借用点旋转 妙解一类题--一道教材习题多角度探究与应用.pdf

2024 年第 1 期(下)中学数学研究45借用点旋转 妙解一类题 一道教材习题多角度探究与应用山东省微山县第一中学(277600)焦 猛朱广军摘要以人教版一道习题为例开展多角度研究，分析点旋转的解题方法.关键词 旋转;证明;向量1 题目呈现人教版新教材必修二 53 页综合运用第 11 题:已知对任意平面向量 AB=(x,y),把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 AP=(xcos y sin,xsin+y cos),叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 角得到点 P.已知平面内点 A(1,2),点 B(1+2,2 22),把点 B 绕点 A 沿顺时针方向旋转4后得到点 P.求点 P 的坐标.此题目根据旋转公式很容易求出点的坐标.旋转公式是如何得到的学生不理解,为此进行了探究,其意义在于首先让学生重视教材,教材是源,理解教材,把握教材才能抓住高考,不做无源之水,无根之木,其次自主构建知识结构,同一问题由不同模块知识解决,理解不同模块知识的衔接点,融会贯通所学的知识,再次打破常规知识点题型练习的复习模式,提高复习效率,培养学生数学核心素养的形成.2 旋转公式的证明于点 Q,点 Q 在直线 x=1 上,证明:直线 l 过定点.解显然直线 l 的斜率不为 0,设 Q(1,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),设 直 线 l 的 方 程 为 x=ty+m,联 立x=ty+m,x24 y2=1,整理得(t2 4)y2+2tmy+m2 4=0,当 t=2 时,不 符 合 题 意,所 以 t=2,则y1+y2=2tmt2 4,y1y2=m2 4t2 4,=16(t2+m2 4)0.直 线 AM 方 程 为:y=y1x1+2(x+2);直线 BN 方程为:y=y2x2 2(x 2).因为点 Q 在直线 AM,BN 上,则 4ty1y2+3my1+my2+2y2 6y1=0,所以(m 4)(m 2)y1(m+2)y2=0,所以 m=4,即直线 l 过定点(4,0).3.4 由特殊到一般条件一般化,上述问题在双曲线中还会得到类似的结论,同样可以推广到椭圆中.推论 1双曲线 E:x2a2y2b2=1,其中点 A,B 分别为双曲线 E 的左右顶点,过点 C(m,0)(m=0)作直线 l 交 E于 M,N 两点,直线 AM 与 BN 交于点 Q,则点 Q 在定直线x=a2m上.推论 2双曲线 E:x2a2y2b2=1,其中点 A,B 分别为双曲线 E 的左右顶点,直线 l 交 E 于 M,N 两点,直线 AM与 BN 交于点 Q,点 Q 在直线 x=a2m(m=0)上,则直线 l过定点(m,0).推论 3 椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0),其中点 A,B分别为椭圆 E 的左右顶点,过点 C(m,0)(m=0)作直线 l交 E 于 M,N 两点,直线 AM 与 BN 交于点 Q,则点 Q 在定直线 x=a2m上.推论 4 椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0),其中点 A,B分别为椭圆 E 的左右顶点,直线 l 交 E 于 M,N 两点,直线AM 与 BN 交于点 Q,点 Q 在直线 x=a2m(m=0)上,则直线 l 过定点(m,0).4 解后反思笔者基于本班学生的学情,考后对本题进行深度探究,挖掘问题的本质,希望能帮助学生突破难点.以双曲线为问题起点,探究一类圆锥曲线定点、定值问题.问题设计以学生的思维为主,将学生未完成的解答拿到课堂上与学生一起分析、完善,为学生解惑,然后再以问题变式和改变问题情景的方式深入探究揭示问题本源,从双曲线到椭圆,从特殊到一般激发学生探究问题的兴趣.解析几何本身计算量就大,学生不愿算,认为做了也做不对,直接放弃,再加上高二的学生还未进行系统的复习,对圆锥曲线的知识系统认知不够,现在做圆锥曲线题目很难.如何攻克学生从不愿算的畏难心理到愿拿起笔算?这是一个艰巨的任务.46中学数学研究2024 年第 1 期(下)问题涉及角度,思考与角度有关的知识有三角函数、向量的数量积、斜率与倾斜角、复数的三角形式等都涉及角度问题.将从以下几方面进行证明.为方便处理问题把向量 AB=(x,y)的起点平移到坐标原点.设沿逆时针方向旋转 角得到向量 AP=(x,y),向量 AB 与 x 的非负半轴所成的角为,|AB|=r.2.1 三角函数法证明x=rcos,y=rsin,x=rcos(+)=rcoscos rsinsin,y=rsin(+)=rsincos+rcossin,所 以x=xcos y sin,y=xsin+y cos.此方法考虑到向量旋转后长度不变,利用三角函数定义建立角度和坐标之间的联系,证明过程简洁明了.但要对三角函数定义理解透彻,三角恒等变换公式熟练掌握.2.2 向量的数量积证明 cos=AB APr2=xx+yyr2,由sin2+cos2=1 得到 sin=xy xyr2,r2cos=xx+yy,r2sin=xy xy,x=xcos y sin,y=xsin+y cos.此方法考虑到向量旋转角度和坐标表示,利用数量积公式建立角度和坐标之间的联系,解方程组即可.但求解 sin时,较复杂需要讨论.2.3 斜率到角公式证明tan=tan(+)=tan(+)tan1+tan(+)tan,tan(+)=yx,tan()=yx(x,x=0)代入上式tan=xy xyxx+yy,由 三 角 函 数 同 角 基 本 关 系 式 解 得sin=xy xyr2,cos=xx+yyr2,下同 2.2.当 x,x=0 时,检验成立.此方法利用两点斜率公式与倾斜角正切值的关系建立角度和坐标之间的联系,同样用到三角函数同角基本关系式且解方程组,但需要单独讨论特殊点.2.4 复数三角表示形式证明 AB=(x,y)对应的复数为 x+yi,AP=(x,y)对 应 的 复 数 为 x+yi.则(x+yi)(cos+isin)=x+yi,xcos y sin+(xsin+y cos)i=x+yi,x=xcos y sin,y=xsin+y cos.此方法利用复数与平面向量是一一对应的,向量旋转 角,由复数的乘法几何意义知相当于乘以一个模为 1 辅角为 的复数,利用复数相等即可 虽是选学内容,证明过程最简单.3 旋转公式的应用图象是由无数点组成的,图象的旋转则是点的旋转,下面在三个方面例析通过旋转图象可以得到熟知的图象,简化问题的研究.3.1 旋转圆例 1(2009 年 上 海 高 考 理 14)将 函 数 y=4+6x x2 2,(x 0,6)的图象坐标绕原点逆时针方向旋转角(0 6 6)得到曲线 C,若对于每一个旋转角,曲线 C 都是一个函数的图象,则 tan 的最大值为.解 y=4+6x x2 2,(x 0,6),(x 3)2+(y+2)2=13,(x 0,6).设点(x,y)在圆上,旋转后的点为(x,y).x=xcos y sin,y=xsin+y cos,x=xcos+ysin,y=ycos xsin,代入圆方程得x(3cos+2sin)2+y(3sin 2cos)2=13.(x 0,6).若绕原点逆时针方向旋转曲线 C 都是一个函数的图象,则圆心纵坐标非正值,即 3sin 2cos 6 0,tan 623.tan 的最大值为23.评析圆绕坐标原点逆时针旋转 角后仍是圆,且恒过原点,结合图象只要旋转后的纵坐标不大于零,函数对应的圆弧一直表示函数,由旋转后的圆方程的圆心坐标直接得出最大值.3.2 旋转椭圆例 2(2019 北 京 理 8题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y 就是其中之一(如图)给出下列三个结论:1曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点);2曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过2;3曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3其中,所有正确结论的序号是().A.1B.2C.12D.1232024 年第 1 期(下)中学数学研究47假设大小、确定放缩、精度调整 例谈一类比较大小题目的一种解答策略重庆市綦江中学(401420)晏炳刚綦江区南州中学(401420)涂元梅摘要比较大小题目在近三年的高考题、模拟题中出现在中高难度位置.题目求解灵活多变,能有效培养学生的数学逻辑推理和运算能力.提出一种解法:先假设大小确定放缩方向,再根据不同函数放缩调整精度,直至能比较大小.并用 5 个例子阐述策略的操作方法、注意事项与解题价值.关键词 比较大小;函数放缩;精度调整比较大小题目在每年高考题中都有涉及,尤其在 2021和 2022 年中,题目呈现出精度高,难度大,方法多的特点.文献 1-3 对这类题目做了思考,本文也提出自己的见解,供读者参考.1 题目呈现(1)(22 年新高考 卷)设 a=0.1e0.1,b=19,c=ln0.9判断 a,b,c 大小关系.(2)(22 年甲卷)设 a=3132,b=cos14,c=4sin14,判断a,b,c 大小关系.观察这类题目,有两个类型.(1)一个是实数记为 t,另一个是指数型、对数型、三角型或其它型实数记为 f(x0),题目抽象出来就是判断f(x0)t(f(x0)g(y0).解 设 x=22x22y,y=22x+22y代入曲线C.当x 0,即x y得x2+3y2=2,当x 0,即x y,x2+3y2=2 上2 倍点的个数(即横、纵坐标均为2 倍数的点),易知(22,22),(22,22),(2,0),(22,22)对称的上半部分有两个点,故1对.2绕原点旋转图形形状不变,由椭圆方程得到离原点最远距离为2(两个点).2对.3绕原点旋转图形原来面积等于旋转的面积,若知道椭圆的面积公式 ab 可直接判断 213 23 3,或利用1找的特殊点组成四边形面积估算.故3错.选 C.评析 曲线 C 旋转后得到标准的椭圆方程,相应问题转化为在标准方程及其几何性质下解决则变得更加容易,1求y=x+2t(t Z)与椭圆相交的点的个数,2是椭圆长轴的定点有两个点满足,3就是椭圆面积公式.这些在原方程中都体现不出来.3.3 旋转双曲线例 3(2020 泉州质检)若双曲线 C:mx2+ny2=1.(mn 0)为对勾函数,当双曲线焦点在 y 轴时,函数为 y=1+2mx223mx(m 0)为增函数.