资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．三角形的两边长分别为3和2，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是( )
A．10 B．8或7 C．7 D．8
2．同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）
A．16块，16块 B．8块，24块
C．20块，12块 D．12块，20块
3．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．若反比例函数的图象在每一个信息内的值随的增大而增大，则关于的函数的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
5．一元二次方程的解是（ ）
A．5或0 B． 或0 C． D．0
6．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝，你认为最确切的判断是( )
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
9．若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，，．若S=3，则的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____．
12．在Rt△ABC 中，∠C是直角，sinA=，则cosB=__________
13．化简: -2a2+(a2-b2)=______.
14．某“中学生暑期环保小组”的同学，随机调查了“金沙绿岛”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9，利用上述数据估计该小区500户家庭一周内需要环保方便袋__________只．
15．已知x=2是关于x的方程x2- 3x+k= 0的一个根，则常数k的值是___________.
16．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__________cm2.
17．计算_________．
18．如图，过圆外一点作圆的一条割线交于点，若，，且，则_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（﹣2，0），点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S△MBC取得最大值时，求点M的坐标；
（3）在直线的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（6分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点.
（1）求点，，的坐标；
（2）将绕的中点旋转，得到.
①求点的坐标；
②判断的形状，并说明理由.
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点，使与相似，若存在，请写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（6分）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
22．（8分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
理解：
（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D,使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，对角线BD平分∠ABC.
求证: BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝.连接EG,若△EFG的面积为，求FH的长.
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，
（1）求证：AE=DE；
（2）若PB=2，求AE的长；
（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．
24．（8分）如图，已知△ABC，∠A＝60°，AB＝6，AC＝1．
（1）用尺规作△ABC的外接圆O；
（2）求△ABC的外接圆O的半径；
（3）求扇形BOC的面积．
25．（10分）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上方在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上方在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，组成一数对.
（1）请写出.所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽依次卡片，卡片上述资质和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由.
26．（10分）如图，射线交一圆于点，，射线交该圆于点，，且 .
（1）判断与的数量关系.（不必证明）
（2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法），求证：平分.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】因式分解法解方程求得x的值，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，最后求出周长即可．
【详解】解：∵，
∴（x－2）（x－3）＝0，
∴x－2＝0或x－3＝0，
解得：x＝2或x＝3，
当x＝2时，三角形的三边2＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋2＝7；
当x＝3时，三角形的三边满足3＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋3＝8，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力和三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2、D
【解析】试题分析：根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有3y块，而黑皮共有边数为5x块，依此列方程组求解即可．
解：设黑色皮块和白色皮块的块数依次为x，y．
则，
解得，
即黑色皮块和白色皮块的块数依次为12块、20块．
故选D．
3、A
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=－（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线y=－（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，而A（2，y1）离直线x=﹣1的距离最远，C（﹣2，y3）点离直线x=1最近，∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
4、D
【分析】通过反比例函数的性质可得出m的取值范围，然后根据一次函数的性质可确定一次函数图象经过的象限．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个信息内的值随的增大而增大
∴
∴
∴
∴关于的函数的图象不经过第三象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的性质、一次函数的图象与系数的关系、一次函数的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
5、B
【解析】根据因式分解法即可求出答案．
【详解】∵5x2=x，
∴x(5x﹣1)=0，
∴x=0或x．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6、B
【解析】试题解析：列表如下：
∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．
故选B．
7、A
【解析】试题分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A.符合最简二次根式的两个条件，故本选项正确；
B.被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
C.被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D.被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误.
故选A.
8、B
【分析】试题分析：由tanA=1，sinB=结合特殊角的锐角三角函数值可得∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状.
【详解】∵tanA=1，sinB=
∴∠A=45°，∠B=45°
∴△ABC是等腰直角三角形
故选B.
考点：特殊角的锐角三角函数值
点评：本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
9、B
【分析】根据，设x=1a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．
【详解】解：∵，设x=1a，y=7a，z=5a，
∴=，
==1，
==1．
∴A＜B＜C．
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．
10、B
【详解】过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP==1．
故选B．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
【详解】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
12、
【分析】由题意直接运用直角三角形的边角间关系进行分析计算即可求解得出结论.
【详解】解：如图，
解：在Rt△ABC中，
∵∠C是直角，
∴，
又∵,
∴.
【点睛】
本题考查直角三角形的边角关系，熟练掌握正弦和余弦所对应的边角关系是解题的关键.
13、-a2-b2
【分析】去括号合并同类项即可.
【详解】原式=-2a2+a2-b2=-a2-b2.
故答案为：-a2-b2.
【点睛】
本题考查了整式的加减，即去括号合并同类项.去括号法则：当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“-”号时，去掉括号和前面的“-”号，括号内各项的符号都要变号.
14、3500
【分析】先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数500即可解答.
【详解】由10户家庭一周内使用环保方便袋的数量可知平均每户一周使用的环保方便袋的数量为
则该小区500户家庭一周内需要环保方便袋约为，
故答案为3500.
【点睛】
本题考查的是样本平均数的求法与意义，能够知道平均数的计算方法是解题的关键.
15、2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入x2-3x+k=0得4-6+k=0，然后解关于k的方程即可．
【详解】把x=2代入x2−3x+k=0得4−6+k=0，
解得k=2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的解.
16、
【解析】圆锥侧面积=×4×2π×6= cm2.
故本题答案为：.
17、
【分析】先分别计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再合并即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是特殊角三角函数的计算，负整数指数幂的运算，掌握以上知识点是解题的关键．
18、1
【分析】作OD⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝BD，由三角函数定义得出sin∠OAB＝，设OD＝4x，则OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，由勾股定理的AD＝3x，由含30角的直角三角形的性质得出OP＝2OD，得出方程3＋5x＝2×4x，解得x＝1，得出BD＝AD＝3即可．
【详解】作OD⊥AB于D，如图所示：
则AD＝BD，
∵sin∠OAB＝，
∴设OD＝4x，则OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，
AD＝＝3x，
∵∠OPA＝30，
∴OP＝2OD，
∴3＋5x＝2×4x，
解得：x＝1，
∴BD＝AD＝3，
∴AB＝1；
故答案为：1．
【点睛】
本题看了垂径定理、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）y＝﹣x2+x+4；（2）（2，4）；（3）存在，（1，）或（3，）
【分析】（1）抛物线的表达式为：：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），故-8a=4，即可求解；
（2）根据题意列出S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，即可求解；
（3）四边形ABMC的面积S＝S△ABC+S△BCM＝6×4+（﹣x2+4x）＝15，，即可求解.
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
故﹣8a＝4，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）过点M作MH∥y轴交BC于点H，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
设点M（x，﹣x2+x+4），则点H（x，﹣x+4），
S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，此时点M（2，4）；
（3）四边形ABMC的面积S＝S△ABC+S△BCM＝×6×4+（﹣x2+4x）＝15，
解得：x＝1或3，故点M（1，）或（3，）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，考查了一次函数、面积的计算等知识，其中面积的计算是解答本题的难点.
20、（1），，；（2）①；②是直角三角形；（3），，，
【分析】（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；
（2）①利用旋转的性质结合A，B，C的坐标得出D点坐标；
②利用勾股定理的逆定理判断的形状即可；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
【详解】解：（1）令，则，
解得：，，
∴，.
令，则，∴；
（2）①过作轴于点，
∵绕点旋转得到，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，.
∵，，，
∴，，，，
∴，
∵点在第四象限，
∴；
②是直角三角形，
在中，
，
在中
，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）存在
∵，∴，
∵，∴，
作出抛物线的对称轴，
∵M是AB的中点，，，
∴M(,0)，
∴点M在对称轴上.
∵点在对称轴上，
∴设，
当时，
则，∴，
，∴，
∴，.
当时，
则，∴，
，∴，
∴，，
∴，，，.
【点睛】
此题考查了二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的图像与性质，以及相似三角形的判定与性质等知识，正确分类讨论是解题关键．
21、 (1)证明见解析；(2)矩形ABCD的面积为16(cm2)．
【解析】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；
（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD.
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
22、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4
【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置.
（2）通过导出对应角相等证出∽，根据四边形ABCD的“相似对角线”的定义即可得出BD是四边形ABCD的“相似对角线”.
（3）根据四边形“相似对角线”的定义，得出∽，利用对应边成比例，结合三角形面积公式即可求.
【详解】解：（1）如图1所示.
（2）证明：
平分,
∽
∴BD是四边形的“相似对角线”.
(3)是四边形的“相似对角线”，
三角形与三角形相似.
又
∽
过点作垂足为
则
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用及解直角三角形，对于这种新定义阅读材料题目读,懂题意是解答此题的关键.
23、（1）详见解析；（3）AE=；（3）≤AE＜．
【解析】（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB得∠EDA=∠A进而得出答案；
（3）利用勾股定理得出ED3+PD3=EC3+CP3=PE3，求出AE即可；
（3）分别根据当D（P)点在B点时以及当P与C重合时，求出AE的长，进而得出AE的取值范围．
【详解】（1）证明：如图1，连接PD．
∵DE切⊙O于D．
∴PD⊥DE．
∴∠ADE+∠PDB=90°．
∵∠C=90°．
∴∠B+∠A=90°．
∵PD=PB．
∴∠PDB=∠B．
∴∠A=∠ADE．
∴AE=DE；
（3）解：如图1，连接PE，设DE=AE=x，则EC=8-x，
∵PB=PD=3，BC=1．
∴PC=3．
∵∠PDE=∠C=90°，
∴ED3+PD3=EC3+CP3=PE3．
∴x3+33=（8-x）3+33．
解得x=．
∴AE=；
（3）解：如图3，当P点在B点时，此时点D也在B点，
∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，
∴EC3+BC3=BE3，
∴（8-x）3+13=x3，
解得：x=，
如图3，当P与C重合时，
∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，
∴EC3=DC3+DE3，
∴（8-x）3=13+x3，
解得：x=，
∵P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），
∴线段AE长度的取值范围为：≤AE＜．
【点睛】
本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．
24、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）分别作出线段BC，线段AC的垂直平分线EF，MN交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．
（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出BC，即可解决问题．
（3）利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）如图⊙O即为所求．
（2）连接OB，OC，作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AC=1，∠A=60°，
∴∠ACH=30°，
∴AHAC=2，CHAH=2，
∵AB=6，
∴BH=1，
∴BC2，
∵∠BOC=2∠A=120°，OB=OC，OF⊥BC，
∴BF=CF，∠COF∠BOC=60°，
∴OC．
（3）S扇形OBC．
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理，解直角三角形，三角形的外接圆与外心等知识，解答本题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25、（1）见解析；（2）不公平，理由见解析
【解析】（1）利用枚举法解决问题即可；
（2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断．
【详解】（1）由题设可知，所有可能出现的结果如下：，，，，，，，，共9种；
（2）两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数有4种可能，所以（甲赢）；
卡片上数字之和为偶数有5种可能，所以（乙赢）.
∵，
∴乙赢的可能性大一些，故这个游戏不公平.
【点睛】
本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26、（1）AC=AE；（2）图见解析，证明见解析
【解析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC=DE，得CP=EQ后得证；
（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN得证．
【详解】证明：(1)作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO.
∵，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ.
∴BP=DQ=CP=EQ.
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO.
∴AP=AQ.
∵CP=EQ，
∴AC=AE.
（2）作图如图所示
证明：∵AC=AE，∴，
∴， 由于AF是CE的垂直平分线，且CF平分，
∴CF=EF.
∴
因此EF平分
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系, 全等三角形的判定与性质, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，综合性比较强，熟练掌握性质定理是解题的关键.
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