认知负荷理论下初中数学教材中勾股定理内容的比较研究——以人教版、北师大版和青岛版为例.pdf

22中学数学研究2024 年第 2 期(下)认知负荷理论下初中数学教材中勾股定理内容的比较研究 以人教版、北师大版和青岛版为例济南大学数学科学学院(250001)李 丽尹丽子济南大学图书馆(250001)于 冰摘要选取人教版、北师大版和青岛版三个版本的初中数学教材为研究素材.以“勾股定理”相关内容为研究对象,从编排顺序、篇幅、例习题方面进行统计分析.并基于认知负荷理论,对我国初中数学教材的修订与编写提出建议.关键词 教材比较;勾股定理;认知负荷理论1 教材比较研究综述近年来,伴随着新一轮基础教育改革与“双减政策”的有效推进,减轻学生学习负担,推进高素质教育已成为共识.而教材作为知识文化的重要载体,不仅是教师在实践教育工作中的重要依据,更是学生学习的第一手资料,其编排的内容或形式都将直接或间接地影响学习者的认知过程.因此,如何合理安排教材内容是十分值得被探讨和研究的问题.自新课标颁布以来,国内义务教育阶段数学教科书呈现“一标多本”的局面,目前在我国共推行 12 套不同版本的初中数学教材,各有特色与优势.不同教材之间的比较研究是非常有必要的,其成果也是非常丰富的.从比较类型上看,教材比较大致分两种情况:其一是不同国家和地区间的比较.例如,张晓东在文献1中探究人教版与东京版初中数学教科书的异同点,并为教材的修订与编写提出精选丰富素材等建议.其二是同一国家不同版本的比较.例如,李欣姝在文献2中研究发现人教 A 版数学建模内容主要以融入其他主线的方式展开,而北师大版中则主要以专题形式呈现,并对两版本教材在数学建模内容的编写上提出建议.从比较内容上看,教材比较主要涉及内容结构、例习题、数学史及数学文化等方面,同时也涉及图形与几何、概率与统计、函数等章节的比较.例如,计双燕、刘云在文献3中采用鲍建生综合难度模型进行例习题难度的比较研究,发现沪教版例习题难度整体高于人教版.勾股定理处于初中数学知识的交汇处和融合点,是初等几何中重要的定理之一,同时也是中考试题中的高频考点与重要解题工具.因此,许多学者也将其作为教材比较的切入点进行比较分析.例如,学者尹力在文献4中聚焦习题比较,从习题数量等五个维度比较分析,并建议习题设计应适度淡化数值计算的训练,保持习题层次性.尽管关于勾股定理内容的教材比较研究较为丰富,但多是从整合不同版本优势的角度出发来提出教材编写的建议,从减负视角进行教材比较研究者较少.尤其是在现行“双减”政策的背景下,探究勾股定理教材内容的减负优化是十分有必要的.不同版本教材中某一领域或内容的比较一直是中小学教师关注的重点,在本文我们从认知负荷理论视角比较不同版本教材勾股定理内容,并提出自己的一些见解,希望能为以后教材的建设提供一些建议.2 认知负荷理论在人脑的认知结构中,短时记忆对信息进行加工处理,形成认知图式存储在长时记忆中,方便以后信息的快速提取.澳大利亚新南威尔士大学的认知心理学家约翰斯威勒(John Sweller)认为:在信息加工处理过程中,短时记忆的容3.3 积累实践案例数学学科起源于劳动,数学教学与劳动教育密不可分.实践出真知,教师在深度研读劳动教育政策和 PEUA 模型的基础上,加强实践研究,形成学习共同体,积极尝试、实践、反思、分享,碰撞出教学教学智慧,积累具有指导教师、具有借鉴性的蓝本,从而形成“实践探索-反思提炼-案例积累-优化实践”的可持续发展.参考文献1 夏颜先.人工智能时代的劳动教育研究 D.上海师范大学,2022.2 檀传宝.培养有劳动素养的时代新人 J.现代教学,2020(08):1.3 赵枫,位旦.学科课程如何渗透劳动教育基于珠海市数学课程渗透劳动教育的调查 J.广东教育(综合版),2022(04):42-44.4 冯继红.新时代背景下初中数学与劳动教育的融合 J.第二课堂(D),2021(12):63-64.2024 年第 2 期(下)中学数学研究23量是有限的,并且多种待处理的信息元素以及元素之间的交互性使得本就容量有限的短时记忆在工作时一次只能处理两到三条信息.他在此基础上于 1988 年首次提出“认知负荷理论(Cognitive Load Theory)5”.该理论认为,问题解决与学习过程等认知活动均需消耗认知资源,会产生一定的认知负荷.而当所需要消耗的认知资源超过了工作记忆的容量时,则会导致资源分配不足,从而降低学习或问题解决的效率.认知负荷会受到多种因素的影响,根据其影响因素来源和是否有助于图式建构,将认知负荷分为:(1)内在认知负荷,主要受学习内容本身复杂水平的影响;(2)外在认知负荷,主要受到学习材料的组织、呈现方式等的影响;(3)关联认知负荷,这是学习者在充分利用认知资源促进图式建构时产生的一种有效负荷,适当增加关联认知负荷可促进学习者心理努力,从而降低总认知负荷.其中,三种认知负荷的相加构成了总的认知负荷.由此出发,为降低认知负荷提供了三种途径:控制内在认知负荷、降低外在认知负荷和提高相关认知负荷.在认知负荷理论提出之后,许多学者将研究的目光聚焦在如何降低认知负荷,提高工作记忆效率等方面,因此该理论也成为教育工作者研究的热点之一.蒋荣清认为,学习者在数学认知过程中,过高或过低的认知负荷都会降低学习效率,并提出简约化教学、加强自动化学习等教学策略6.连四清、伍春兰等人认为,在具有较高内在认知负荷的几何领域,更要注意降低外在认知负荷,特别是做好文字和图形的有效整合工作7.目前,认知负荷理论主要应用于教学策略的优化,本文我们将该理论应用于教材中勾股定理等内容的建设,以期降低学生负荷,提高学习效率.3 三个版本教材勾股定理内容的比较本文选取全国大部分地区使用的“人教版”教材,北京、天津等地区使用的具有代表性的“北师大版”教材,以及青岛、烟台等山东省内部分地区使用的具有地方特色的“青岛版”教材,在编排顺序、内容篇幅、例习题等方面比较了勾股定理的教材内容,并基于认知负荷理论进行分析.3.1 编排顺序的比较人教版中“勾股定理”内容位于八年级下册,学习本节内容之前学生已经学习过全等三角形、轴对称、二次根式等知识,初步掌握了几何图形的观察和证明方法,学生学习起来会游刃有余.在北师大版教材中,勾股定理一节内容则被安排在实数和二次根式内容之前,由于学生此前并未接触过开方等基础知识,因此在处理“求解斜边长度是无理数的直角三角形”等问题时会比较棘手,同时也对教师教学能力以及学生的问题解决能力提出了新的要求,增加了师生的认知负荷.青岛版中“勾股定理”内容并未单列一章而是以分知识点的形式安排在八年级下册“实数”章中的三小节,整章内容采用“实数”与“勾股定理”双螺旋式的编排方式,将二者当作一个整体知识进行融合,数形结合的设计意图明显,但却使本章内容知识点含量过大,导致综合难度加大,给学生带来较高的内在认知负荷,实践起来不易达到理想效果.由以上分析可知,人教版教科书在内容编排时更加强调知识之间的迁移,注重学生已有的经验水平,也更符合大多数初中数学教师在实际教学中对教材的要求.3.2 内容篇幅的比较三个版本勾股定理内容都包含定理的探索、验证、逆定理及其应用,符合 2022 年版 义务教育数学课程标准(以下简称 标准)的规定8.人教版该部分内容共计 19 页,其中探索勾股定理内容达 8 页之多,铺垫过多,使原本简明的定理复杂化,增添记忆负担;北师大版该部分内容共计 15 页,将定理的应用列为单独一节,重视学生问题解决能力的培养,并且十分关注情境创设,贴近生活实际,降低学生知识理解与应用的难度,更符合学生的认知水平;青岛版因融合开方运算、实数等内容的需要,故将该部分内容整体精简化,共计12 页,但篇幅过小加之内容综合性强,反而带来较大的工作记忆负担.此外,除课程标准明确规定的内容之外,三大版本均设计阅读材料模块,拓展视野,挖掘数学历史文化,增加关联性认知负荷,有助于收获更好的学习效果.3.3 例习题的比较当学习者面临待处理的信息源越多时,其注意力被分散的可能性越大,甚至会对学习者的学习行为带来抑制作用,产生认知负担.因此不管是例题还是习题的设置,精而典型是教材编写所努力的一个方向.本小节主要从教材例习题认知水平和难度两个方面进行比较分析.3.3.1 例习题认知水平的比较本节采用国内学者顾泠沅构建的数学习题认知水平的四个层次9对三个版本教材勾股定理的例习题进行比较分析,其中这四个层次包括:计算操作水平、概念记忆水平、领会理解水平和分析探究水平.表 1 三个版本教材例习题认知水平汇总表版本认知水平计算操作水平概念记忆水平领会理解水平分析探究水平小计人教版17186344北师大版121311844青岛版1316884524中学数学研究2024 年第 2 期(下)首先,我们统计了三个版本教材四个层次的例习题的数量,如表 1.由表 1 可以看出,三个版本教材例习题总量相当;人教版教材在例习题上注重学生计算操作水平和概念记忆水平的培养;北师大版和青岛版教材在例习题上注重学生认知水平四个层次的综合培养,但北师大版教材在概念记忆水平、青岛版教材在领会理解水平上有所偏倚.然后,我们对三个版本教材例习题进行更深入分析.经研究发现北师大版教材的例习题设计种类均衡,考察全面,教材编写例习题时进行了认知水平四个层次的分类,题目设置上按照认知水平逐次递进,有效降低外在认知负荷,减轻了学生的工作记忆负担,同时对学生综合素质进行了培养.人教版注重学生基础知识的培养,降低了外在认知负荷,但因在领会理解、分析探究等综合类题目设置量不足,限制了学生高素质能力的提升.青岛版教材更加注重培养学生的分析探究能力,但习题难度提升跨度过大反而给学生带来较高的外在认知负荷,学生实践起来负担较重.3.3.2 例习题难度的比较我们统计了三个版本教材例习题的知识点含量,如表 2.表 2 三个版本教材例习题知识点含量汇总表版本知识点数量(个数)12-3 4人教版29132北师大版32120青岛版24192由表 2 可以看出,三个版本教材单个知识点例习题最多,两到三个知识点居中,四个及以上知识点最少;跟其他版本相比,青岛版教材单个知识点题目最少,多知识点的题目最多.经过进一步比对发现,三个版本单个知识点例习题偏重于基础知识的理解和应用,强化学生对基本定理的掌握,学生的认知过程比较轻松;两个知识点或三个知识点的例习题主要是勾股定理和其他定理相结合,形成较为综合的题目,要求学生多方位思考问题;多个知识点的题目,一般为综合性或开放性较强的解答题,要求学生灵活运用所学知识.从题目知识点含有的数量来看,人教版最为均衡,逐步深入,认知负荷适中;北师大版过于注重代数计算类题目,缺乏对于综合类题目考察,不利于培养学生的知识迁移能力,认知负荷太低;青岛版因综合类题目占比多,整体难度最大,给学生带来更大的认知负荷.4 建议简单的对比并不能揭示出一个特定内容的数学本质及其深层次关联,关键是从中探索其概念化、结构化的特征10.基于上述研究结论,结合认知负荷理论,对勾股定理部分内容的修订与编写提出自己的一些见解.在编排顺序方面,有以下两点建议:(1)将勾股定理内容放在全等三角形、开方运算之后学习更符合学生认知发展水平;(2)在内容编排上,按照“勾股定理”、“勾股定理的逆定理”和“定理简单应用”的顺序依次展开,这样既保留知识系统性的同时又让学习过程更具连贯性,减少其他冗余信息对于注意力的干扰.在内容篇幅方面,依据 标准 具体要求“探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题”编写教学内容.教材的设计应突出定理探索与验证的过程以及实际应用,可适当增加阅读材料,提高关联性认知负荷.另外,重点内容采取精简的设计编排方式,排除冗余信息,降低学生的外在认知负荷.在例习题设置上,将题目进行分层设计,循序渐进,尊重学生认知规律,同时降低习题的无意义重复.适当增加考察概念应用与知识领会水平的题目,添加一些开放性或综合性强的题目帮助学生提高思维水平,培养学生的数学建模意识和知识迁移能力.5 总结本文基于认知负荷理论从内容编排顺序、篇幅及例习题三个方面对三个版本数学教材中“勾股定理”内容进行分析,并提出了该部分内容教材编写的个人见解,以期为初中数学教材建设做出一点贡献.参考文献1 张晓东.中日初中数学教材中数学文化的比较研究以“概率与统计”内容为例 J.中学数学研究(华南师范大学版),2020(12):28-30.2 李欣姝.高中数学教材“数学建模”内容比较研究以人教 A 版和北师大版必修教材为例 J.数学教学研究,2021,40(05):37-43+47.3 计双艳,刘云.人教版与沪教版初中数学教材函数例题难度比较研究 J.课程教学研究,2020,(02):10-15.4 尹力,杨亚平,李欢.人教版与鲁教版初中数学教材习题的比较研究以章节“勾股定理”为例 J.中学数学杂志,2020,(10):8-11.5 Sweller,J.Cognitive load during problem solving:Effects on learn-ingJ.Cognitive Science.1988,12(2):257-285.6 蒋荣清.基于认知负荷理论的数学课堂教学策略 J.数学通报,2018,57(01):39-42+46.7 连四清,伍春兰.认知负荷理论与数学教学样例设计 J.数学通报,2005(11):24-26.8 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)M.北京:人民教育出版社,2020.9 顾泠沅.青浦实验一个基于中国当代水平的数学教育改革报告(上)J.课程.教材.教法,1997(01):26-32.10 王科,汪晓勤“.中美日新”四国高中教材中的数学归纳法比较研究J.数学教育学报,2015(2).