资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1对于下列说法：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0； ④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1），其中正确有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．两直线a、b对应的函数关系式分别为y=2x和y=2x+3，关于这两直线的位置关系下列
说法正确的是
A．直线a向左平移2个单位得到b B．直线b向上平移3个单位得到a
C．直线a向左平移个单位得到b D．直线a无法平移得到直线b
3．如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )
A． B． C． D．
4．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC
5．下列说法不正确的是（ ）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形
B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
6．在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三者都有可能
7．二次函数（b＞0）与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的布袋中，有红色、黑色、白色球共40个，它们除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．6
9．如图，是坐标原点，菱形顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数
B．三角形的内角和等于180°
C．不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球
D．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”
11．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
12．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（1，a）、B（3，b），则a与b的关系正确的是（ ）
A．a=b B．a=﹣b C．a＜b D．a＞b
二、填空题（每题4分，共24分）
13．直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＋b＜的解集是_______．
14．抛物线的对称轴为__________．
15．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为_______米（结果保留根号）．
16．函数的自变量的取值范围是．
17．如图将矩形绕点顺时针旋转得矩形，若，，则图中阴影部分的面积为__________．
18．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A处前进3米到达B处时，测得影子BC长的1米，已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D处，此时影子DE长为____米．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，﹣3)，对称轴为x＝1，点D与C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点P是抛物线上的一点，当△ABP的面积是8时，求出点P的坐标；
（3）点M为直线AD下方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，当m为何值时，△ADM的面积最大？并求出这个最大值．
20．（8分）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
21．（8分）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．
22．（10分）已知二次函数y1＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．
（1）求m，n的值，
（2）如图，一次函数y2＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，若点B与点M（﹣4，6）关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式．
（3）根据函数图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．
23．（10分）解一元二次方程：．
24．（10分）如图，下列网格由小正方形组成，点都在正方形网格的格点上.
（1）在图1中画出一个以线段为边，且与面积相等但不全等的格点三角形；
（2）在图2和图3中分别画出一个以线段为边，且与相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与的相似比.（相同的相似比算一种）
（1）
（2）
25．（12分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度的长，他过A、B两点画两条相交于点的射线，在射线上取两点D、E，使，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．
26．一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长，拉杆最大伸长距离，(点在同一条直线上)，在箱体的底端装有一圆形滚轮与水平地面切于点某一时刻，点距离水平面，点距离水平面．
（1）求圆形滚轮的半径的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点处且拉杆达到最大延伸距离时，点距离水平地面，求此时拉杆箱与水平面所成角的大小(精确到，参考数据：)．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴判定b与1的关系以及2a+b＝1；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞1．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，且抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴a、b异号，c＞1，
∴abc＜1，故①正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝1；故②正确；
③∵2a+b＝1，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜1，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜1，故③错误；
④如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于1．
故④错误．
⑤根据图示知，当m＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b＞m（am+b）（m≠1）．
故⑤正确．
故选：C．
【点睛】
考核知识点:二次函数性质.理解二次函数的基本性质是关键.
2、C
【分析】根据上加下减、左加右减的变换规律解答即可．
【详解】A. 直线a向左平移2个单位得到y=2x+4，故A不正确；
B. 直线b向上平移3个单位得到y=2x+5，故B不正确；
C. 直线a向左平移个单位得到=2x+3，故C正确，D不正确.
故选C
【点睛】
此题考查一次函数与几何变换问题，关键是根据上加下减、左加右减的变换规律分析．
3、A
【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵对角线上的两点、满足，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
故选A．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4、C
【解析】根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°, ∠E＝∠C,
则△ABD为等边三角形，即 AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.
5、B
【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
6、A
【解析】试题分析：本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点A和圆的位置关系是解题关键．设直线经过的点为A，若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择．
设直线经过的点为A，
∵点A的坐标为（sin45°，cos30°），
∴OA==，
∵圆的半径为2，
∴OA＜2，
∴点A在圆内，
∴直线和圆一定相交.
故选A．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.坐标与图形性质；3.特殊角的三角函数值．
7、B
【解析】试题分析：先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而对各选项作出判断：
∵当反比例函数经过第二、四象限时， a＜0，∴抛物线（b＞0）中a＜0，b＞0，
∴抛物线开口向下. 所以A选项错误.
∵当反比例函数经过第一、三象限时， a＞0，∴抛物线（b＞0）中a＞0，b＞0，
∴抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方. 所以B选项正确，C，D选项错误.
故选B．
考点：1.二次函数和反比例函数的图象与系数的关系；2.数形结合思想的应用．
8、C
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数．
【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1−15%−45%＝40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．
故选：C．
【点睛】
大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
9、C
【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．
【详解】∵，
∴，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=CB=OC=AB=5，
则点B的横坐标为，
故B的坐标为：，
将点B的坐标代入得，，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
10、B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件；
B、三角形的内角和等于180°是必然事件；
C、不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球是随机事件；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”是随机事件；
故选：B．
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
11、A
【分析】先把x=1代入方程x2+ax-2b=0得a-2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a-4b的值即可．
【详解】将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2（a﹣2b）＝﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
12、D
【分析】对于反比例函数(k≠0)而言，当k>0时，作为该函数图象的双曲线的两支应该在第一和第三象限内. 由点A与点B的横坐标可知，点A与点B应该在第一象限内，然后根据反比例函数增减性分析问题．
【详解】解：∵点A的坐标为(1，a)，点B的坐标为(3，b)，
∴与点A对应的自变量x值为1，与点B对应的自变量x值为3，
∵当k>0时，在第一象限内y随x的增大而减小，
又∵1<3，即点A对应的x值小于点B对应的x值，
∴点A对应的y值大于点B对应的y值，即a>b
故选D
【点睛】
本题考查反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、0＜x＜1或x＞1．
【分析】根据函数图象，可得一次函数图象在上方的部分，可得答案
【详解】解：∵直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和1，
∴不等式k1x+b＜的解集是0＜x＜1或x＞1．
故答案为：0＜x＜1或x＞1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象在下方的部分是不等式的解集．
14、
【分析】根据抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可找出抛物线的对称轴，此题得解．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线x=
故答案为：.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确抛物线的对称轴是直线x= ．
15、一4
【分析】分析:利用特殊三角函数值，解直角三角形,AM=MD,再用正切函数，利用MB求CM,作差可求DC.
【详解】因为∠MAD=45°, AM=4,所以MD=4，
因为AB=8，所以MB=12,
因为∠MBC=30°，所以CM=MBtan30°=4.
所以CD=4-4.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.
16、x≠1
【解析】该题考查分式方程的有关概念
根据分式的分母不为0可得
X－1≠0,即x≠1
那么函数y=的自变量的取值范围是x≠1
17、
【分析】连接BD，BF，根据S阴影=S△ABD+S扇形BDF+S△BEF-S矩形ABCD-S扇形BCE即可得出答案．
【详解】如图，连接BD，BF，
在矩形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=BC=2，
∴BD=，S矩形ABCD=AB×BC=3×2=6
∵矩形BEFG是由矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得到的
∴BF=BD=，∠DBF=90°，∠CBE=90°，S矩形BEFG= S矩形ABCD=6
则S阴影=S△ABD+S扇形BDF+S△BEF-S矩形ABCD-S扇形BCE
=S矩形ABCD+ S扇形BDF+S矩形BEFG -S矩形ABCD-S扇形BCE
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了与扇形有关的面积计算，熟练掌握扇形面积公式，将图形进行分割是解题的关键.
18、2
【分析】根据题意可知，本题考查相似三角形性质，根据中心投影的特点和规律以及相似三角形性质，运用相似三角形对应边成比例进行求解．
【详解】解：根据题意可知
当小颖在BG处时，
∴，即
∴AP=6
当小颖在DH处时,
∴，即
∴
∴DE=2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题关键是运用相似三角形对应边相等．
三、解答题（共78分）
19、（2）y＝x2﹣2x﹣3，D(2，﹣3)；（2）P(2﹣2，4)或(2+2，4)或(2，﹣4)；（3）m＝时，△AMD的最大值为
【分析】（2）由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，求出b的值，再由点C的坐标求出c的值即可；
（2）先求出点A，点B的坐标，设点P的坐标为(s，t)，因为△ABP的面积是8，根据三角形的面积公式可求出t的值，再将t的值代入抛物线解析式即可；
（3）求出直线AD的解析式，过点M作MN∥y轴，交AD于点N，则点M的坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，点N的坐标为(m，﹣m﹣2)，用含m的代数式表示出△AMN的面积，配方后由二次函数的性质即可得出结论．
【详解】（2）∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，
∴2，
∴b﹣=2．
∵抛物线与y轴交于点C(0，﹣3)，
∴c=﹣3，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵点D与C关于抛物线的对称轴对称，
∴点D的坐标为(2，﹣3)；
（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
解得：x2=﹣2，x2=3，
∴点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(3，0)，
∴AB=3﹣(﹣2)=4，
设点P的坐标为(s，t)．
∵△ABP的面积是8，
∴AB•|yP|=8，
即4|t|=8，
∴t=±4，
①当t=4时，s2﹣2s﹣3=4，
解得：，s2=，s2=，
∴点P的坐标为(，4)或(，4)；
②当t=﹣4时，s2﹣2s﹣3=﹣4，
解得：，s2=s2=2，
∴点P的坐标为(2，﹣4)；
综上所述：当△ABP的面积是8时，点P的坐标为(，4)或(，4)或(2，﹣4)；
（3）设直线AD的解析式为y=kx+b2，
将A(﹣2，0)，D(2，﹣3)代入y=kx+b2，
得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣2，
过点M作MN∥y轴，交AD于点N．
∵点M的横坐标是m(﹣2＜m＜2)，
∴点M的坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，点N的坐标为(m，﹣m﹣2)，
∴MN=﹣m﹣2﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+m+2，
∴S△AMD=S△AMN+S△DMN
MN•(m+2)MN•(2﹣m)
MN
(﹣m2+m+2)
(m)2，
∵0，﹣22，
∴当m时，S△AMD，
∴当m时，△AMD的最大值为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，函数的思想求最值等，解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
20、（1）1，（2）45°（3），
【解析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
，
，
，，
，
，，
，
，
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
，
，
，
，
，，
，
，
直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四点共圆，
，，
，
，设，则，，
c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，
，
．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
21、证明见解析.
【解析】试题分析：利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得△ABD∽△ACB，进一步得出 ，整理得出答案即可．
试题解析：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴AB2=AD•AC．
考点：相似三角形的判定与性质．
22、（1）1，；（1）y＝x+4；（3）x＜﹣3或x＞1.
【分析】（1）将点P（-3，1）代入二次函数解析式得出3m﹣n＝8，然后根据对称轴过点（-1，0）得出对称轴为x=-1，据此求出m的值，然后进一步求出n的值即可；
（1）根据一次函数经过点P（﹣3，1），得出1＝﹣3k+b，且点B与点M（﹣4，6）关于x＝﹣1对称，所以B（1，6），所以6＝1k+b，最后求出k与b的值即可；
（3）y1＞y1，则说明 y1的函数图像在y1函数图像上方，据此根据图像直接写出范围即可.
【详解】（1）由二次函数经过点P（﹣3，1），
∴1＝9﹣3m+n，
∴3m﹣n＝8，
又∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线，
∴对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴m＝1，
∴n＝﹣1；
（1）∵一次函数经过点P（﹣3，1），
∴1＝﹣3k+b，
∵点B与点M（﹣4，6）关于x＝﹣1对称，
∴B（1，6），
∴6＝1k+b，
∴k＝1，b＝4，
∴一次函数解析式为y＝x+4；
（3）由图象可知，x＜﹣3或x＞1时，y1＞y1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
23、
【解析】用直配方法解方程即可.
【详解】解:原方程可化为：
，
∴，
解得：．
24、（1）画图见解析；（2）画图见解析；图2：；图3：.
【分析】（1）根据等底、等高的两个三角形面积相等，检验网格特征画出图形即可；
（2）根据相似三角形的性质画出图形即可.
【详解】（1）如图所示，即为所求.（答案不唯一）
（2）如图所示，和即为所求，
∵BC=，AC=2，AE=，BE=5，AB=，
∴=，
∴△ABE∽△CAB，
∴相似比；
∵BC=，AC=2，AF=2，BF=5，AB=，
∴=，
∴△AFB∽△CAB，
相似比，
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质及网格的特征，正确找出对应边是解题关键
25、24.8米．
【分析】首先判定△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质可得，再代入DE=37.2米计算即可．
【详解】∵，∠DOE=∠BOA，
∴△DOE∽△BOA，
∴，
∴，
∴AB=24.8(米)．
答：A、B之间的距离为24.8米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形的对应边的比相等．
26、（1）；（2）
【分析】（1）过点作于点，交于点，由平行得到，再根据相似三角形的性质得到，列出关于半径的方程，解方程即可得解；
（2）在（1）结论的基础上结合已知条件，利用锐角三角函数解即可得解．
【详解】解：（1）过点作于点，交于点，如图：
∴
∴
∴设圆形滚轮的半径的长是
∴，即
∴
∴圆形滚轮的半径的长是；
（2）∵
∴在中，
∴．
故答案是：（1）；（2）
【点睛】
本题考查了解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，在求线段长度时，可以通过建立方程模型来解决问题．
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