两个竞赛题的探究与推广.pdf

2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究41两个竞赛题的探究与推广广东省佛山市石门实验学校(528200)李辉义安徽师范大学数学与统计学院(241002)曹明响摘要本文给出了两个国际数学竞赛题的统一证明方法,并由此探究出这两个竞赛题的多个推广.关键词 友谊杯;国际数学奥林匹克;切比雪夫不等式1 问题背景题目 1(第二届“友谊杯”国际数学邀请赛试题)设a,b,c R+,求证:a2b+c+b2c+a+c2a+b12(a+b+c).题目 2(第 36 届国际数学奥林匹克竞赛试题)设a,b,c R+,且 abc=1,求证:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)32.2 预备知识引理1(切比雪夫不等式)(1)对于两个单调不增或两个单调不减的实数列an,bn,有(1nni=1ai)(1nni=1bi)61nni=1aibi.(2)对于一个单调不增及一个单调不减的实数列an,bn,有(1nni=1ai)(1nni=1bi)1nni=1aibi.题目 1 证明 不妨设 a b c,则有b+c 6 c+a 6 a+b,a2b+cb2c+ac2a+b.由切比雪夫不等式有(b+c)a2b+c 3a2,即有a2b+c3a2(b+c)=3(a2+b2+c2)2(a+b+c)a+b+c2.题目 2 证明 设 a=1x,b=1y,c=1z,则 xyz=1.且有1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=x2y+z+y2z+x+x2x+y由题 1 证明可得x2y+z+y2z+x+x2x+yx+y+z233xyz2=32.3 问题的探究与推广探究 1对题 1 从项数和指数方面进行推广,得到了以下定理定理 1设 ai(i=1,2,n)0,p q 0,n 2,Sr=ni=1ari,有ni=1apiSq aqiSpqn 1.推论 1 设 a,b,c 0,p 1,有apb+c+bpc+a+cpa+b12(ap1+bp1+cp1).推论 2 设 ai(i=1,2,n)0,S=ni=1ai,n 2,有ni=1a2iS aiSn 1.显然推论 1 和 2 是定理 1 的特例,下面证明定理 1证明 不妨设 a1 a2 an,则有Sq aq16 Sq aq26 6 Sq aqn,ap1Sq aq1ap2Sq aq2 apnSq aqn.从而由切比雪夫不等式有ni=1apiSq aqini=1(Sq aqi)nni=1api,即有ni=1apiSq aqinni=1apini=1(Sq aqi)=nSp(n 1)Sq,注意到题设有 p q 0,由切比雪夫不等式有 SqSpq6nSp,即有ni=1apiSq aqinSp(n 1)SqSpqn 1.注:当 n=3,p=q=1 时即为著名的 Nesbitt 不等式.探究 2对题 2 从项数和指数方面进行推广,得到了以下定理.定 理 2设 ai(i=1,2,n)0,ni=1ai=1,p (n 1)q 0,n 2,Sr=ni=1ari,则有ni=11api(Sq aqi)nn 1.推论 3 设 a,b,c R+,且 abc=1,p 2,有1ap(b+c)+1bp(c+a)+1cp(a+b)32.推 论 4设 ai(i=1,2,n)0,ni=1ai=1,S=ni=1ai,n 2,有ni=11an1i(S ai)nn 1.显然推论 3 和 4 是定理 2 的特例,下面证明定理 2证明 设 ai=1xi,有ni=1xi=1,记 Tr=ni=1xri,则有42中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)对一道高中奥林匹克竞赛试题的探究及推广安徽省合肥市肥东县城关中学(231600)王东海摘要本文以 2023 年高中数学奥林匹克竞赛预赛卷第9 题这道解析几何大题为例,先对其解法进行引导及探究,再在此基础上进行拓展及推广,最后在高考试题中追本溯源,以发挥典型试题的效果和效益.关键词 数学竞赛;圆锥曲线;轨迹方程;解法探究;拓展推广圆锥曲线中的点的轨迹方程的求解在数学竞赛和高考中频繁出现,受到命题者的青睐.对于此类问题,常见解题方法有直译法、定义法、交轨法等,思路比较灵活,运算量往往较大,对学生的直观想象、思维能力、数学运算等数学核心素养要求较高,从而导致学生在解决问题时容易造成丢分.针对这一问题,本文以一道竞赛试题为例,谈谈其解法及其拓展,供读者参考.1 考题呈现题目(2023 年高中数学奥林匹克预赛 A 卷第 9 题)平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 :y2=4x,F 为 的焦点,A,B 为 上的两个不重合的动点,使得线段 AB 的一个三等分点 P 位于线段 OF 上(含端点),记 Q 为线段 AB 的另一个三等分点,求点 Q 的轨迹方程.分析这是一道求解点的轨迹方程的问题,既可以使用相关点法、也可用参数法处理,还可利用抛物线和直线的参数方程加以解决.得所求点轨迹方程为:y2=43x,x (0,32.试题平中见奇,内涵丰富,是具有研究性学习价值的好题.图 12 一般性推广将试题结论推广到一般情形,则可得:结论 1抛物线 :y2=2px(p 0)的焦点为 F,A,B为 上的两不同的动点,使得线段 AB 的一个三等分点 P 位于线段 OF 上,记 Q 为线段 AB 的另一个三等分点,则点 Q的轨迹方程为 y2=23px(0 x 634p).证明设 A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设 BP=PQ=QA,P(s,0)(0 ni=1xpqinj=1,j=i(1n 2nm=1,m=i,m=jx(n2)qm)=ni=1xpqiT(n2)q x(n2)qi注意到题设有 p (n 1)q 0,即有 p q (n 2)q 0,从而由定理 1 有ni=1xpqiT(n2)q x(n2)qiTp(n1)qn 11n 1 nnvuutni=1xp(n1)qi=nn 1.参考文献1 匡继昌.常用不等式(第三版)M.济南:山东科学技术出版社,2004:58-61.