二维磁流体方程的高分辨率旋转通量格式.pdf

浙江大学学报（理学版）Journal of Zhejiang University（Science Edition）http：/ 51 卷第 1 期2024 年 1月Vol.51 No.1Jan.2024 二维磁流体方程的高分辨率旋转通量格式郑素佩，翟梦情*，李琦，建芒芒（长安大学 理学院，陕西 西安 710064）摘要：若待解方程满足旋转不变性，则可通过旋转通量法有效消除近似 Riemann求解器的激波不稳定现象，抑制非物理现象的产生。针对二维理想磁流体（MHD）方程和浅水波磁流体（SWMHD）方程，构造了通量函数的类旋转矩阵，给出了方程的旋转不变性证明；根据该性质对控制方程做类一维处理，推导了方程的半离散旋转通量格式；利用通量限制器，将熵稳定通量和反扩散通量进行加权组合，得到能够自适应调整耗散量的高分辨率旋转通量格式。数值实验表明，此格式能精确捕捉解的结构，分辨率高、鲁棒性强，且易向高维推广。关键词：理想磁流体方程；浅水波磁流体方程；旋转不变性；高分辨率熵稳定通量中图分类号：O 241.82 文献标志码：A 文章编号：10089497（2024）0102912ZHENG Supei,ZHAI Mengqing,LI Qi,JIAN Mangmang（School of Science，Changan University，Xian 710064，China）High resolution rotated flux scheme for two-dimensional magnetohydrodynamics equations.Journal of Zhejiang University(Science Edition),2024,51(1):2940,63Abstract:The rotated flux method could be used to effectively eliminate the shock instability of the approximate Riemann solver and suppress the generation of non-physical phenomenon if the equations to be solved meet the rotational invariance.For the 2D ideal magnetohydrodynamics(MHD)and shallow water magnetohydrodynamics(SWMHD)equations,the rotation-like matrix of flux function was constructed,and the corresponding rotational invariance theorem was given with proof,which was then used to deal with the governing equations applying quasi-1D method to derive the semi-discrete rotated flux scheme.Combining entropy stable flux and anti-diffusive flux by a flux limiter,a new flux that can adaptively adjust the dissipation term was obtained.Numerical experiments show that the new scheme can accurately capture the structure of solution,has high resolution,strong robustness and can be easily extended to higher dimensions.Key Words:ideal magnetohydrodynamics equations;shallow water magnetohydrodynamics equations;rotational invariance;high resolution entropy stable flux磁流体力学是将经典流体力学和电动力学相结合研究导电流体和电磁场相互作用的学科，在等离子体物理学、天体物理以及流动控制等领域有广泛应用。较为经典的数学模型有理想磁流体（MHD）方程和浅水波磁流体（SWMHD）方程等，当满足适当条件时，在垂直方向对三维理想 MHD 方程进行积分，即可获得 SWMHD 方程。鉴于这两类方程均具有类双曲型特点，考虑将双曲型方程的数值求解格式应用于此两类方程。近年来，此类推广已有一系列成果1-7，其中不乏熵稳定格式的推广。熵稳定格式是从物理概念出发，较熵守恒格式含有更多黏性8，其构造理念符合间断位置产生熵增的规律，因DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2024.01.005收稿日期：20220927；修回日期：20230227；接受日期：20230306；出版日期：20240125.基金项目：国家自然科学基金资助项目（11971075；12101073）；陕西省自然科学基金青年项目（2020JQ-338）.作者简介：郑素佩（1978），ORCID：https：/orcid.org/0000-0003-2502-6998，女，博士，副教授，主要从事微分方程数值算法研究.*通信作者，ORCID：https：/orcid.org/0000-0001-6184-6788，E-mail：.浙 江 大 学 学 报（理学版）第 51 卷而能够有效避免伪振荡的发生，得到唯一且具有物理 意 义 的 解9。2016 年，WINTERS 等4，6以 文献 10 为基础，针对此两种方程构造了一类熵稳定数值通量格式，将熵相关理论推广到 MHD 方程的数值求解，但该通量格式未能实现对间断的高精度捕捉。郑素佩等11-12基于高阶重构陆续得到多种高分辨率熵稳定格式，将求解精度提升到五阶。2021年，DUAN 等5提出的高阶精确熵稳定有限差分格式，成功求解了 SWMHD 方程，验证了熵稳定格式具有良好的性能。沈亚玲等13引入限制器机制构造了一类求解理想 MHD 方程的高分辨率熵相容格式，该格式能合理控制耗散，有效改善了抹平现象。针对二维问题，即使常用的 Roe 近似 Riemann求解器也可能出现包括红斑现象在内的非物理问题14，造成出现此现象的主要原因是近似 Riemann求解器存在激波不稳定性问题，该问题可通过旋转通量得以改善或解决14。旋转通量法，尝试将边界通量分解为 2 个正交分量，利用通量函数的旋转不变性对二维方程做类一维处理，将其简化为一维形式，而前提条件是待解方程必须满足旋转不变性。DAVID 等15验证了旋转 Riemann 求解器在多个迎风角度下的求解效果与高阶 MUSCL 格式相当。NISHIKAWA 等16基于 Riemann 求解器、结合 Roe格式和 HLL格式得到一种混合格式，该混合格式能自动切换至少波（HLL）或全波（Roe）求解器，在抑制红斑现象的同时避免过度耗散。ZHANG 等17利用加权压强函数定义旋转角度，实现对耗散影响的自适应调整，从而有效消除了由动量扰动造成的激波不稳定。郑素佩等18-19引入了 HLL 数值通量，构造了求解 Euler方程和浅水波方程的混合旋转通量格式，该格式间断捕捉能力好，分辨率高。鉴于此，本文重点研究求解理想 MHD 方程和SWMHD 方程的旋转通量法，给出类旋转矩阵以及对应的旋转不变性命题，引入通量限制器和反扩散通量构造高分辨率旋转通量格式，最后用数值算例验证了所构造的高分辨率旋转通量格式的性能。1控制方程二维理想 MHD 方程由流体力学中的 Navier-Stokes 方程和电动力学中的 Maxwell 方程耦合而成，其守恒律形式4为qt+f(q)x+g(q)y=0，（1）其中，q=，u，v，w，e，B1，B2，B3T，(x，y)为空间坐标，t为时间，f(q)=uu2+p+12B2-B21uv-B1B2uw-B1B3u()e+p+12B2-B1(u B)0uB2-vB1uB3-wB1，g(q)=vuv-B1B2v2+p+12B2-B22vw-B2B3v()e+p+12B2-B2(u B)vB1-uB20vB3-wB2，其中，u=(u，v，w)T为流速度矢量，B=(B1，B2，B3)T为磁场强度矢量，为密度，p为压力，与总能量e满足关系式p=(-1)(e-2u2-12B2)，（2）其中，为比热比，特征系统参见文献 20。二维 SWMHD 方程由浅水波方程和 Maxwell方程组合而成6，在不可压缩性、流动变量二维变化以及z方向磁流体静力平衡假设下，在z方向对三维理想 MHD 方程积分，即可得到二维 SWMHD 方程的守恒律形式（同式（1），其中，q=h，hu，hv，hB1，hB2T，f(q)=huhu2+12gh2-hB21huv-hB1B20huB2-hvB1，g(q)=hvhuv-hB1B2hv2+12gh2-hB22hvB1-huB20，30郑素佩，等：二维磁流体方程的高分辨率旋转通量格式第 1期h为水深，g为恒定重力加速度6。此外，MHD 方程在磁场中还需满足无散度条件（又称高斯定理）B=0，忽略此条件通常造成非线性数值不稳定，得到负压力、负密度等异常结果。在二维情况下，此条件可简化为B1x+B2y=0。（3）2两类方程的旋转不变性TORO21提出了二维 Euler 方程的旋转不变性理 论，即 对 于 任 意 旋 转 角和 守 恒 变 量U=，u，v，E T，方程均具有旋转不变特性，满足cos f(U)+sin g(U)=T-1f(TU)，（4）其中，f(U)和g(U)分别为 x和 y方向的通量函数，T=T()为旋转矩阵，T-1为T的逆，有T=A1000A2000A3，（5）其中，A1=A3=1，A2=cos sin-sin cos。受此理论启发，假设二维理想 MHD 方程的类旋转矩阵TIMHD为8 8阶分块对角矩阵。不难发现，三角函数子块A2位于旋转矩阵T的第 23行和第 23 列，与变量U的速度相应行（第 23 行）对应。由变量q的表达式，可知类旋转矩阵TIMHD的第23 行、第 23 列位置应为子块A2。考虑流速度u和磁场强度B均为矢量，不妨借鉴子块A2与速度分量的关系，将类旋转矩阵中与磁场强度分量B1、B2对应的位置记为子块A2，这样，类旋转矩阵为TIMHD=1cos sin-sin cos 11cos sin-sin cos 1。（6）下文将以式（6）为控制方程的类旋转矩阵，给出二维理想 MHD方程的旋转不变性定理及证明。定理 1对于任意旋转角和变量q，二维理想MHD方程的通量函数均满足旋转不变性，即cos f（q）+sin g（q）=T-1IMHDf(TIMHDq)。（7）证明令 q=TIMHDq=，u，v，w，e，B1，B2，B3T，则有u=u cos +v sin，v=-u sin +v cos，B1=B1cos +B2sin，B2=-B1sin +B2cos，=，e=e，w=w，B3=B3，易得p=p，B2=B2，u2=u2，uB=uB。因此，式（7）右端T-1IMHDf(TIMHDq)=u()u2+p+12B2-B21cos-(uv-B1B2)sin()u2+p+12B2-B21sin+(uv-B1B2)cos uw-B1B3u()e+p+12B2-B1()uB-(uB2-vB1)sin(uB2-vB1)cos uB3-wB1。分析可知，上述列向量第 1行u=(u cos +v sin )=u cos +v sin。第 2行的(u2+p+B2/2-B21)cos =(u cos +v sin )2+p+B2/2-(B1cos +B2sin )2 cos =u2cos3+v2sin2 cos +2uv sin cos2+(p+B2/2)cos -B12cos3-B22sin2 cos -2B1B2sin cos2，(uv-B1B2)sin =(u cos +v sin )(-u sin +v cos )-(B1cos +B2sin )(-B1sin +B2cos )sin =-u2sin2 cos +v2sin2 cos -uv sin3+uv sin cos2+B12sin2 cos -B22sin2 cos +B1B2sin3-B1B2sin cos2，整合后可得31浙 江 大 学 学 报（理学版）第 51 卷(u2+p+B2/2-B21)cos -(uv-B1B2)sin =u2cos +uv sin +(p+B2/2)cos -B21cos -B1B2sin =(u2+p+B2/2-B21)cos +(uv-B1B2)sin。第 4行uw-B1B3=w(u cos +v sin )-B3(B1cos +B2sin )=uw cos +vw sin -B1B3cos -B2B3sin =(uw-B1B3)cos +(vw-B2B3)sin。至此，列向量第 1、第 2、第 4 行的等式关系分别得证。继续验证剩余行，可得旋转不变性关系式恒成立。证毕。类似地，给出二维 SWMHD 方程的旋转不变性定理，此证略。定 理 2 对 于 任 意 旋 转 角和 变 量q，二 维SWMHD方程的通量函数均具有旋转不变性，即cos f（q）+sin g（q）=T-1SWMHDf(TSWMHDq)，（8）其中，类旋转矩阵TSWMHD=1cos sin-sin cos cos sin-sin cos。（9）3数值离散利用旋转不变性式（8）对控制方程离散，嵌入高分辨率通量得到空间离散格式。时间方向采用三阶强稳定 Runge-Kutta方法，详见文献 22。3.1空间半离散格式将计算区域离散为有限个四边形单元，以任一单元为控制体V，在V上对控制方程积分：ddtVqdV+Ah n dA=0，（10）其中，A为V的边界，由 4个线段AsAs+1（s=1，2，3，4；A5=A1）构成，h=(f，g)，n 为边界单位外法向量，边界总通量为Ah n dA=s=14AsAs+1h nsdA。（11）定义s为x轴正向与界面外法向量ns的夹角，有ns=(cos s，sin s)，则式（11）可改写为s=14AsAs+1h nsdA=s=14AsAs+1 cos sf+sin sg dA。（12）将式（10）左端第 1项看作控制体V上q的平均值的时间变化率，有ddtVqdV=|V|ddtq。（13）将式（11）式（13）代入式（10），可得ddtq=-1|V|s=14AsAs+1 cos sf+sin sg dA。（14）利用控制方程的旋转不变性和式（8），将式（14）转化为ddtq=-1|V|s=14AsAs+1Ts-1f(Tsq)dA，（15）右端求和项的每项可近似为AsAs+1Ts-1f(Tsq)dA LsTs-1fs，（16）其中，Ls为线段AsAs+1的长度，fs=f(Tsq)为对应的边界通量。最后将式（16）代入式（15），即可得到方程的半离散格式ddtq=-1|V|s=14LsTs-1fs。（17）3.2高分辨率熵稳定通量对二维 MHD方程，现有熵稳定通量函数为fES=fEC-RxxSxRTx v x/2，gES=gEC-RyySyRTy v y/2，（18）其中，fEC，gEC分别为 x，y 方向的熵守恒通量函数，-RSRT v /2为 Roe 型耗散项23，R为右特征向量矩阵，为以特征值绝对值为对角元素的对角矩阵，S为对角放缩矩阵，RT为R的转置，v为熵变量，具体表达式可参见文献 4，6。二维理想 MHD 方程熵稳定通量中的熵守恒通量函数fEC和gEC分别为fEC=u1p1+u21+12（B1+B2+B3）-B1u1v1-B1B2u1w1-B1B3u1p2-1+u12()u21+v21+w21+u2（B22+B23）-B1（v2B2+w2B3）0u2B2-v2B1u2B3-w2B1，（19）32郑素佩，等：二维磁流体方程的高分辨率旋转通量格式第 1期gEC=v1u1v1-B1B2p1+v21+12（B1+B2+B3）-B2v1w1-B2B3v1p2-1+v12()u21+v21+w21+v2（B21+B23）-B2（u2B1+w2B3）v2B1-u2B20v2B3-w2B2。（20）采用 Ismail均值公式10=z1zln5，p1=z5z1，p2=+12zln5zln1+-12z5z1，u1=z2z1，v1=z3z1，w1=z4z1，u2=z1z2z12，v2=z1z3z12，w2=z1z4z12，B1=z6，B2=z7，B3=z8，B1=z62，B2=z72，B3=z82，B1B2=z6z7，B1B3=z6z8，B2B3=z7z8，（21）其中，参数向量4z=z1，z2，z8T=p，pu，pv，pw，p，B1，B2，B3 T。（22）二维 SWMHD方程的熵守恒通量函数分别为fEC=huhu2+12gh2-hB1B1huv-hB1B2huB1-hB1uhuB2-hB1v，（23）gEC=hvhuv-hB2B1hv2+12gh2-hB2B2hvB1-hB2uhvB2-hB2v。（24）然而，熵稳定数值通量在间断位置的过度耗散导致出现不可忽略的抹平现象，为提高格式的分辨率，考虑引入通量限制器。其基本思想是利用限制器函数将高阶通量与低阶通量结合，构造新的通量形式，新通量往往保留了两种通量的优点，分辨率高且鲁棒性强。下面以x方向上的通量f为例，构造新的数值通量形式。分别取fEC，fES为高阶、低阶数值通量，利用通量限制器函数对两者进行组合，得到高分辨率熵稳定通量fESL=fES+(fEC-fES)=fEC-(I-)(fEC-fES)=fEC-12Rxx(I-)SxRTx v x，（25）其中，I为单位矩阵，=()为对角矩阵，()=diag(1()，2()，k()，k()表示第k个方程 的 限 制 器 函 数，光 滑 度 指 标 向 量=1，2，k，在节点(xi+1/2，yj+1/2)处，有ki+1/2，j+1/2=(-)k(+)k=ki-1/2，j+1/2/ki+1/2，j+1/2，ki+1/2，j+1/2 0，ki+3/2，j+1/2/ki+1/2，j+1/2，ki+1/2，j+1/2 0，（26）其中，ki+1/2，j+1/2为控制方程 Jacobi 矩阵对应的第k个特征值，ki+1/2，j+1/2为i+1/2，j+1/2的第k个分量，有i+1/2，j+1/2=Li+1/2，j+1/2i+1/2，j+1/2q，Li+1/2，j+1/2为对应的左特征向量矩阵。显然，可将通量看作低阶通量fES与校正项(fEC-fES)的组合，且该校正项的添加在一定程度上抵消了低阶格式的部分耗散量，因此又称校正项为反扩散通量。通量限制器函数种类繁多，本文选用 Minmod限制器24，形式为M()=max0，min ，1=min mod(，1)。（27）注 1x方向有变量差分算子=()i+1，j-()i，j，算术平均算子=()i+1，j+()i，j/2，对数平均算子()ln=()i+1，j-()i，j/ln()i+1，j)-ln()i，j)。将33浙 江 大 学 学 报（理学版）第 51 卷()i+1，j替换为()i，j+1，即可得到y方向的算子表达式。注 2对数平均算子()ln存在分母为零的情形，可参考文献 10 附录 B的做法处理。3.3高分辨率旋转通量格式将高分辨率熵稳定数值通量嵌入半离散格式，即可得到熵稳定旋转通量格式。为进一步提高格式的分辨率，在每个时间层上对单元均值qi+1/2，j+1/2进行二阶重构25，将重构所得值选为单元界面的左右状态，数值通量函数由fi，j+1/2=f(qi-1/2，j+1/2，qi+1/2，j+1/2)转化为fi，j+1/2=f(qi-1/2，j+1/2，qi+1/2，j+1/2)，其中，qi 1/2，j+1/2=qi 1/2，j+1/2+14(xi，j+1+xi，j-xi 1，j+1-xi 1，j)Si 1/2，j+1/2，Si+1/2，j+1/2为单元均值qi+1/2，j+1/2的偏导数qx的近似值，有Si+1/2，j+1/2=sign(Si+1/2，j+1/2)|S+i+1/2，j+1/2S-i+1/2，j+1/2|S+i+1/2，j+1/2+|S-i+1/2，j+1/2，其中，sign(Si+1/2，j+1/2)=sign(S+i+1/2，j+1/2)+sign(S-i+1/2，j+1/2)，S+i+1/2，j+1/2=4(qi+3/2，j+1/2-qi+1/2，j+1/2)(xi+2，j+1+xi+2，j-xi，j+1-xi，j)，S-i+1/2，j+1/2=4(qi+1/2，j+1/2-qi-1/2，j+1/2)(xi+1，j+1+xi+1，j-xi-1，j+1-xi-1，j)。4数值实验用高分辨率旋转通量格式进行数值求解，并与非旋转熵稳定格式的数值结果进行比较，以验证算法的性能。所讨论的算例均采用150 150网格，courant friedrichs-leay 条 件 数 取 0.1。鉴 于 理 想MHD 方程变量较多，文中仅展示其部分变量（如压力、密度、Mach 数以及磁场强度等），并给出总熵随时间的变化图，包括熵稳定（ES）格式和高分辨率旋转通量（ESLR）格式。4.1二维 Riemann问题选 定 计 算 区 域=0，2 0，2，将 其 划 分为 4 个 子 区 域，I：(1，2)(1，2)，II：(0，1)(1，2)，III：(0，1)(0，1)，IV：(1，2)(0，1)，初始时刻各变量的取值见表 1。采用 Neumann 边界条件，得到T=0.10 时刻二维 Riemann 问题 2 种格式在区域内的压力和密度，见图 1 和图 2。分析可知，随着时间的推进，子区域I和II之间有稀疏波产生，II和III、III和IV之间则有激波产生。可以看到，熵稳定格式（图 1）有效抑制了伪振荡的产生，能够准确捕捉解的结构。不足之处在于间断位置过渡带宽度较大，分辨率较低。高分辨率旋转通量格式（图 2）保留了熵稳定格式的优点，且耗散量低于熵稳定格式（图 3），从而减少了间断位置的抹平现象，过渡带明显比熵稳定格式窄，激波分辨率也得到了显著提高。4.2First Rotor问题选 择 计 算 区 域=0，1 0，1，取=1.4，r=(x-0.5)2+(y-0.5)2，u0=2，r0=0.1，r1=表 1二维 Riemann问题初始条件Table 1The initial condition for 2D Riemann problem变量uvweB1B2B3区域I0.930 81.455 7-0.463 30.057 55.083 80.350 10.983 00.350 0II1.030 41.577 4-1.045 5-0.101 65.781 30.350 10.507 80.157 6III1.000 01.750 0-1.000 00.000 06.000 00.564 20.507 80.253 9IV1.888 70.233 4-1.742 20.073 312.999 00.564 20.983 00.491 5图 1二维 Riemann问题熵稳定格式的数值结果Fig.1Numerical results of ES scheme for 2D Riemann problem34郑素佩，等：二维磁流体方程的高分辨率旋转通量格式第 1期0.115，初始条件有=10，()u，v=u0r0(-y-0.5，x-0.5)，r r0，=1+9f，()u，v=fu0r(-y-0.5，x-0.5)，f=r1-rr1-r0，r0 r r1，w=0，p=1，B=(5/4，0，0)T，终 止 时 间T=0.15，Ma=u/a，a=p/。区域中心为一个稠密的、快速旋转的圆柱体，周围区域则是静止的低密度流体，有初始条件均匀的磁场穿过。本文选用周期性边界条件，计算 First Rotor 问题 2 种格式在区域内的压力、密度、磁场强度和 Mach数，分别如图 4和图 5所示。可以看到，熵稳定格式的数值结果（图图 4First Rotor问题熵稳定格式的数值结果Fig.4Numerical results of ES scheme for First Rotor problem图 3二维 Riemann问题总熵随时间的变化Fig.3Change of total entropy with time for 2D Riemann problem图 2二维 Riemann问题高分辨率旋转通量格式的数值结果Fig.2Numerical results of ESLR scheme for 2D Riemann problem35浙 江 大 学 学 报（理学版）第 51 卷4）整体比较光滑，无振荡产生，但存在一定的抹平现象，涡流边界较为模糊。高分辨率旋转通量格式的数值结果（图 5）较熵稳定格式有明显改进，耗散量更少（图 6），对间断的捕捉更锐利，边界更清晰，进一步说明了高分辨率旋转通量格式具有良好的性能。4.3爆炸波问题选 择 计 算 区 域=0，1 0，1，=5 3，令r=(x-0.5)2+(y-0.5)2，当r 0.1时，p=0.1。其余初始条件有=1，B=(1/2，1/2，0)T，u=0，v=0，w=0，终止时间T=0.15。初始时刻，在圆心为(0.5，0.5)，半径为0.1的圆内压强远大于周围区域，导致一个极强的爆炸波快速向外传播，磁场被剧烈压缩，中心区域密度迅速下降。考虑终止时刻爆炸波并未传播到边界，因此边界形式并无过多限制，本文选用 Neumann边界条件。图 7 和图 8 分别给出了终止时刻爆炸波问题 2种格式在计算区域内的压力、密度、磁场强度和Mach数。不难发现，熵稳定格式在间断位置仍存在不可忽略的抹平现象（图 7），而旋转不变性以及通量限制器的引入使得此现象得到很大改善（图 8），求解效果远优于熵稳定格式，分辨率的提高尤为显著（图 9）。4.4Orszag-Tang-like湍流问题该问题包含 MHD 湍流的许多重要特征，涉及涡旋系统演化过程中产生的冲击波之间的相互作用。计算区域=0，2 0，2，初始条件为h=2，u=-sin y，v=sin x，B1=-sin y，B2=sin 2x，其中，=5/3，周期边界，T=2.00时刻的计算结果见图 10 和图 11。对比分析可知，2 种格式均能精确求解此问题，但由于终止时刻间断与复杂流体的相图 5First Rotor问题高分辨率旋转通量格式的数值结果Fig.5Numerical results of ESLR scheme for First Rotor problem图 6First Rotor 问题总熵随时间的变化Fig.6Change of total entropy with time for First Rotor problem36郑素佩，等：二维磁流体方程的高分辨率旋转通量格式第 1期互作用较为明显，高分辨率旋转通量格式的求解效果远超熵稳定格式（图 10）。此外，由总熵变化曲线可知，高分辨率旋转通量格式的熵变化量明显低于熵稳定格式（图 11）。前 1 s 内，区域无间断或间断较弱，由限制器机制，高分辨率旋转通量格式所含通量在该时段转化为熵守恒形式，熵增仅出现在强间断形成之后。因此，高分辨率旋转通量格式更符合物理规律，具有更强的稳定性。图 7爆炸波问题熵稳定格式的数值结果Fig.7Numerical results of ES scheme for blast wave problem图 8爆炸波问题高分辨率旋转通量格式的数值结果Fig.8Numerical results of ESLR scheme for blast wave problem37浙 江 大 学 学 报（理学版）第 51 卷4.52种分离的传导流体问题计算区域=-1，1-1，1，包含以(0，0)为 圆 心、r0=0.3为 半 径 的 圆，取g=1，记r=x2+y2，初始条件为 h，u，v，B1，B2T=10，0，0，0.1，0 T，r r0，1，0，0，1，0 T，r r0，采用 Neumann 边界，终止时间T=0.15，该时刻区域内的总熵变化以及高度、速度、磁场强度分别如图12和图 13所示。可知，高分辨率旋转通量格式在保留鲁棒性的同时，分辨率、激波捕捉能力等均有一定提 升，能 有 效 识 别 流 体 中 相 互 作 用 形 成 的 特 定间断。4.6Rotor-like问题此问题是理想 MHD 方程中典型转子问题的推广，在计算区域=-1，1-1，1，取g=1，r=x2+y2，r0=0.1，初始条件为图 11Orszag-Tang-like 湍流问题总熵随时间的变化Fig.11Change of total entropy with time for Orszag-Tang-like turbulence problem图 9爆炸波问题总熵随时间的变化Fig.9Change of total entropy with time for blast wave problem图 10Orszag-Tang-like湍流问题的数值结果Fig.10Numerical results of Orszag-Tang-like turbulence problem 注 左为熵稳定格式，右为高分辨率旋转通量格式，图 13、图 14同Note Left is ES scheme，right is ESLR scheme，Fig.13 and Fig.14 are the same.图 122种分离的传导流体问题总熵随时间的变化Fig.12Change of total entropy with time for two separated conducting fluids problem38郑素佩，等：二维磁流体方程的高分辨率旋转通量格式第 1期 h，u，v，B1，B2T=10，-y，x，0.1，0 T，r r0，1，0，0，1，0 T，r r0，选用流出边界，终止时刻T=0.20。区域内高度、速度等数值结果以及总熵变化分别如图 14 和图 15 所示。与前文若干算例类似，高分辨率旋转通量格式表现出更好的间断捕捉能力，数值结果几乎等同于文献 5 的格式在400 400网格上的结果。5结 论证明了理想 MHD方程和 SWMHD方程通量函数的旋转不变性，利用通量限制器构造了针对 2 类MHD 方程的高分辨率旋转通量格式。数值实验表明，旋转不变性以及通量限制器的引入使得格式的性能大幅提升。高分辨率旋转通量格式保留了熵稳图 14Rotor-like问题的数值结果Fig.14Numerical results of Rotor-like problem图 132种分离的传导流体问题的数值结果Fig.13Numerical results of two separated conducting fluids problem图 15Rotor-like问题总熵随时间的变化Fig.15Change of total entropy with time for Rotor-like problem39浙 江 大 学 学 报（理学版）第 51 卷定格式的特性，减少了数值耗散，消除了激波不稳定性，对解结构（特别是激波）的捕捉更为锐利。后续可进一步引入加权压强函数或加权密度函数，实现旋转角的自适应定义，也可从通量限制器角度开展研究，以期获得更高的分辨率。参考文献（References）：1XU X，GAO Z M，DAI Z H.A 3D staggered Lagrangi-an scheme for ideal magnetohydrodynamics on unstr-uctured meshesJ.International 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