八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习.pdf

有德教育 1/9第二章：实数第二章：实数【无理数无理数】1.1.定义：定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2.2.常见无理数的几种类型：常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个 0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不 为 0 的有理数结果是无理数。如 2,（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）93.3.有理数与无理数的区别：有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：例：（1）下列各数：3.141、0.33333、0.303000300000375 252.32（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,-,其中无理数有()个432【算术平方根算术平方根】：1.1.定义：定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，ax 2记为：“”，读作，“根号 a”，其中，a 称为被开方数。例如 32=9，那么 9 的算术平方根a是 3，即。39 特别规地，0 的算术平方根是 0，即，负数没有算术平方根00 2.2.算术平方根具有双重非负性算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数 a 是非负数。（2）算术平方根a本身是非负数。3.3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a有德教育 2/9个互为相反数的值，表示为：。a例：例：（1）下列说法正确的是 （）A1 的立方根是；B；（C）、的平方根是；（D）、0124813没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、B、C、D、98114.314.33927235（3）的算术平方根是 。（4）若有意义，则2)3(xx_。1x（5）已知ABC 的三边分别是且满足，求 c 的取值范围。,cbaba,0)4(32ba（6）（提高题）如果 x、y 分别是 4的整数部分和小数部分。求 x y 的值.3平方根：平方根：1.1.定义：定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根；，我们称ax 2x 是 a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(aax2.2.性质：性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0 只有一个平方根，它是 0 本身；（3）负数没有平方根例例（1）若的平方根是2，则 x=；的平方根是 （2）当 x 时，x16有意义。x23（3）一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？3.3.的性质与22)0()(aaa（1）（2）中，a 可以取任意实数。如77)0()22）如：（aaa|2aa5|5|523|3-|3-2）（例：1.求下列各式的值（1）（2）（3）2727-）（249-）（2.已知，那么 a 的取值范围是 。3.已知 2x3,化简 1)12aa（|3|)-22xx（。【立方根立方根】1.1.定义：定义：一般地，如果以个数 x 的立方等于 a，即 x3=a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也有德教育 3/9叫做三次方根）记为，读作，3 次根号 a。如 23=8，则 2 是 8 的立方根，0 的立方根是 0。3a2.2.性质：性质：正数的立方根的正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.例：例：（1）64 的立方根是 （2）若，则 b 等于 9.28,89.233aba（3）下列说法中：都是 27 的立方根，的立方根是 2，3yy3364。4832其中正确的有（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个比较两个数的大小：比较两个数的大小：方法一：估算法。如 34 方法二：作差法。如 ab 则 a-b0.10方法三：乘方法.如比较的大小。3362与例：比较下列两数的大小（1）（2）2123-10与5325与【实数实数】定义：定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0 负实数。实数的性质：实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是（a0）；实数 a 的绝对值a1|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。)0()0(aaaa实数的大小比较法则：实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。有德教育 4/9例：例：（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1 和 2 之间的无理数只有；D、不带根号的数都是有理数。2（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()A、B、C、D、ba abba ab（3）比较大小(填“”或“0，则 ab=1；（）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，213，1234，,0，,()0，32，ctg45,227931828231.2121121112 中 无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知 1x2，则|x3|+=。(1-x)24下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3,1，3，03，31，1+，32213互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5已知、是实数，且（X）2和2互为相反数，求，y 的值2有德教育 7/96.,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是 2，求+4m-3cd=。|a+b|2m2+1*7已知0，求=。（3）224a+2三、解题指导：1下列语句正确的是（）A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）A、整数 B、有理数 C、无理数D、实数2零是（）A、最小的有理数 B、绝对值最小的实数C、最小的自然数 D、最小的整数4.如果 a 是实数，下列四种说法：（1）2和都是正数，（2），那么一定是负数，（3）的倒数是，（4）和的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有 个1a*5比较下列各组数的大小：(1)(2)ab0 时,323121a1b6若 a,b 满足=0,则的值是|4-a2|+a+ba+22a+3ba*7实数 a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中 O 是原点，且|a|=|c|（1）判定 a+b,a+c,c-b 的符号（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8数轴上点 A 表示数1，若 AB3，则点 B 所表示的数为 9已知 x0，且 y|x|，用连结 x，x，|y|，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？有德教育 8/911绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12把下列语句译成式子：（1）a 是负数；（2）a、b 两数异号 ；（3）a、b 互为相反数；（4）a、b 互为倒数；(5)x 与 y 的平方和是非负数；（6）c、d 两数中至少有一个为零；（7）a、b 两数均不为 0。*13.数轴上作出表示，的点。235四独立训练：四独立训练：10 的相反数是，3 的相反数是，的相反数是；的绝对值是38，0的绝对值是，的倒数是232数轴上表示32 的点它离开原点的距离是。A 表示的数是，且 AB，则点 B 表示的数是。12133,(1),01313,2cos60,31,1101001000 332227(两 1 之间依次多一个 0),其中无理数有 ，整数有 ，负数有 。4.若 a 的相反数是 27，则a|；5若|a|，则 a=25若实数 x，y 满足等式（x3）24y0，则 xy 的值是 6实数可分为（）A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数*7若 2a 与 1a 互为相反数，则 a 等于 a=8当 a 为实数时，=a 在数轴上对应的点在（）a2A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧*9代数式的所有可能的值有 个。10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图（1）比较 ab 与 a+b 的大小（2）化简|ba|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示，其中有德教育 9/9试化简：2*12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2）2920。求它的周长。13若 3，5 为三角形三边，化简：（2）2（8）2