镜像法电轴法电容部分电容静电能量与力副本.ppt

下 页上 页边值问题上半空上半空间的的电位位导体平面上体平面上方程相同，方程相同，边界条件相同，解唯一。界条件相同，解唯一。感感应电荷荷产生生的的电位位上半上半场域的域的电位和位和电场下 页上 页-q q 是虚是虚设的的电荷，称荷，称为镜像像电荷，用来替代荷，用来替代导板板上复上复杂分布的感分布的感应电荷的作用；荷的作用；注意注意镜像像电荷荷应放置在所求区域（有效区）以外；放置在所求区域（有效区）以外；根据叠加原理，根据叠加原理，导板上方有任意分布的板上方有任意分布的电荷荷时也可也可作相作相应的的镜像。像。pr1r2下 页上 页q2q1q3q2q1q3-q2-q1-q3 -地面上感地面上感应电荷的荷的总量量为垂直地面的垂直地面的电场分量分量试求空气中点求空气中点电荷荷q q 在地面引起的感在地面引起的感应电荷分布。荷分布。解解下 页上 页例例应用用镜像法，地面任意点像法，地面任意点 地面电荷分布镜像法小像法小结 镜像法的理像法的理论依据是：依据是：镜像法的像法的实质是：是：镜像法的关像法的关键是：是：镜像像电荷只能放在待求荷只能放在待求场域以外的区域。域以外的区域。用虚用虚设的的简单分布的分布的镜像像电荷替代未知的复荷替代未知的复杂分布分布电荷，使荷，使计算算场域域为无限大均匀媒无限大均匀媒质；静静电场唯一性定理；唯一性定理；确定确定镜像像电荷的个数，大小及位置以保荷的个数，大小及位置以保证原原场的的边值问题不不变；应用用镜像法解像法解题时注意：注意：下 页上 页2.2.点点电荷荷对球面球面导体的体的镜像像点点电荷位于接地荷位于接地导体球外体球外下 页上 页场分布特点：分布特点：球面上球面上产生生负感感应电荷荷电场为两两维子午平面子午平面场边值问题导体球外（除体球外（除q q点）空点）空间：下 页上 页确定确定镜像像电荷的位置荷的位置确定确定镜像像电荷大小荷大小应用用镜像法求解像法求解球面球面电位位将 r1,r2 代入方程 ，得镜像像电荷放在求解的荷放在求解的场域外。域外。联立求解得立求解得镜像电荷位置镜像电荷大小下 页上 页镜像像电荷等于荷等于负感感应电荷荷总量。量。球外任一点球外任一点P 的的电位与位与电场为 球外的电场分布 球外的电场计算下 页上 页1.1.点点电荷荷q q 对不接地金属球的不接地金属球的镜像。像。边值问题思路思路下 页上 页讨论导体球外（除体球外（除q q点）空点）空间：则任一点任一点电位位通量通量为零零（大小相等）大小相等）球面等位（球面等位（位于球心）位于球心）下 页上 页导体球零体球零电位位球面球面电位位任一点任一点场强 点电荷位于不接地导体球附近的场图下 页上 页讨论2.2.点点电荷荷q q 对带有有电荷荷Q的金属球的的金属球的镜像。像。下 页上 页 边值问题思路思路导体球外（除体球外（除q q点）空点）空间：+Q讨论下 页上 页3.3.点点电荷荷q q 对带有有电压U0的金属球的的金属球的镜像。像。边值问题思路思路导体球外（除体球外（除q q点）空点）空间：+Q讨论下 页上 页4.4.点点电荷荷q q 在不在不带电的金属球壳内的的金属球壳内的镜像。像。边值问题思路思路导体球内（除体球内（除q q点）空点）空间：q-q b bd d讨论下 页上 页5.5.求求图示示问题的的镜像像电荷的位置和大小。荷的位置和大小。边值问题思路思路上半空上半空间（除（除q q点）：点）：qq-q-q-q-q+q+q 讨论下 页上 页6.6.求求图示示问题的的镜像像电荷的位置和大小。荷的位置和大小。边值问题思路思路上半空上半空间（除（除q q点）：点）：qq-q-q-q-q+q+q 破坏了破坏了边值问题无限大接无限大接地地导板板讨论下 页上 页6.6.求求图示示问题的的镜像像电荷的位置和大小。荷的位置和大小。边值问题思路思路左半空左半空间（除（除带电球）：球）：Qq q-q q q q q q-q-q-q q Q=q+q+q+3.3.点点电荷荷对不同介不同介质分界面的分界面的镜像像下 页上 页 边值问题上半空上半空间（除（除q q点）：点）：下半下半空空间：分界面分界面：解得解得下 页上 页保保证方程不方程不变边界条件界条件：电场分布图 1 1中的中的电场由由q q 与与q q 共同共同产生，生，q q 等效替代等效替代极化极化电荷的影响。荷的影响。2 2中的中的电场由由 q q 决定，决定，q q 等效替代自由等效替代自由电荷与极化荷与极化电荷的作用。荷的作用。注意下 页上 页4.4.电轴法法（Electric Axis Method）问题下 页上 页 长直平行双传输线 在在传输线系系统中，中，导线之之间的的静静电感感应作用使作用使导线表面的表面的电荷分荷分布不均匀，直接求解布不均匀，直接求解电场分布很困分布很困难。边值问题导线以外的空以外的空间下 页上 页应用用镜像法求解像法求解镜像像电荷荷长直直带电细导线替代感替代感应电荷的作用荷的作用镜像像电荷的位置荷的位置电轴法法 两根两根细导线产生的生的电位位下 页上 页细导线产生的生的电场以以 y 轴为参考参考电位位令：令：常数，等位常数，等位线方程方程下 页上 页圆的方程的方程K 取不同取不同值时，得到一族等，得到一族等电位位圆。圆心坐心坐标圆半径半径下 页上 页右半平面右半平面。左半平面左半平面。a、h、b满足关系足关系圆心坐心坐标圆半径半径下 页上 页联系？系？(以以 y 轴为参考参考电位位)例例b)圆柱柱导线间的的电场与与电位位 解解a)计算算电轴位置位置下 页上 页试求两求两带电长直平行直平行传输线的的电场及及电位分布。位分布。E 线方程方程下 页上 页 根据根据得到得到 Ex 和和 Ey 分量分量下 页上 页小结电轴法的理法的理论基基础是是场的唯一性定理；的唯一性定理；电轴法的法的实质是用是用电轴上的上的线电荷替代荷替代圆柱上的不均匀分布柱上的不均匀分布电荷的作用；荷的作用；电轴法用以解决一系列平行法用以解决一系列平行圆柱的柱的电场注意有效区域及注意有效区域及电位的参考点位的参考点讨论 若在任一等位面上放一无厚度的金属若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，柱壳，是否会影响是否会影响电场分布？分布？若在金属若在金属圆柱管内填充金属，重答上柱管内填充金属，重答上问。试决定决定图示不同半径平行示不同半径平行长直直导线的的电轴位置。位置。下 页上 页例例解解试确定确定图示偏心示偏心电缆的的电轴位置。位置。下 页上 页例例解解已知平行已知平行传输线之之间电压为U0,试求求电位分布。位分布。设电轴线电荷荷 ，任一点，任一点电位位下 页上 页例例解解计算算电轴位置位置1.1.两两导体的体的电容容Capacitance and Distributed Capacitance1.8 1.8 电容和部分容和部分电容容定定义：单位：下 页上 页 线性系性系统中，中，带有等量异号有等量异号电荷的两荷的两导体，其体，其电位差与位差与电荷成正比，荷成正比，这个比个比值系数定系数定义为两两导体体的的电容。容。-QQU+-电力电容器下 页上 页2.2.两两导体体电容的容的计算算 电容的容的计算是算是电场的的计算算给出了出了计算算电容的方式：容的方式：设下 页上 页表明或或设忽略忽略边缘效效应 试求平板求平板电容器的容器的电容。容。下 页上 页例例解解 试求求长圆柱形柱形电容器的容器的电容。容。例例解解b ba a设内内导体的体的电荷密度荷密度为 ，则设内内导体的体的电荷荷为 q q，则同心球壳同心球壳间的的电压球形球形电容器的容器的电容容 试求同心球壳求同心球壳电容器的容器的电容。容。下 页上 页同心球壳电容器例例解解1 1）当）当 时孤立孤立导体球的体球的电容容下 页上 页讨论2 2）当）当 时平板平板电容器的容器的电容容3.3.部分（分布）部分（分布）电容容（Distributed Capacitance)三导体静电独立系统下 页上 页 对于多于多导体系体系统，每两个，每两个导体上的体上的电压受到所有受到所有导体体上上电荷的影响，荷的影响，这时系系统中中导体体电荷与荷与导体体电压的关系不的关系不能能仅用一个用一个电容来表示而需引入部分容来表示而需引入部分电容的概念。容的概念。多多导体系体系统静静电独立系独立系统线性系性系统讨论前提前提下 页上 页N个个导体的系体的系统，各，各导体的体的电位位电位系数位系数l 电位系数位系数下 页上 页矩矩阵形式形式 a ai,i 自有自有电位系数，表明位系数，表明导体体 i 上上电荷荷对自身自身 电位的位的贡献献 a ai,j 互有互有电位系数，表示位系数，表示导体体j 上的上的电荷荷对导体体i电位的位的贡献献 电位系数的位系数的计算算下 页上 页电位系数性质电位系数均位系数均为正数；正数；电位系数位系数仅于于导体的几何形状、相互位置及体的几何形状、相互位置及介介质分布有关；分布有关；电位系数位系数满足互易性；足互易性；自有自有电位系数大于互有位系数大于互有电位系数；位系数；下 页上 页 b bi,i 自有感自有感应系数，表示系数，表示导体体 i 电位位对自身自身电荷的荷的贡献献 b bi,j 互有感互有感应系数，表示系数，表示导体体 j 电位位对导体体 i 电荷的荷的贡献献l 感感应系数系数感感应系数系数下 页上 页感感应系数的系数的计算算自感自感应系数系数为正数；因正数；因 i 与与 qi 同号同号感感应系数系数仅于于导体的几何形状、相互位置及体的几何形状、相互位置及介介质分布有关分布有关,且且满足互易性；足互易性；互感互感应系数系数总是是负值，因，因+总是在其他是在其他导体上体上产生生负电荷荷；自有感自有感应系数大于与其相关的互有感系数大于与其相关的互有感应系数系数绝对值；感应系数性质下 页上 页l 部分部分电容容矩矩阵形式形式部分部分电容的性容的性质静静电独立系独立系统中中n1个个导体有体有 个部分个部分电容容下 页上 页部分部分电容均容均为正正值；部分部分电容的容的计算算所有所有导体与体与i导体等位体等位除除j导体，其余体，其余导体体电位位为零零部分部分电容是否容是否为零，取决于两零，取决于两导体之体之间有否有否电力力线相相连；部分部分电容可将容可将场的概念与的概念与电路路结合起来。合起来。下 页上 页 部分电容与电容网络结论试计算考算考虑大地影响大地影响时，两，两线传输线的部分的部分电容及等效容及等效电容。已知容。已知da,且且ah。部分部分电容个数容个数由由对称性，得称性，得(1)下 页上 页例例解解电容与容与带电量无关，故量无关，故则利用利用镜像法，两像法，两导体的体的电位位(2)下 页上 页 两线输电线对大地的镜像联立解得立解得两两线间的等效的等效电容：容：下 页上 页所以所以静静电屏蔽在屏蔽在工程上有广泛工程上有广泛应用用。静电屏蔽 三三导体系体系统的方程的方程为：4.4.静静电屏蔽屏蔽当当 时，说明明 1 1 号与号与 2 2 号号导体之体之间无静无静电联系，系，实现了静了静电屏蔽。屏蔽。下 页上 页1.9 1.9 静静电能量与力能量与力1.静静电能量能量(Electrostatic Energy)Electrostatic Energy and Force 用用场源表示静源表示静电能量能量下 页上 页 电磁磁场是一种特殊形式的物是一种特殊形式的物质，能量是物，能量是物质的的属性之一。属性之一。电场能量是在建立能量是在建立电场过程中从与各程中从与各导体相体相连接的接的电源中取得的，因此源中取得的，因此电场储能是外力做能是外力做功形成的。功形成的。讨论前提前提a)a)线性系性系统；b)b)电场建立无限建立无限缓慢，忽略能量的慢，忽略能量的辐射；射；c)c)没有没有动能，只考能，只考虑位能。位能。下 页上 页电荷增量荷增量设将将dq电荷荷移至移至电场中外源做功中外源做功推广推广2 2：若是若是带电导体体系系统，静，静电能量能量为推广推广1 1：若是若是连续分布的分布的电荷，荷，下 页上 页注意上式建立在静上式建立在静电场是位是位场的基的基础上，只上，只适用于静适用于静电场。推广推广3 3：若是若是 n 个点个点电荷的系荷的系统，静，静电能量能量为下 页上 页只含互有能只含互有能固有能和相互作用能固有能和相互作用能固有能固有能把某一区域的把某一区域的电荷从无荷从无穷远聚聚拢到到给定分布所需的功。定分布所需的功。互有能互有能把各区域的把各区域的电荷放置到各自荷放置到各自给定位定位置所需的功。置所需的功。设空空间有两个有两个电荷分布区荷分布区下 页上 页 说明要把一定量的明要把一定量的电荷荷压缩到几何上的一个到几何上的一个点需要克服无点需要克服无穷大的斥力，需要作无大的斥力，需要作无穷大的功。大的功。同理，同理，线电荷的固有能也荷的固有能也为无无穷大。大。对点、点、线电荷只研究互有能。荷只研究互有能。点点电荷荷q qV1 1V2 2当当 半径半径为a的球面的球面带电荷荷Q，球心放一点球心放一点电荷荷q，求静求静电能量。能量。球面球面电荷的固有能荷的固有能下 页上 页例例解解 qQ在在球面球面产生的生的电位位Q在在球心建立的球心建立的电位位q在在球面球面产生的生的电位位把点把点电荷从荷从 移至球面移至球面中心所需作中心所需作的功的功下 页上 页 用用场量表示静量表示静电能量能量能量能量矢量衡等式矢量衡等式若用公式若用公式计算算定定义能量密度能量密度下 页上 页各向同性均匀媒各向同性均匀媒质适用适用于静于静电场和和时变场因因 当当 时，面，面积分分为零，故零，故 半径半径为a a的球面的球面带面面电荷荷Q，球心放一点球心放一点电荷荷q，求静求静电能量。能量。下 页上 页例例解解 q点点电荷的固有能荷的固有能下 页上 页 试求平板求平板电容器的静容器的静电能量。能量。例例 平行板电容器解解带电导体体系系统电容能量容能量的的计算式算式 试求真空中体求真空中体电荷密度荷密度为的介的介质球球产生的静生的静电能量。能量。由由场量求静量求静电能量能量下 页上 页例例解一解一 由由场源求静源求静电能量能量球内任一点的球内任一点的电位位下 页上 页解二解二 原子可看成由原子可看成由带正正电荷荷q的原子核被体的原子核被体电荷分荷分布的布的负电荷云荷云-q包包围，试求原子求原子结合能。合能。前例中当前例中当 时下 页上 页 原子结构模型例例解解2.2.静静电力力(Electrostatic Force)下 页上 页1 1）根据根据电场定定义计算静算静电力力注意上式使用的条件只适用于均匀介只适用于均匀介质式中的式中的电场E不包括不包括dq本身的本身的贡献献矢量矢量积分分 多导体系统(K 打开)虚位移法虚位移法下 页上 页2 2）根据根据电场能量能量计算静算静电力力 在多在多导体系体系统中，中，导体体p发生位移生位移dg后后,系系统发生的功能生的功能过程程为：外源提供能量外源提供能量 =静静电能量增量能量增量+电场力所作功力所作功常常电荷系荷系统（K打开）打开）取消外源后，取消外源后，电场力做功必力做功必须靠减靠减少少电场中静中静电能量来能量来实现。下 页上 页表明常常电位系位系统（K 闭合）合）多导体系统(K 闭合)p外源提供能量的增量外源提供能量的增量 外源提供的能量有一半用于静外源提供的能量有一半用于静电能量能量的增量，另一半用于的增量，另一半用于电场力做功。力做功。下 页上 页表明注意 dg广广义坐坐标：距离、面距离、面积、体、体积、角度。、角度。广广义力力广广义坐坐标 =功功 广广义坐坐标 距距 离离 面面 积 体体 积 角角 度度 广广义力力 机械力机械力 表面表面张力力 压强 转矩矩 单 位位 N N/m N/m2 N m f广广义力力：企企图改改变某一个广某一个广义坐坐标的力。的力。下 页上 页满足足对应关系：关系：广广义力是代数量力是代数量 ，根据，根据 f 的的“”号判断力的号判断力的方向。广方向。广义力的正方向力的正方向为广广义坐坐标增加的方向。增加的方向。常常电位系位系统试求求图示平行板示平行板电容器两极板容器两极板间的的电场力。力。平行板电容器取取d 为广广义坐坐标（相（相对位置坐位置坐标）负号表示号表示电场力的方向企力的方向企图使使 广广义坐坐标d 减小，即减小，即电容增大。容增大。下 页上 页例例解一解一常常电荷系荷系统当当满足所足所设条件，两种条件，两种计算算结果相同果相同下 页上 页解二解二 图示一球形薄膜示一球形薄膜带电表面，半径表面，半径为a，其上，其上带电荷荷为q，试求薄膜求薄膜单位面位面积所受的所受的电场力。力。取体取体积为广广义坐坐标f 的方向是广的方向是广义坐坐标V 增加的方向，表增加的方向，表现为膨膨胀力。力。N/m2下 页上 页 球形薄膜例例解解下 页上 页根据根据库仑定律，点定律，点电荷荷q q处的的电场应用虚位移法用虚位移法图示示为半径半径为R、接、接电压U0的的导体球位于点体球位于点电荷荷q的的电场中中，试求求导体球所受的体球所受的电场力。力。应用用镜像法像法例例解解Q下 页上 页 沿广沿广义坐坐标增大的方向增大的方向 设为常常电荷系荷系统 设为常常电位系位系统 虚位移法的虚位移法的结果不正确，因果不正确，因为系系统不属于常不属于常电位系位系统，也不是常，也不是常电荷系荷系统。3 3）根据法拉第根据法拉第观点点计算静算静电力力（Farades review）法拉第法拉第认为，在，在场中沿通量中沿通量线作一通量管，沿其作一通量管，沿其轴向受到向受到电场的的纵张力，垂直于力，垂直于轴线方向受到方向受到侧压力力，纵张力和力和侧压力大小相等，力大小相等，为：下 页上 页 电位移管受力情况 物体受力情况下 页上 页 如平板如平板电容器极板受力大小：容器极板受力大小：极板极板单位面位面积受力大小：受力大小：应用法拉第用法拉第对电场清晰和形象化的描清晰和形象化的描述可以定性的分析述可以定性的分析判断判断带电系系统受力受力情况。情况。法拉第观点的作用下 页上 页应用法拉第用法拉第观点可以点可以对一些一些电场力力问题进行定行定量的量的计算。算。计算平板算平板电容器中介容器中介质分界面上的分界面上的压强。图(a)若 ，则 力由 指向 。下 页上 页(a)(b)例例解解图(b)分界面受力分界面受力总是从是从 大的介大的介质指向指向 小的介小的介质。若 ，则 力由 指向 。(b)下 页上 页结论当有当有电场垂直或平行于两种介垂直或平行于两种介质分界面分界面时，作，作用在分界面用在分界面处的力的力总是和界面垂直。是和界面垂直。