1.1复数的表示及其运算.ppt

第一节第一节 复数及其表示复数及其表示第二节第二节 复变函数复变函数一、复数的概念及其表示一、复数的概念及其表示二、复数的运算二、复数的运算三、复球面及无穷大三、复球面及无穷大小结与思考小结与思考一、一、复数复数的概念及其表示的概念及其表示1.虚数单位虚数单位:对虚数单位的规定对虚数单位的规定:“复合复合”而成的数而成的数(3)(3)虚数单位的特性虚数单位的特性:2.复数的代数形式的定义复数的代数形式的定义:i:虚数单位虚数单位虚部虚部(Imaginary)记做：记做：Im(z)=y实部（实部（Real）记做：记做：Re(z)=x x3.3.两复数相等两复数相等:当且仅当当且仅当它们的实部和虚部分别相等它们的实部和虚部分别相等.即即则则说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的大小大小,如果不全是实数如果不全是实数,就不能比较大小就不能比较大小,即即复数不能比较大小复数不能比较大小!4、复数的几何表示复数的几何表示(1)复数的点表示及复平面复数的点表示及复平面实轴虚轴显然成立：显然成立：（2）复数的向量表示）复数的向量表示（）复数的模）复数的模（）复数的辐角复数的辐角(argument)说明说明辐角不确定辐角不确定.q q辐角主值辐角主值的定义的定义:（）复数模的三角不等式复数模的三角不等式几何意义如图：几何意义如图：利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成5、复数的三角表示法复数的三角表示法利用利用Euler公式公式6、复数的指数表示法复数的指数表示法欧拉资料欧拉资料小结小结 本课学习了复数的有关概念、性质、四种表本课学习了复数的有关概念、性质、四种表示形式及相关的运算示形式及相关的运算.重点掌握复数的重点掌握复数的四种表示四种表示形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形式），式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.例例 1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解参考答案参考答案由此可见由此可见,在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.思考题思考题1复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？思考题思考题2参考答案参考答案否否.它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定.是否任意复数都有辐角是否任意复数都有辐角?二、复数的运算二、复数的运算1）两复数的和差两复数的和差:2）两复数的积两复数的积:3）两复数的商）两复数的商:说明：复数的四则运算规律与实数的四则运算规律说明：复数的四则运算规律与实数的四则运算规律保持一致保持一致1、复数的代数形式的四则运算、复数的代数形式的四则运算 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数,2.2.共轭复数共轭复数共轭复数的几何性质：共轭复数的几何性质：共轭复数的运算性质共轭复数的运算性质:3 3、复数的三角形式和指数形式的乘除法、复数的三角形式和指数形式的乘除法从而从而1）乘法）乘法）三角形式的乘法）三角形式的乘法两复数相乘就是把模相乘两复数相乘就是把模相乘,辐角相加辐角相加.从几何上看从几何上看,两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为说明说明由于辐角的多值性由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值对于左端的任一值,右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应.由此可将结论推广到由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况个复数相乘的情况:）指数形式的乘法）指数形式的乘法从而从而2）除法）除法）三角形式的除法）三角形式的除法）指数形式的除法）指数形式的除法4、复数的幂与方根、复数的幂与方根1）n次幂次幂:棣莫佛公式棣莫佛公式棣莫佛资料棣莫佛资料2 2）棣莫佛公式）棣莫佛公式可以推得可以推得:3）n 次次方根方根从几何上看从几何上看,推导过程如下：推导过程如下：当当 k 以其他整数值代入时以其他整数值代入时,这些根又重复出现这些根又重复出现.小结小结 本课学习了复数的本课学习了复数的三种表示形式三种表示形式对应的运算对应的运算.熟练掌握复数的各种运算，一般要区分出复数的熟练掌握复数的各种运算，一般要区分出复数的实部与虚部时，用代数形式比较方便实部与虚部时，用代数形式比较方便.对于复数的乘、除、幂、开方运算，一般情况下以三对于复数的乘、除、幂、开方运算，一般情况下以三角形式、指数形式来运算比较方便角形式、指数形式来运算比较方便.在运算时学会灵活选用相关形式，力求使得计算最为在运算时学会灵活选用相关形式，力求使得计算最为简便简便.常用公式：常用公式：棣莫佛公式棣莫佛公式n次方根的公式次方根的公式Euler公式公式例例2 2解解故故例例3 3解解即即三、复球面及无穷大三、复球面及无穷大 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面我们用球面上的点来表示复数上的点来表示复数.球面上的北极球面上的北极 N N 不能对应复平面上的定不能对应复平面上的定点，但点，但球面上的点离北极球面上的点离北极 N N 越近，它所表示越近，它所表示的复数的模越大的复数的模越大.我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上的无穷远点相对应与复平面上的无穷远点相对应,记作记作 .因而因而,球面上的北极球面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.包括无穷远点的复平面称为包括无穷远点的复平面称为扩充复平面扩充复平面.不包括无穷远点的复平面称为有限不包括无穷远点的复平面称为有限复平面复平面,或简称复平面或简称复平面.引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来点明显地表示出来.球面上的每一个点与扩充复平面的每一个球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应点构成了一一对应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.对于复数对于复数的无穷远点而言，它的实部，虚部的无穷远点而言，它的实部，虚部,辐角等概念均无意义辐角等概念均无意义,规定规定它的模为正无穷大它的模为正无穷大.1 1、将下列复数化为三角表示式与指数表示式、将下列复数化为三角表示式与指数表示式:作业：作业：2 2、p12 1.2(1)p12 1.2(1)、(4)(4)1.3 1.3