比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理.doc

(完整word)比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理
黄金分割及平行线分线段成比例
一、黄金分割
黄金分割
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．AC与AB的比叫做黄金比．

黄金比
黄金比值的求法：
因为，且BC＝AB－AC，所以，
解得AC＝，或AC≈0.618AB，即得黄金比或0.618
求作黄金分割点
求已知线段AB的黄金分割点。

方法一：如图
1、经过点B作BD⊥AB，且BD= 2、连接AD，在DA上截取DE＝DB．
3、在AB上截取AC＝AE， 所以点C是线段AB的黄金分割点．
理由：设AB＝1，则BD＝1/2，AD＝， AC＝，BC＝
所以 ，所以点C是线段AB的黄金分割点．
方法二：如图
1、在线段AB上作正方形ADCB 2、取AD的中点E，连接EB．
3、延长DA至F,使EF＝EB． 4、以线段AF为边作正方形AFGH．
所以点H是线段AB的黄金分割点．
理由:设AB＝1，则AE＝,所以 →＝AH，BH＝
所以，所以点H是线段AB的黄金分割点．
方法三:如图
1、以AB为腰作等腰△ABD,使∠A＝36°
2、作∠ADB的角平分线交AB于点C
所以,点C是线段AB的黄金分割点．
理由：作图的理由在本章学完就知道,对这一基本图形我们将会非常熟悉,此等腰三角形叫做黄金三角形
例1:如图所示，矩形ABCD是黄金矩形(即＝≈0。618)，如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形?

、

例2：以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上,如图所示,
（1）求AM，DM的长，
（2）试说明AM2=AD·DM
(3)根据(2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？

练习题
一、请你填一填
（1）如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP、PB、AB满足
关系式________，即AP是________与________的比例中项.
（2)黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001).
（3）如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2 cm,b=4 cm，c=5 cm，则d=_____________cm.
（4）已知O点是正方形ABCD的两条对角线的交点，则AO∶AB∶AC=________.
二、认真选一选
1、有以下命题：①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项,则有
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC〉BC,那么AC是AB与BC的比例中项
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，且AB=2,则AC=－1
其中正确的判断有（ ）
A。1个 B。2 个 C。3个 D。4个
2、已知P为线段AB的黄金分割点,且AP＜PB，则（ ）
A、； B、； C、； D、
3、.已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( ）
A。 AM∶BM=AB∶AM B. AM=AB C。 BM=AB D. AM≈0.618AB
A。1个 B.2个 C.3个 D。4个
4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10cm，则PQ长为( )
　A、 B、 C、 D、
三、好好想一想
1、已知点C是线段AB的黄金分割点AC＝,且AC＞BC，求线段AB与BC的长.

A
E
F
B
2、E、F为线段AB的黄金分割点,已知AB＝10 cm，求EF的长度．

3、如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，≈0。618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感。在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.

二、平行线分线段成比例
知识梳理
平行线分线段成比例定理及其推论
1。 平行线分线段成比例定理
如下图，如果，则,,.

2. 平行线分线段成比例定理的推论：
如图，在三角形中，如果，则
_
A
_
B
_
C
_
D
_
E
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A

3。 平行的判定定理：如上图,如果有，那么∥ 。
专题讲解
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例1】 如图,，且，若，求的长。

【例2】 如图，已知，若,，,求证：。

【巩固】如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为。证明:.

【巩固】如图，找出、、之间的关系，并证明你的结论。

【例3】 如图，在梯形中，, ，过对角线交点作
交于，求的长。

【巩固】(上海市数学竞赛题）如图，在梯形中,，分别是的中点，交于，交于,求的长。

专题二、定理及推论与中点有关的问题
【例4】 （2007年北师大附中期末试题）
(1）如图（1），在中，是的中点,是上一点，且，
连接并延长，交的延长线于,则_______。
（2）如图(2），已知中，，，与相交于，则 的值为( ）
A. B。1 C.

【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在中，为边的中点，为
边上的任意一点，交于点。
（1）当时，求的值 。 (2）当时，求的值；
（3）试猜想时的值,并证明你的猜想.

【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图,是的中线,点在上，
是延长线与的交点。
（1）如果是的中点，求证：；
（2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、 不重合）,上述结论是否仍然成立,若成立请写出证明，若不成立，请说明理由。

【巩固】（天津市竞赛题)如图，已知中，是边上的中线,是
上的一点，且，延长交于.求证:。

【例7】 （宁德市中考题）如图，中，为边的中点，延长至,
延长交的延长线于。若，求证：。

【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， 中，,若分
别是的中点，则；
若分别是的中点，则;
若分别是的中点，则;
…………
若分别是的中点，则_________.

专题三、利用平行线转化比例
【例8】 如图，在四边形中,与相交于点，直线平行于,且
与、、、及的延长线分别相交于点、、、和.
求证：

【巩固】已知,如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，
的延长线交于．求证：．

【例9】 已知：为的中位线上任意一点,、的延长线分别交对
边、于、,求证:

【例10】 在中,底边上的两点、把三等分，是上的中
线，、分别交于、两点，求证：

【例11】 如图，、为边上的两点，且满足，一条
平行于的直线分别交、和的延长线于点、和。
求证：。

【例12】 已知：如图,在梯形中，，是的中点，分别连
接、、、，且与交于点,与交于.
（1）求证：（2)若,，求的长

【巩固】如图，在梯形中，，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长.

【例13】 (山东省竞赛题）如图，的对角线相交于点，在的延
长线上任取一点,连接交于点，若,求的值。

【例14】 已知等腰直角中，、分别为直角边、上的点，且
，过、分别作的垂线,交斜边于，．
求证：．

【习题1】 如已知,，求证:.

【习题2】 在中,，的延长线交的延长线于,
求证：。

【习题3】 如图,在的边上取一点，在取一点，使，
直线和的延长线相交于，求证：