经历数学建模全过程的项目式学习设计与实施——以“拱桥悬挂灯笼方案设计”为例.pdf

上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）专题义务教育数学课程标准（2022 年版）明确指出：“经历项目式学习的全过程.能综合运用数学和其他学科的知识与方法，在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题；能独立思考，与他人合作，提出解决问题的思路，设计解决问题的方案；能根据问题的背景，通过对问题条件和预期结论的分析，构建数学模型；能合理使用数据，进行合理计算，借助模型得到结论；能根据问题背景分析结论的意义，反思模型的合理性，最终得到符合问题背景的模型解答.”基于上述要求，笔者以2022年初中学业水平考试浙江温州卷第23题为素材，开展了一节“拱桥悬挂灯笼方案设计”的数学项目式学习活动课.一、项目学习主题设计要素分析1.适用对象及学情分析“拱桥悬挂灯笼方案设计”项目学习的适用对象是九年级学生.此时学生已经系统学习了一次函数、反比例函数和二次函数的概念、图象和性质等相关知识，掌握了一定的基础知识和基本技能，初步具有将生活问题数学化的意识，但对于数学建模的全过程仍然模糊，存在困惑.2.学习主题成因分析本项目源自对真实情境中的问题的思考，为了设计在拱桥悬挂灯笼的方案，需要抽象出拱桥的形状，收集相关数据，建立数学模型，进而应用数学模型解决问题.系统、有序地开展项目式学习，使学生经历完整的数学建模过程，对提升学生综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题的能力、发展学生的数学核心素养大有裨益.3.项目学习目标定位本项目的学习目标设计如下.（1）通过互联网查阅相关文献资料等方式，了解拱桥的用途、建造历史、形状、结构、原理等相关知识；（2）结合生活中的拱桥实景对其形状、最高水位等要素进行分析，抽象出数学图形，续而借助信息技术，结合给定条件和已有数学经验解决问题，提升学生运用数学知识解决真实情境问题的能力；（3）经历提出问题、猜想模型、建立模型、求解模型、应用模型的全过程，培养学生的直观想象能姜志根（浙江省江山市教育局教研室）摘要：用数学知识和方法解决从真实情境中抽象出的数学问题是项目式学习的通法，而数学学科中的项目式学习往往以数学建模的形式展开研究和实践.以生活中的拱桥悬挂灯笼的设计方案为载体，开展学科项目式学习，培养学生的抽象能力和模型观念，提高教师对项目学习的综合教学能力.关键词：项目式学习；抽象能力；模型观念中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）02-0049-04引用格式：姜志根.经历数学建模全过程的项目式学习设计与实施：以“拱桥悬挂灯笼方案设计”为例 J.中国数学教育（初中版），2024（2）：49-52.作者简介：姜志根（1971），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.经历数学建模全过程的项目式学习设计与实施以“拱桥悬挂灯笼方案设计”为例 49上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）专题力、逻辑推理能力、数学运算能力，以及数学建模、用模观念.4.项目学习形式设计本项目主要涉及二次函数的数学建模、用模活动，对学生来说有一定难度，因此以小组合作为主要形式开展活动.教师在整个项目学习活动过程中给予适时点拨和指导，让学生充分经历自主探究、合作交流、总结反思的过程.二、学习结构设计项目学习过程中要引导学生在真实情境中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.本项目的学习过程分为：资料收集与整理，确定问题；建立模型，应用模型；反思总结，拓展评价.本项目的学习结构设计如图1所示.学习结构任务1：查阅资料，初识拱桥基于拱桥的形状、结构及力学设计原理，构建实物模型从真实情境中抽象出数学问题，构建数学模型任务2：运用知识，亲历过程活动1：提出问题活动2：建立模型活动3：求解模型任务3：代数推理，操作实践 活动4：应用模型灯笼悬挂方案的设计和优化任务4：归纳总结，提炼升华 活动5：从知识线、探究线、经验线和核心素养线分别进行总结任务5：拓展延伸，课后探究 活动6：设计圆弧形拱桥和椭圆形拱桥的数学模型图1“拱桥悬挂灯笼”项目学习结构设计三、关键教学环节的课堂实践以下是对“建立模型、求解模型、应用模型”学习过程的课堂实践撷取.情境引入：你能简单介绍拱桥的常见形状和结构原理吗？教师展示生活中的拱桥图片，学生发现拱桥有圆弧形的、悬链形的、抛物线形的.因为圆弧形拱桥受到的水平推力较小，一般公园里用圆弧形拱桥的比较多，适用跨径小的拱桥；而悬链形或抛物线形的拱桥抗压和抗拉强度较好，也更符合力学原理，适用跨径大的拱桥.活动1：提出问题.问题1：观察图2，你能猜想该拱桥的形状吗？图2学生通过观察，猜想该拱桥的形状是一条抛物线.【设计意图】引导学生基于图形的形状进行定性分析，助力学生经历第一次抽象，即从实际情境中抽象出数学问题，达成用数学的眼光观察现实世界的核心素养，发展学生的抽象能力和几何直观.活动2：建立模型.问题2：如何用已有的数学知识和经验确定该拱桥的形状是一条抛物线？问题3：在解决问题时，可以将哪两个量作为变量？需要确定的关键问题是什么？如图3，设图形上任意点C距点A所在竖直线的水平距离为x m，到水面AB的距离为y m.需要建立平面直角坐标系，通过测量获取相关数据.AB图3C【设计意图】通过问题2和问题3引导学生学会有序思考和解决问题，即若该拱桥的形状是一条抛物线，则要求函数表达式，而要求函数表达式，则要先确定变量，然后总结出求函数表达式的一般流程.问题4：有哪些建立平面直角坐标系的方法？学生给出的部分方法如图4图7所示.50上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）专题yx图4yx图5yx图6yx图7OOABABABO()AO()B以图6为例，先观察图象的特征，在其中选择812个合适的点，利用几何画板软件分别测量出其距点A所在竖直线的水平距离和到水面AB距离的值，填写至表1中，然后写出对应点的坐标.学生在教师的指导下，在Excel表格中自行尝试输入点的对应数值，描出各散点，分别选择函数模型拟合尝试画函数图象，根据拟合程度，判定其图象近似为抛物线，属于二次函数类型.表1水平距离x/m距水面的距离y/m10.9632.5544.8064.21105114.92134.54153.75181.82200活动3：求解模型.问题5：如何求该二次函数表达式？问题6：怎样验证函数表达式的精准性？学生用待定系数法求出二次函数的表达式为y=-120()x-102+5，任取几对数据代入验证函数表达式的精准性.教师指导学生拟合函数的方法.为了结合实际解决数学问题，我们常常以水面所在直线为x轴或以抛物线的顶点为原点来建立平面直角坐标系，由于建系方式不同，所求的表达式也就不同，但二次项系数a始终相同.【设计意图】学生经历的函数建模的全过程可以概括为：由实验获得数据描出各散点借助信息技术拟合图象并判断函数的类别用待定系数法求出函数表达式用实验数据验证函数表达式.在拟合图象的过程中，已经相当精确地反映了点C距点A所在竖直线的水平距离x与到水面AB距离y之间的关系，但这往往只能近似地刻画x与y两个变量之间的关系，实现了数学问题的第二次抽象，即在数学内部解决了变量间的关系，定量刻画了函数模型，体现了用数学的思维思考现实世界，提升了学生的运算能力和推理能力.活动4：应用模型.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高.为迎佳节，拟在如图6所示的桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.试设计一种符合所有悬挂条件的方案，并计算所需灯笼的数量.问题7：你认为影响安全的因素有哪些？灯笼悬挂最低点的纵坐标是多少？教师可以引导学生回答影响安全的因素有：水位上涨1.8 m达到最高；悬挂40 cm长的灯笼；灯笼底部距离水面不小于1 m.灯笼底部悬挂最低点的纵坐标是3.2.追问：你能求出灯笼底部悬挂最低点横坐标的取值范围吗？把y=3.2代入y=-120()x-102+5，解得x1=4，x2=16.所以4 x 16.问题8：“实效”的标准是什么？“实效”的标准是“相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m”.因为()16-4 1.6=7.5，所以有7个符合要求的间距，即最多能悬挂8盏灯笼.问题9：“美观”的要求有哪些？“美观”的要求是指灯笼悬挂要根据抛物线的对称性来设置.经过计算，师生得到如下2个方案.方案1：从拱桥顶点处开始悬挂灯笼，可以挂7盏，如图8所示.5.214.801020图8方案2：从顶点两侧开始悬挂灯笼，可以挂8盏，如图9所示.0201015.64.4图9学生先独立完成问题7，再小组交流展示.教师给 51上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）专题予学生充分思考的时间和空间，然后让各小组以合作探究和直观形象的实物展示的方式完成对问题8和问题9的解答.学生经历自主学习、合作学习的过程.教师随时为学生提供帮助，运用表现性评价的杠杆功能，让学生获得成就感，进一步激发学生的学习兴趣和探究热情.【设计意图】活动4采用学生独立思考、小组交流的方式开展，方案以师生交流、展示的方式呈现.活动4中回顾了用图象法或待定系数法求自变量取值范围，二次函数的轴对称性及其应用，让学生感受了数学解题方法的多样性.应用模型对于初中生来说有较大难度，如何分解关键问题至关重要.学生经历了独立思考、分工合作、建立模型、计算反思、解决问题的过程，学会用数学的语言表达现实世界，提升了运算能力、代数推理能力、模型观念、应用意识等素养.项目式学习的评价贯穿项目始终，要综合利用形成性评价和终结性评价手段.以表现性评价为主要形式，采用过程性和总结性评价相结合.活动5：总结反思.本节课中，学生经历了数学建模的全过程，即实验获得数据描出各散点借助信息技术拟合图象并判断或估计函数的类别用待定系数法求出函数表达式用实验数据验证函数表达式应用模型解决问题.教师提出如何从数学角度反思上述学习过程中运用的知识与方法的问题，由学生总结相关知识，并归纳问题的解决方法.最后，教师布置如下任务让学生课后解决.（1）尝试用其他方法建立平面直角坐标系并求出悬挂40 cm长的灯笼数量，说明理由.（2）课后探究拱桥呈圆弧形或椭圆形设计的数学模型.（3）设相邻两盏灯笼悬挂点的高度差均为h m，若悬挂的灯笼数量为7盏，且最低悬挂点的纵坐标y满足-1.8 y -1.2，试求h的取值范围.四、教学反思1.情境的真实性数学项目式学习注重创设真实情境，既包括真实的生活情境，也包括汲取真实情境要素，能赋予学生真实身份角色并履行角色任务的虚拟情境.通过创设拱桥悬挂灯笼的真实情境，让学生在实际操作中感悟悬挂灯笼的方法，经历真实而非表象、理性而非感性的数学探究过程，让学习真实发生，最终呈现真实的项目成果.2.过程的完整性本次项目学习过程中，学生经历了函数建模的完整过程，即“抽象：了解拱桥的不同形状、结构及力学原理，对获得的拱桥的平面图形进行第一次抽象；建模：经历猜想、建系测量、描点拟合、运算验证的过程；用模：融合其他学科知识深入理解安全、实效、美观的意义，运用数学知识推理赋予悬挂灯笼方案设计的理论支撑；形成项目实践成果：拱桥悬挂灯笼的设计方案”.这样从定性分析到定量分析再到解决实际生活中问题的过程，有助于培养学生的抽象能力、模型观念、推理能力、应用意识等.3.方法的普适性本项目设置了如何探索在拱桥上悬挂灯笼的方案设计问题，以“发现问题提出问题抽象情境建立模型应用模型方案呈现”为主线，以问题解决为导向，融入多学科的知识和思想方法，让学生从数学的视角去观察与分析、思考与表达、解决与阐述实际问题.通过合作、展示、交流培养了学生的语言表达能力、团队合作意识、创新意识和创新思维，体现了数学学科项目式学习的通性通法.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2倪晓阳，陈宇，盛伟敏.初中数学项目学习案例设计：探寻日晷中的数学 J.中国数学教育（初中版），2022（9）：33-41.3夏雪梅.项目化学习设计：学习素养视角下的国际与本土实践 M.北京：教育科学出版社，2018.4叶立军，徐蒙恩.数学项目化学习的特征及教学策略 J.教学与管理，2021（34）：62-64.52