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第三章 完全转动群
复习：
正当转动矩阵为

可以验证满足detR=1，

用欧拉角表示的正当转动矩阵

可以验证

三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。记作SO(3).
三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，
或称为三维转动反演群。
记作O(3).

§3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示
函数变换算符PR
（3.2-5）
（3.2-18）
下面构造SO(3)群的维的表示：
一定的个球谐函数，构成一个维的完备的表示空间

表示的特征标：

得到第m列的表示矩阵元
（3.2-28）
表示矩阵为

则第个表示中，转角为α类的特征标为

特征标表（示意）

局限性：只有奇数维的不可约表示。

§3.3 二维幺模幺正群SU(2)
二维幺模幺正矩阵u
若二维矩阵，满足
（1）； （2）det u=1
则矩阵u称为二维幺模幺正矩阵。

二维幺模幺正矩阵写为
，
独立参量只有3个，与三维转动矩阵相同。

二维幺模幺正矩阵构成群，称为
二维幺模幺正群，记作SU(2).

二维幺模幺正群与完全转动群
矩阵与正当转动矩阵R之间存在对应关系。
对于 ， 即 ，
下面讨论存在一个u矩阵，同样能够对于
，得到 ，即。

（1）h矩阵

记，则
，，

用u矩阵，对h作幺正变换：

可以写成
这样就有
实现了
具体对h作幺正变换：
由 ，，得到

记，有

或写作

与二维幺模么正矩阵

对应的三维正当转动矩阵为

（2）R(u)的性质
（a）R(u)是实矩阵
（b）R(u)是转动矩阵（保长变换）
（c）detR(u) = 1
（d）例
例1 若u是对角矩阵
，
取，有

一般的与u对应的三维正当转动矩阵为
与对应的三维正当转动矩阵为

代入，得到

这是绕z轴转动α角的正当转动矩阵.

例2 若u为实矩阵

即、，代入对应的转动矩阵，得到

这是绕y轴转动β角的正当转动矩阵.

（3）SU(2)与SO(3)同态
已知
对应的u矩阵

前面是 若有u，可以得到对应的R；
这里是 对于R，可以得到对应的u.
u与R之间存在对应关系。

2对1的同态关系：

原因：

§3.4 SU(2)群的不可约表示
求SU(2)群的表示
二维幺模幺正矩阵群

群元本身就是群的一个二维表示。
记该二维表示的基为

在群元u作用下，变为

即

下面构造SU(2)群的其他维表示
基函数取为的齐次单项式：
三维表示 ，，
四维表示 ，，，
…
n+1维 ，，，…，，
n+1维表示基函数的一般形式

其中是非负整数。
改写基函数的形式：
（1）记
其中

基函数形式写为
（2）幺正表示要求增加因子

下面计算SU(2)群的各维表示矩阵

另一方面，由于

利用二项式定理 ，有

（令）

其中

这是SU(2)群2j+1维表示的矩阵元，其中

注意：

当j为整数时，，即
群元u与-u对应于同一个表示矩阵。
当j为半奇数时，.

例如：SU(2)群的群元
（对应于）
的2j+1维表示的矩阵元：

表示的性质
（1）以为基函数的表示是么正表示，即.
（2）是2j+1维的不可约表示；
取，是SU(2)群的全部不可约表示。
（3）是SU(2)群的不确实表示。

当j为整数时，，即
群元u与-u对应于同一个表示矩阵。

表示的特征标
SU(2)群的类：
具有相同本征值的矩阵，属于一类。

量子力学（复习）：
（1）幺正变换不改变算符的本征值；
（2）幺正变换不改变矩阵的迹（特征标）。

群元u的本征值方程

即

系数行列式为零，得到

即
群元u的本征值，只与有关；相同的群元具有相同的本征值，属于一类。
取

每一个实的值，确定了SU(2)群的一类；这一类具有相同的.

特征标计算：
取，，群元

计算第j个不可约表示（2j+1维）、具有相同的类的特征标。
表示矩阵元

得到第j个不可约表示的类的特征标

§3.5 双群
SO(3)群与SU(2)群同态：

其中SO(3)的群元与SU(2)的群元

用SU(2)群的不可约表示，作为SO(3)群的不可约表示。
第j个不可约表示矩阵元为

用欧拉角表示为

（3.5-2）
例：
对于绕z轴转过角的转动，上式简化为

对于，和的二维表示，有

所以，SO(3)群元的的二维表示矩阵为

计算表示的特征标：

（3.5-2）
选取绕z轴转过角的群元

表示矩阵元为
得到第j个不可约表示的类的特征标

同态关系小结：
j=半整数

j=整数

即SU(2)群与SO(3)群同态（2对1的关系），
SU(2)群的不可约表示是SO(3)群的不确实表示。

SO(3)群的双值表示
j=半整数时

对应着两个表示矩阵，这种表示称为SO(3)群的双值表示。

双值问题的原因：
与
是两个元，而

是相同的一个元。

双值问题的解决：
把SO(3)群扩大一倍，认为
与
是不同的元。
这样，形式上SU(2)群与新的SO(3)群同构，
SU(2)群的不可约表示是新的SO(3)群的确实表示。即

具体的做法：
（1）定义新的群元，单位元；
（2）产生g个新的群元；
（3）2g阶的群称为SO(3)群的双群SOD(3)。

旋量波函数
电子具有自旋角动量。自旋角动量算符为

电子的总角动量算符为

与有共同的本征函数

其中总角动量量子数。

或写作

称为旋量波函数。
对于一个任意转动

对于绕z轴转α角的转动

下面讨论本征波函数的转动特性

特别地，当时
j=整数， ；
j=半奇数，；.
具有半奇数自旋系统的对称性，要用双群。

作业：第三章习题6、7。

第四章 点群及其应用
§4.1 点群
一、几个基本概念：

点群是O(3)群的离散子群；
点群的任一群元（正交变换），都保持系统至少有一点是不动的。
点群的群元（正交变换）没有平移。

一个系统的对称操作，点对称操作。
点对称操作与宏观对称性、点群；
平移对称操作与微观对称性、空间群。
周期性边界条件、驻波边界条件。
一个系统（宏观）对称性高低的比较。

二、正当转动点群及其非任意性（除球之外）
群元cm， ，m度轴（对称元素）
m重极点（m-1个）、极点星（m,ν）
设群中共有λ组极点星，则
除单位元外，群的极点数满足

即
注意

有
得到 λ= 2 或3组。
（1）λ= 2
，即
即
得到
（注意 ）
记 ，得到两个极点星
（n，1）、（n，1）
这就是正当转动点群Cn群。
（2）λ= 3
，
即
令 ，得到 ；代入，得到

分为两种情况 、3：
（2-1）
，即
记，得到三个极点星
（2，n）、（2，n）、（n，2）
这就是正当转动点群Dn群。

（2-2）
代入 ，得到

这时 、4、5，对应的极点星和群：
g=12： （2，6）、（3，4）、（3，4）
这就是正当转动点群T群；
g=24： （2，12）、（3，8）、（4，6）
这就是正当转动点群O群；
g=60： （2，30）、（3，20）、（5，12）
这就是正当转动点群P群。

正当转动点群：Cn、Dn、T、O、P

三、点群的分类：
第一类点群（正当转动点群）
第二类点群（含有非正当转动操作的点群）

晶体点群：
第一类晶体点群11个，
第二类晶体点群21个，
晶体点群共有32个。

§4.2 晶体点群的对称操作及对称元素
晶体点群的对称操作：4类8种
（1）cn，5种
（2）镜面反射（镜面反映）σ，1种
（3）中心反演 I
（4）旋转反射（旋转反映）sn（只有s4）

对称操作之间的关系：
（1）同轴的两个转动
（2）两个镜面的连续操作～转动（转角 ）
（3）（镜面）（转动 ）～镜面（夹角 ）
（4）C2vC2u～ Cw（转角 ，转轴）
（5）可对易的对称操作

作业：1. 习题4. 1
2. 图示上述6对可对易的对称操作。
3. 习题4. 3

对称元素
在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。
（1）对称元素之间的关系：
两镜面（夹角 ）之间的交线，必为一转轴；
（镜面）+（n度转轴）→共n个镜面；
两个2度轴（ ）→垂直的n度轴；
2度轴+与之垂直的n度轴→共n个2度轴。

（2）某些特殊的对称元素
主轴
等价轴、等价面
双向轴
（3）图示对称元素的方法
极射投影图（有主轴）

§4.3 晶体点群
§4.3.1 32个晶体点群

§4.3.2 32个点群的符号及所属晶系

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