x(4)x+1=1g y,x=1g y-1,反函数y=1g -1,定义域 x 0.1 x(5)反函数y=-，定义域(xwl)1+x x(_ 00X 1)(6)反函数y=j 4(1 x|log2 x(16x0,解不等式吧-0 nsin nn L n s(3)Vc 0,解不等式|0.999-110-1-11八-lg 10 当=0.0001 时，n 1g=410 4(4)0,解不等式台一:2+3 2+4 1 乙日-；-;-=-0N e N*,V”N,有卜一 a|oo于是a xn a N,有卜“-q|x 1 I1，小1000 fj4.(1)hm=1000 lim叁-=0n8+n-oC 12Hm=Um j 上=*（1_尸）/（1_3-8_Q-bn+x-a,1lim=lim(l-)=1n co n-8 元十(4).I2+32+.+(2n I)2lim=lim-3 n=lim11CO(4黯 一 1)43n3(5)lim=limn f g n 8+l12 a(-2)(-/+3(6)%”1=一+23 52%22 233 5 7-1 1-1-72 22 231 3 52h-1H-22-l+2”t=I-H-F22 2322%-2 3 2i2 2=1+(1+F+722i1)=1+(1+-+12 221+记)=11+2-1-=3-2-2 21-2lim(2x;noc_ X-i)=3(7)lim=limnf8nf81-3222-4323-57(n 2)n(力-1)(H+1)n+1 16.(1)01一丁 n11r H-7 H n(+l)1故 1 i m-+11n2(什D 2(2a2(If(IP2 n=lim-=n-8 In 21111n+1(2y”+i个3(2)0 n!3.3.3.33.31-2-3 4 (1)-w9 3 02 n(3)设a=1+b,b 0,贝IJO J=nann2(1+6)”-01+助+2+(1/22(4)111 11+1+-1+1nn2 nnn(n-1)1=1+-n-1则0-7(1)%na+-r n1111 3H-=一3 210,(n+I)-+11%+I21221+n11+一+1-21H-(n l)w=1+(1)12+i又：0为增函数又二ln(l+-)+ln(l+)111fH4n)+2 2 41 1+=1-02cosx-COS XCOS X-2 sin=lim-x-0,2 2X+X.x X-sin-22 X2cosx-cos x2 or:lim-=hm30 COS X 3sin x-2xsin x22x=limx-0,2 2.X+X.x X-2 sin-sin-=1血-Xf X+x x-X-2 2-cos x+2 sin x2+4x2 cos x22 4X X42 Xi=2 x=4122-(-1+0+0)=-212(3)limxtOln(l+x)lim ln(l+%)=In lim(1+X)=1%or:ln(l+(4)lim x ln(l+x)=lim ln(l+x)x=1X-8ax-1(5)lim-Xf 0%X-8(设a-1=y.x=log.(y+1)In a用(3)的结论)=lim )-0 11-loga(j+l)y1.=lim-=ma)to 1 ln(y+1)y In a12.(l)Vw g N,故=2加，得：氏一=2 2m1+.+-3 4m-12(1+32mm+1 m+12m+12m+32mH-4m-1m+1-2m+2=工取3 故发散22(2)法一：单调有界数列有极限判定xj单增,且x1 1 1 1 1 1 i 用1+(1-)+(-)+(-)=2-2有上界。2 2 3 n 1 n n法二：柯西准则Vn,p e N,有1Z+p11(+1)21(刃+2)21+7S+P)K-1.+n(n+1)(“+1)(“+2)11 1(n+p-l)(n+p)n n+p1 0N=,当N时,8X/p e N,有z+p-X”0,3S0,Vx:当 0X Q 5时，有 f(X)-b 0,90,V%:当 0a x 3时，有，f(x)b0,mb0,X/x:当 0X a 3时，有 f(x)-b 0,30,Vx:当 0 x-a3时，有f(x)o,3o,Vx:当 0 x-aM(6)0,30,X/x:当 0时，有 f(x)0,3d0,Vx:当 x X 时，有 f(x)-b 0,330,/%：当了-入时，有 f(x)-b 0,2 X-4=x-2 x+25 x-2 3 x+2 5x 2 -d min 1,5,O.Vx:0 x-2 8,2 X.2-4 0,(7)Ve 0,x23 a：+1 32x+l 22x2+x工一 212(2x+l)x-4-/+21 2cx+4 2 x-2 2X X_ 22%7。?.d=4(x-3)(J1+%+2)2(4+2)(%-4)(x-4)(Jl+2%+3)=limxt3_ 1yjl+x+2 4z i /tn-,m-2,znx(%1)(%+%+(9)lim-：-；-(X _)(/-(10)lim(6/+iiX+6)=6x-0(11)lim(x+xn+xrl+1)n-2X=竺或用等价无穷小转化或罗比达法则 n)+1=43)1)+，-3n(n+1)1+2+.+n=-212%a。+lim%x8b。a+.+口mXb7 b+3+.十 二2 mX X=(m=时)b。+力 x%(13)=limx-cc b/、+bh218.m-nXw-n+1X0(m 时)+组mX%+,+*+x x+Xm-nA-2sin ax b a a二 lim-二a sin bx b bsin x(l-cosx)(2)=hm-X COS X.2 sin2 1sin 1 2 11=limXf 02 4 cos x 2X2 sin2(3)lim-x-*o(32 4 sin x12(4)%=7i t,t 0sin mx lim-=limxtk sin nx sin(m mt)lim空四=竺(珠奇偶相同)sin nt n19xtO+O x2 Xsin(n7r-nt)=isin mt m.x-lim-=-(nrn 奇偶 不|司)sin nt n lim sm=limx-0+0lim1 Jxsin%sin%等价无穷小x2(Vl+x+-x)2-=0/.x=2xo(a/1+X-Jl-x)高阶无穷小1面至二叱 sin x=lim(-1)=0/.tgx-sin x=o(sin%)高阶无穷小x.0 sin x(4)limx-04x2+6x3-x52X=lim(4+6%-=4 w o 4/+一%=0(/)同阶无穷小.3 020原式=lim x+1-Xf 8 1+12x.-ax-b=lim(l-a)x-(1+Z?)=0 a=l,b=-1Xco21lim/(x)=lim(tz-+2-+3bx+5)=lim(3/7x+a+5)X+1 XT00当 a=-5,b=0时,f(x)为无穷小量，当a为任意数，bwO时，f(x)为无穷大量习题1.35.0ZW=sin xlim-=1,lim/(x)=lim|x0+0 y x0-0 xt0+0sin(-x)-1=1-xlim，4(x)=lim =1,lim f2x)=lim-=1x 0+0 x0+0%x00 x 00%6.lim ex e,lim a+x-a+,e a+1,a e .x1 x-7.(1)lim/(%)=lim/(%)=8第二类 Xf 1 x-2sin x.以(2)/()=-,1,第二类(X 4-1)(%-1)(3)lim/(%)=1但是 f(0)不存在,可去间断点。lim f(x)=cc(k=1,2 xO x-攵江(4)lim/(%)二%第二类。x-0(5)lim/(x)=1,lim/(%)=-l,x=1为第类。(6)lim f(x)=co(A;=O,l.)第一类。乃+2Y 1(7)f(%)=lim-=Jim f(x)=8,第二类xco 2 1%x0X+一n(8)lim f(x)=1,lim/(x)=12,第一类。%-3-0 x-3+0(9)f(x)=必 Jim/、()=-1 J(0)无意义，可去 ox(x+1)7lim/(x)=0,/无意义，可去。lim/、()=0,第二类，无穷间断点。X-1 x-l第二类）10(2)limx-16cos x-cos x2=lim.r16,2 2 X+X x-X-2 sin-sin-=-2 limx 16,X+x2 sin-sin或用罗比达法则 22 2 4x-X x X2 X22 X22242 2X+X x-X 2-X22ln(l+x)-(3)lim-=ln(l+x)v=1X-0 Y(5)lim-(设aT=y)x-0 X=lim-1-=In。或者使用罗比达法则。-log!_0 yi(7)lim(l+g2%)，gx=e Xf 0_ sin xn x m原式=lim-(-)xx-0 xn sin x0(m)=1(=m)co(02sin2 2121ln(l H)a I(2)lim-=limln(l+-)77=ex-0%xf a12、利用洛必达法则求极限(1)limXTx3+x2-5x+3 x3-4x2+5x-2x3+x2-5x+3 3x2+2x-5也甲-彳石-3=啊3，_8x+5=叫6x+26x-88-2=-4(2)limXf 0(3)lim x-l(4)limx-0(5)limx-0(6)limX+8(7)limx-+0(8)limX-0(9).sin 5xlimx-0 xsin 5x=lim 5cos 5%=5xXf 0limXf 1In xx-1In%.1VTT=lim-1limx0tgax sin bx2tgax.a sec ax.ar=lim r=lim t 2sin bx x-0 b cos bx,v0 b cos bx cos axablimx70t gX-X x-sin xtgx-xsec2 x-1她73嬴7x-sin x2勤嬴丁2limX-+8nXnXax elimX+8n nx.=limn-=0n ax a elimXf+0In sin 2xIn sin xIn sin 2x.-：=limIn sin x 1+()cos 2x1+cos 2x-12COS X=2-1=1X7+8COS X a-+7T 乙 X lim（一）之 3 二 limxN x兀一XXCtg 一 2=lim 2sinXT穴7 X2-=22（10）11m（1-x）-lim|In（|-r）limz7.lim（i%）.=e =e =1一0法一：im。）=limi+（x）=exf 0 xf0（ii）Hm（那 7T x02lim（2x-7r）lnfgxlim（g）=limiTg=eT71 冗x-0 x-02 2/.In t2x ctgx sec2 xlim（2%-兀）ln tgx=Hm-=lim ri万八 万八1 冗 C 1x 0 x-0-x-0-2 2 lx-n 2（2%乃 了=limn-x-022（2%-%）2-sin 2x 8（2x 万）=lim-:n-2 cos 2xx-0二0lim（Jgx）2F=e=1 x-02（12）lim（A”x-0+0 Xlim（与in、x0+0%-Inx nm-eTO+O cscxlimx-o+o cscxct gxsinx lim-t gxx-0+0 Xo 1e-1（13）lim（），-lyIn y）y tlim（）Ti1 歹TIn y-y y t 1-In y y.yny-y+l=lim（I（y l）lnyy In y In y+1触 ylny+y.吟 Fy2（14）Um x（e；-1）VCO ex 1 lim%(*-1)=lim =limyf 8 yf 8 yooX14.证明:(1)V 0,VXj,%2&解不等式:|/(%1)-)卜 2 cos 1 2-sin(2)3=L0,Db0J 项取 3=。(2n+-d?n7i-%-X112 冗 冗 _ G 2 _J_ (xj 一/(x2)|=sin(2/?+)7T-sin 2=1 =,()习题2.1(/(4+Ax)-/(4)14+Ax-2 Ax 11.y=lim-二 lim-=lim-/-二一x-Ax x-o Ax Ax-0 Ax(v4+Ax+2)41 1f(Xn+Ax)-f(Xn)/+%n 1 1(2)y；,二 lim 八-)八 二 lim-匕=-lim-二；20 Xo AxfO Ax if 0%0(%0+%)Xof(X,.+Ax)-f(xn)(3)/(x)=lim-八上二lim 2%+%+3=2%+3Ax-0 4%A.r-0心/，门 r/(1+A1)/r 1 (1+A%)1(4)f(1-0)=lim-=hm-=-1Ax-0-0 A%Axf 0-0 八%/.71 n,r/(1+Ax)-/(I)-Ax(l+Ax)/(1+0)=lim-=hm-=-1Ax0+0 x Ax0+0 A%/(2-0)=hm xfo-o Ax八2+)=飘。/(2+Ax)2)Ax二1limAx-0/(3+Ax)-/(3)1Ax2.(1)lim Aj=lim/(0+Ax)-f(0)=lim(Ax)2 sin xf0 Ax-0 AxtO1Axo.-.连续lim=Ax sin=0可导。Ax Ax(2)lim Aj=lim Axsin=Oo lim=lim sin，不可导xf 0+0 Ax-0+0/y Axf 0 八工 Ax0.丫(3)lim Ay=lim sin Ax=lim sin Ax=0.Ax-0+0 xf 0+0 Ax0+0limAx f0-0=limAx-0-0sin Ax=-lim1 AxfO+0sin Ax=0/.连续limAx-0+0Ay=limAx-0+0sin Ax-=1.limAx-o-二 limAx_sinAx _ 1.不可导Ax1 /|、HJ、J%3.（1）y=i=3/Li=2,则方程：y_2=3（x 1）.法线方程：y-2=-1（x-l）7.（单数）（没有）14.（单数）（没有）16.（单数）1 y 1 1 y 1 in x-(l)ln y=-Inx,=-lnx+,y=-(1-In x)=-.y.cos x(3)In y=cos x ln(sin x),=-sin x ln(sin x)+cos x-y sin x(5)In y=ln(x+1)+31n(x+3)-5 ln(x+5),=-1-1-2 y2x+lx+3x+5y xy(7)y Inx=xln InxH=In y+-,y=-%y/-xy”x2 xy In x19.(单数)my=+l)y=2/八 2 抄 用(/+i)y=6%2y+2/y*V+1j1rli 2x3 y 八、2x3 y-?,2x3 y把/=丁上代入：2歹(一一)2+(歹2+l)y”=6/y+2/r_y+1 y+1 y+1cos(x+y)(3)/=-,1 一 cos(x+y)j=-sin(x+y)(l+y)(1+y)+cos(x+y)y”=-_y(l+y,2)+cos(x+y)y20.(单数)y=-eX V x ITI 5),1、“7=e,y=e,.y=(1)ejr 2 7T(72 1)7T(3)y=sin 2x,y1=2 sin(I-2x),y=22 sin(-F 2x).y,)=2nl sin(-1-2x)2 2 26.(单数)(没有)7.(单数)(1)力=uvdw+uwdv+uvwdud(u1 2+v2)1 I二-T%-yx-y1+c(3)/(%)二%p,在(y,x)上，满足x-y=pcp x-y)y c xpyp-(x-y)xp-y pxp-(x-y)力=-f2(u2+v2y,.3 sin 2w 3 sin2 ln(3x+1)1(l)tfy=2 sm cos u-sin 2u*dln(3x+1)=-dx=-dx3x+1 3x+1（3）没有力=2 sin u cos udu=sin 2dln(3x+1)=sin 2u-dx=-sin2 ln(3x+Y)dx3%+1 3x4-1(9)设 f(x)=sin x,x(.-,Ax=-6 180 re。.兀、兀(兀、sin 29=sinI-cos(-)6 6 180设/（%）=/3/+c,若/（%）=0.在（0,1）内，有实根X2，则/（X）=/（x2）=0。/（%）在（X,X?）内，满足洛尔定理条件。故在（X,X2）内,至少存在一个点使得f（幻二0,但f（X）=3x2-6x=0.只有根0和2都不属于（X,X2）内，矛盾。(1)f(c):三二2由 f(x)=6/得=6c2=12.C=-2，/、1 Ine-1 1(3)f(c)二一二-二-c e c e-1 e-13设/(%)=sin%,/(%)在%,对或y,x上满足拉格朗日中值定理条件，有 siny-sinx=cosj*(y-x),g g(x,y),:.sin x-sin y=cosf|(x-y)7T(笈-x)27 X2 cos 2=limX7T-2(tt-x)-sin%-1=2 lim-=2f COS X(11)设库Ly,n y=(lx-7r)ln(fg%),11r lng%)hm-=XT J 12-2x-7Tlim7VX2tgx cos2 X(2x-冗)2(2%-万)2 v 4(2x-乃)A二lim-=-lim=-二 0 x_-o sin 2x x_-o 2 cos 2x2 2 0 1.y=e=1(13)原式二 lim，ln)i(y-l)lnylim y-1yyylny+(j-l),In 歹+1 1=lim-=z 1”+2 2(15)原式二 limx-0ln(l+x)exXe.-In(l+x)=lim exx-01x(l+x)ln(l+x)2Xlirn(l+x)qim x-0 八XT 0 x-(+1)ln(l+x)x2(x+1)=e limx-01-ln(l+x)-13x2+2x1二 e lim*+1 二1 6%+2e2(17)原式二lim-J。x(ex-1)X 1 e 11lim-=lim-=xfO(%+l)/1 xf0(%+2)/2E a ln(l+X)l+x-X(19)原式二 lim-=limx 0 X x 0(1+x)ln(l+x)-x2Xlimx-0ln(l+x)-l+l 1.1-=lim 12x2 XT。1+%2i（1+）X-i y（I+,）二(x)为申苴/y（1一）忆.、，i i 忆,、（x）y+.+x+x=（x）y+.+x=（x）f-：Z J u 17 C=（o）（“）/l（+太）=（攵）（“）/=（0）./-i 二（o）“/+x）=（黑）“/-i=（o）/（x+【）/二to=（o）/i9 iS iX-1-X-X-1-X-9 OIL 0801 0Z OLZl冥一+x6-l=（1+X-x）=（x）/2 09 z03 L=（O）（9）/O8OL=（0）/0 乱=（0）/OLZ-=（0）u,/（-矢?）（1+丫 /）9+（E 一 乂）9=（L/09=（O）./（l+x j）9+j-矢1）（【+算 /）9=（）“/-6-=（0）/（-Ji+x-/）=,八=（0）/0=算2 2JQ JQ(1)设/(%)=ln(l+x)-(x-f(x)=-2 1+x当x0时，/(。0,/(%)在(0,+8)内严格增加。因为 g(x)=0,当 x0时g(x)0%ln(l+X)。设r(x)=eosx(.-tanx)JT 7T当0 x时，f(x)0,f(x)在0 x一严格减少，2 2JT 2 因为 f()=W,2 71、“，冗、sin x/乃、2 2当 0 f()=sin x 2 1 2%n设 g(x)=x-sin x,gx)=1-cos x 0,g(x)在(0,?)严格增加，因为 g(0)=o,g(x)=x-sinxo1%一设f(x)=tgx-(x+),f(x)=(tgx+x)(tgx-x)0,3r rf(x)在(0,)内严格增加。2f(x)f(0)=0.-,tgxx+一 3(l)y=3x2-x3,y=6x-3x2,y,=6-6x=0,得 x=l。%1 r,(2)y-=y=-0,凸3+%(i+x2r(3)y=1+cos=-sin x=0,得=k兀?2%2(1+a:)(1 x)(4)歹二 ln(l+/),=-y 二-=0,得x=-l,1.l+%l+%(l)/(x)=6(x-3)(x+l),x=-l,3/(-l)=17,/(3)=-47(3)八%)=(x-2)(%+l).x=1,213 7fx)=2x-l,f(-l)0 J(2)=6 3(5)/(x)=(x+l)9e(9-x),x=-1,9,/(-I)=0/(9)=0(-叱-1)减(-1,9)增(9,8)减八(2 cos x+1)(2 cos x-1)7i 2万 cos x 3 3(0,2)增(土，红)减(红增3 3 3 3.(4x+l)(4x-l)1 1/G)=-=X 4 4(0-)减(1,8)增4 4(U)fx)=(-x)ex,x=(0,1)土曾(1,2)减n 5tv(13)f(x)=cos x(l-tgx),x=,-4 4(0,三)增(。空)减(空,2笈)增4 4 4 4y=2v,xg-1,5,/V)=2r In 2 0M/(x)min=/(-l)=/(%)=/(5)=32(3)y=2tgx-Zg2x,(0 x 7i)、_ 2(1-gx)f(X)2 0，X 一cos 1 4/(0)=0,/A=lP208 习题 3.11、利用基本积分公式计算下列积分(1)jAx2dx 2 4 34x dx=-x+cJ 3(2)Jx-xdx2|xyfxdx=x2dx二与 5+c(3)J-xyfxdx|yjxy/xdx-J xsdxf yx+x+=H=)dx=x2J V2 V7 3(9)j(2-sec 2 x)dxj(2-sec 2 x)dx=2x tgx+cii(4)2+c|(1+yx)2dx=J(1+2-Jx4-+x)dx=x x2*31H-X22+c(7)yx-2K+1-产-dxyyxdx=J(x43X3 X2,2x4+x 4)dx5一二9+-x7+c 3+x-i)dx=-x2 2-2xl1-2-X 2+c(8)J(-/x+fx2%1,H-k H-)aX4i F1+-X14+23+X223+c(10)J(sin x16sin x212cosr+F)小COS X L+X6-1-)dx2 1,2，X I+X=；J sin xdx-j sec2 xdx+6 J-t/r=1+x1-cos x tgx+harctgx+c2-(11)3.=dx,4-4,3“4%=dx=L 2 2 3.=ax=-arc sin x+c 2 9dxJ.2 2sm x-cos xp dx fj-=4j 3yl+x3+x3)=(1+x3)2+cJ sin%cos x J(12)dx sin*2 2x=2 f esc2 2xd(2x)=2ctg2x+c(13)j71-sin 2xdx J V1-sin 2xdx=J(cos x-sin x)dx=sin%4-cos x+c(14)jctg2xdx=-cscx+c(17)原式二(夕妙=12In153if-+c5 ln-2(21)原式二j(x-x+V)dx=x2J 22-X2+X+c3(23)原式:21+cos Xc 22 cos xdx=J2 1(1+sec x)dx=(%+tan%)+c 2P237 习题 3.21、用适当地变化被积表达式的方法求下列积分。(1)J(1+x)15 dx f(1+x)i5 dx=f(1+x)15t/(l+x)=(1+x)16+cJ J 16(2)dx(2x-3)5-=f(2x-3)5 d(2x-3)=(2x-3)6+c(2x-3)5 2J 12(3)xdxl-x2xdx1-x2Ip 7 一-j(l-x2)2d(l-x2)=-(1-x2)2+c(4)Jx2Vl+/dxx2yl+x3dx=13ll2|1(9)X-IX e+edx 久d x x-IX J 1-2 e+e J 1+eQex 1+%I)2H arctge x+c(10)jCI3 X+1 受I3X+-e dx M(11)l-j el3x+(3x+1)H1 I3X+1-e+c 33x-e+1-dx ex+13x 1 1A dx I(e2x e.+H e2 x Qr+x+c ex+1 J 2(一 2 二 ExJ x-m2 X(1 2 t 1-3-CZXH-ln xdlnxHm x+c、，J l+In X”(1 3)dxJl+In xdx=Jl+In xd(1X2-+In x)=(1+In x)2+c3(14)ln(%+Jl+/)-；-axl+x2d ln(x+V1+x2)=dx L 7A/l+Xln(x+Jl+/)-1-ax1+-_ 2 _ 2ln(x+Jl+)m(x+Ji+x?)_ _ n(x+-y/+x2)2+c 3(15)sin x-cos xdxj sin5 x-cos xdx=j sin5 xd sin x=-sin6 x+c(16)f SmX dxcos 3 x-jdx=-COsdcosxVcos3 X=2 cos 2 x+c(17)2-v3x-dx9、+4、I-dx(2x一 In 2-In 31+T=-arctg In 2-In 34-C2、1d(2、1(2 V1+(2 V(18)Jctgxdxr(cos x d sin xctgxdx=-dx=-=In sin x+cJ J sin x sin x(19)COS X/dxa/2+cos 2x cos x r d sin X 1.,dx=/=-r=arcsin-x/2+cos 2x 3 2sin2 x a/22.sin x、+c(20)sin x-cos x-dxsin x+cos xsin x-cos x e sin 2xdx 1 0 d cos lx 1-.-ax=-=-；-=-arctg cos 2x+sin x+cos x J 1+cos 2x 2 J 1+cos-2%2(21)经弘J 1+/arctgx,f,1 z、，-ax=J arctgxaarc tgx=arctgx)+c(22)dx(arcsin x)*2*4l-x2dx p d arcs in X-1(arcsin x)2y/l-x2 csin x)2 arcsin x2(23)f dx J 1+xX，1 1-dx=I(x 1 H-)dx=x x+ln(1+x)+c1+x 1+x 24(24)f-dx J 1+x2x 广，1 1 3-ax=(x-Id-)dx=x x+arctgx+c1+x-J 1+x-3(25)dx /_ 二 _/*/=(Jx+1-Jx-)dx=(x+l)2-(x-I)2+cy/x+l-y/x-l 2J 3 326)fJ 1-COS Xdx f 2 x x x-=esc d()=-ctg F c1-cos x J 2 2 2(27)dx1+cos xdx 2 x x x-=sec a()=tg F c1+cos x 2 2 2(28)f sin xdx2 X 1sin xdx=I(1-cos 2x)dx=-sin 2x+c2J 2 4(29)J cos xdx2 x 1cos2 xdx-j(1+cos 2x)dx-isin 2x+c(30)sin 3x sin 5xdxj sin 3x sin 5xdx=12J(cos 8x-cos 2x)dx=-sin 8x sin 2x-4-4-C164(31)sin3 xdx3 9-(1-x)3(14x+12x+9)+c140另一解法：令1一%=,则 x=l-E,dx=dt_ 1 1 i 1 a 1故得 J-xdx=-j(1-t)2t3dt=-J(Z3-2/3+/3)dt=-F|sin3 xdx=J(cos 2 x-l)d cos x=cos3 x-cos x+c(32)cos xdxJ cos 4*xdx(33)1 3=I(1-2 cos 2x+cos-2x)dx=|(3-4 cos 2x-cos 4x)dx=x-4J 8 8dx11 sin 2x-sin 4x+c432l+exdx1+ex X 1 Xc e r de Y(1-)dx=x-=x-ln(1+e)+cJ i+ex 1+，(34)(1+/)1 2x1+e2 dx(1+e、)1 2x1+e2 2ex,dx=(1 H-)dx-x+2J 1+edexi 2 a-1+ex+larctg(ex)+c(35)世+X2+%V1-X2Vl-x4-dxJl+f+%J1-x2 J 一/-dxJl+4-%Jl-J _，J1+2x dx 二1 j+C 1 X=arcs in x+x2+c2、用适当的代换求下列积分(1)jx2Vl-xdx解：令小-x=t,则 x=l-dx=dt故得 J x2 V1-xdx-3j(1-t3)2t3dt-3J(J-2t+t9)dt=3 4 6 7t+t473严+c10+匕1 7U+c1031404(1-x)3(14x2+12x+5)+c2(2)f.%dx解：令 2%=看,则 x=2-,dx=-dtJ2-/(32+8+3%2)+c 15解：令1-2=,则2=1一如 x5-Lx4x2-(1-t)2 dt 2 2t H-J%5+c=-J-%2(3%4+4x2+8)+c3 5 15(4)Pl解：令1一%=,贝 Ux=l dx-dt 代入2故得J”:)。a二-J13-_ 2/99+/98)山1,-99 1,-98-1-199 4997-97+c=(1-x)-991/I-98-(1-)49-97,+C(5)4x,-j=uXVx-Vxyx=J,dx令=t,则x=”，fx=t2=6t5dt代入故得f K dx=6J=6j(t5+t4+t31-)dt t-1+t+1+63 _ _=，6-|rh/4+2/3+3/+6，+6ln(/1)+c=xh x-x+2x-+3，,+6x，+6ln(y/x 1)+c5 2 5 2(6)I*i dxJ Vx+l解：令小c=t,则 I?=t3,yx=t2,x=t4,dx=4建dt 代入故得|dx=4Vx3+1t5 f 2KTt2f+1、/4 3 4 f 近3)dt=t-j 3 3+l4 4=Z3-ln(/3+1)+c3 3(7)5COSxVsin xdx解：令sin%t，则 cos s%小；=(i 一 sin 2%)2 d6山 1)=(i 一 J)2 近代入故得J cos 5xjsin xdx=|(1-Z2)2Z26?/=J(/25 9-It1+t2)dt1 r-ylx2+1-=CSC X=+ctg X=-sin x x+Dc11=(-sin X2+sin3 7 11x)Vsin3 x+c(8)sin x-cos-x-dx1+cos x解：令 cos 2 x=t,则 sin%cos xdx=-dt,2,sin x cos3 x,1,/1(1 1 1,故得 I-dx=-dt F(1-)dt=-1 H ln(1+/)+J 1+cos x 2J 1+Z 2 +t 2 21 2 1,2-cos-x hln(l+cos x)+c 2-2(9)dx7T 7T解：由于被积函数的存在域为-1%3或x3时，可设x=3sec，并限制0 ，从而 22 n 2x=9 sec x，dx=3 sec xtgxdx r dt 1x27x2-9 9secr 9,1.“一 9cos tdt=sin%+c=-+c9 9xJT(2)当 xv-3 时，可设 x=3sec,并限制-，4 1x2e 二(-1),dx-dtt4-1,g-dx=41(-2dt=t?VFT1 7 34+c=21(/+1)4(3/7)+c(14)dxl+ex解：令 Jl+=t,则 x=ln(J-1),dx2t,=：-dtt2-1jin t2-1t-rj+1,+c=In故得J看二2J1+/1、Jl+/+c=x-21n(l+，l+e)+c(15)dx1+xarctg Vx dx 1 c 厂-,=-=arctg 7 x 1 x 1+%2 J1-dyx=arctg yxd(arctg yx)=(arctg yx)2 2 J 41+x(16)解：被积函数的存在域为042a,因此可设x=2asin2/,并限制0w%一,从而 2x2a sin31.-,dx=4 sin?cos tdt cos t11sin 4 tdt=8tz2(?-8 sin 2t-sin 4?)+c4 32注意到丁 sin 2r=2 sin f cos Z=22 _ _sin 4,=2 sin 2t cos 2z=4sin Z cos/(I-2 sin2 Z)=(a 一%)Jx(2a-x)，最后得 a yjx(2a-x)+a a 42 _ (a-x)Jx(2a-)a(17)X+1-ax x(l+xe)解：令xe=t,贝lj dx=dt(1+x)ex故得 j x+1 dx 二 f J x(l+xex)Jx+1x(l+t)dt(1+x)ex-1r(l+1)dt=f(-)dtJ t 1+t=ln-ln(l+)+c(18)ln(l+a：)-In x-dxx(x+1)x(x+1)X+1 X-dx=-ln(x+1)-In x+c x(x+1).,(ln(1+x)-In x,r 1故-dx=|ln(x+1)-In x-dxJ x(x+1)x(x+1)=-j ln(x 4-1)-In x(fln(x+1)In x=-ln(x+1)-In x2+c7 2 2 2b x-a3、求下列积分(1)dxx2+5解:dxdx=In x+5+c2(2)x3 dx飞x*-I版 f L 1 f d(，)ln(x4+Vx7 8-1)+c4(3)xdx3-x解：Jxdx13-x4 21.X2二-arcsin j=+c2 73(4)dx解:dx 1 p,2 2 2 j 2 Ib x-a b J 2%dx-In 2 2 abbx-abx+a+c(5)dx飞 x2+2%+3解:2+2x+3dxr d(x+l)J(x+1)2+2=In 1+1+1)2+2+c(6)dxJl-2x-x2d(l+%)1+x=arcsin-=+c(7)dxx2+3x+3解:dxx2+3x+3(8)*1dx J x2+x+l71 9 1(-)+-+1解:2r x+1 r d(x+x+1)1 f dx1-dx=-dx+-J x+x+1 2 J x+x+2Jx+x+11,2 1 f dx=ln(x-+x+1)+-尸2 2J 1 2,(%+=)+(/221 2 1 2x+lln(x+x+l)+=arcsin+c2 J3 J3(9)dx解:dx1d(16-%3-2)6 J/_ d _ 21 p d(x3)6