p144-173讲稿北师大的群论.doc

第三章 完全转动群复习：正当转动矩阵为可以验证满足detR=1，用欧拉角表示的正当转动矩阵可以验证 三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。记作SO(3).三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，或称为三维转动反演群。记作O(3).3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示函数变换算符PR （3.2-5） （3.2-18）下面构造SO(3)群的维的表示：一定的个球谐函数，构成一个维的完备的表示空间表示的特征标：得到第m列的表示矩阵元 （3.2-28）表示矩阵为则第个表示中，转角为类的特征标为特征标表（示意）局限性：只有奇数维的不可约表示。3.3 二维幺模幺正群SU(2)二维幺模幺正矩阵u若二维矩阵，满足（1）； （2）det u=1则矩阵u称为二维幺模幺正矩阵。二维幺模幺正矩阵写为，独立参量只有3个，与三维转动矩阵相同。二维幺模幺正矩阵构成群，称为二维幺模幺正群，记作SU(2).二维幺模幺正群与完全转动群矩阵与正当转动矩阵R之间存在对应关系。对于 ， 即 ，下面讨论存在一个u矩阵，同样能够对于，得到 ，即。（1）h矩阵 记，则，用u矩阵，对h作幺正变换：可以写成 这样就有 实现了 具体对h作幺正变换：由 ，得到记，有或写作与二维幺模么正矩阵对应的三维正当转动矩阵为（2）R(u)的性质（a）R(u)是实矩阵（b）R(u)是转动矩阵（保长变换）（c）detR(u) = 1（d）例例1 若u是对角矩阵， 取，有一般的与u对应的三维正当转动矩阵为与对应的三维正当转动矩阵为 代入，得到这是绕z轴转动角的正当转动矩阵.例2 若u为实矩阵即、，代入对应的转动矩阵，得到这是绕y轴转动角的正当转动矩阵.（3）SU(2)与SO(3)同态已知 对应的u矩阵 前面是 若有u，可以得到对应的R；这里是 对于R，可以得到对应的u.u与R之间存在对应关系。2对1的同态关系： 原因：3.4 SU(2)群的不可约表示求SU(2)群的表示二维幺模幺正矩阵群群元本身就是群的一个二维表示。记该二维表示的基为在群元u作用下，变为即下面构造SU(2)群的其他维表示基函数取为的齐次单项式：三维表示 ，四维表示 ，n+1维 ，n+1维表示基函数的一般形式其中是非负整数。改写基函数的形式：（1）记 其中 基函数形式写为 （2）幺正表示要求增加因子下面计算SU(2)群的各维表示矩阵另一方面，由于利用二项式定理 ，有（令）其中这是SU(2)群2j+1维表示的矩阵元，其中注意：当j为整数时，即群元u与-u对应于同一个表示矩阵。当j为半奇数时，.例如：SU(2)群的群元（对应于）的2j+1维表示的矩阵元：表示的性质（1）以为基函数的表示是么正表示，即.（2）是2j+1维的不可约表示； 取，是SU(2)群的全部不可约表示。（3）是SU(2)群的不确实表示。当j为整数时，即群元u与-u对应于同一个表示矩阵。表示的特征标SU(2)群的类：具有相同本征值的矩阵，属于一类。量子力学（复习）：（1）幺正变换不改变算符的本征值；（2）幺正变换不改变矩阵的迹（特征标）。群元u的本征值方程即系数行列式为零，得到即 群元u的本征值，只与有关；相同的群元具有相同的本征值，属于一类。取每一个实的值，确定了SU(2)群的一类；这一类具有相同的.特征标计算：取，群元计算第j个不可约表示（2j+1维）、具有相同的类的特征标。表示矩阵元得到第j个不可约表示的类的特征标3.5 双群SO(3)群与SU(2)群同态：其中SO(3)的群元与SU(2)的群元用SU(2)群的不可约表示，作为SO(3)群的不可约表示。第j个不可约表示矩阵元为用欧拉角表示为（3.5-2）例：对于绕z轴转过角的转动，上式简化为对于，和的二维表示，有所以，SO(3)群元的的二维表示矩阵为计算表示的特征标：（3.5-2）选取绕z轴转过角的群元表示矩阵元为 得到第j个不可约表示的类的特征标同态关系小结：j=半整数j=整数即SU(2)群与SO(3)群同态（2对1的关系），SU(2)群的不可约表示是SO(3)群的不确实表示。SO(3)群的双值表示j=半整数时对应着两个表示矩阵，这种表示称为SO(3)群的双值表示。双值问题的原因：与是两个元，而是相同的一个元。双值问题的解决：把SO(3)群扩大一倍，认为 与 是不同的元。这样，形式上SU(2)群与新的SO(3)群同构，SU(2)群的不可约表示是新的SO(3)群的确实表示。即具体的做法：（1）定义新的群元，单位元；（2）产生g个新的群元；（3）2g阶的群称为SO(3)群的双群SOD(3)。旋量波函数电子具有自旋角动量。自旋角动量算符为电子的总角动量算符为与有共同的本征函数其中总角动量量子数。或写作称为旋量波函数。对于一个任意转动对于绕z轴转角的转动下面讨论本征波函数的转动特性特别地，当时j=整数， ；j=半奇数，；.具有半奇数自旋系统的对称性，要用双群。作业：第三章习题6、7。第四章 点群及其应用 4.1 点群 一、几个基本概念： 点群是O(3)群的离散子群； 点群的任一群元（正交变换），都保持系统至少有一点是不动的。 点群的群元（正交变换）没有平移。 一个系统的对称操作，点对称操作。 点对称操作与宏观对称性、点群； 平移对称操作与微观对称性、空间群。 周期性边界条件、驻波边界条件。 一个系统（宏观）对称性高低的比较。 二、正当转动点群及其非任意性（除球之外） 群元cm， ，m度轴（对称元素） m重极点（m-1个）、极点星（m,） 设群中共有组极点星，则 除单位元外，群的极点数满足 即 注意 有 得到 = 2 或3组。 （1）= 2 ，即 即 得到 （注意 ） 记 ，得到两个极点星 （n，1）、（n，1） 这就是正当转动点群Cn群。 （2）= 3 ， 即 令 ，得到 ；代入，得到 分为两种情况 、3： （2-1） ，即 记，得到三个极点星 （2，n）、（2，n）、（n，2） 这就是正当转动点群Dn群。 （2-2） 代入 ，得到 这时 、4、5，对应的极点星和群： g=12： （2，6）、（3，4）、（3，4） 这就是正当转动点群T群； g=24： （2，12）、（3，8）、（4，6） 这就是正当转动点群O群； g=60： （2，30）、（3，20）、（5，12） 这就是正当转动点群P群。 正当转动点群：Cn、Dn、T、O、P 三、点群的分类： 第一类点群（正当转动点群） 第二类点群（含有非正当转动操作的点群） 晶体点群： 第一类晶体点群11个， 第二类晶体点群21个， 晶体点群共有32个。 4.2 晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作：4类8种 （1）cn，5种 （2）镜面反射（镜面反映），1种 （3）中心反演 I （4）旋转反射（旋转反映）sn（只有s4） 对称操作之间的关系： （1）同轴的两个转动 （2）两个镜面的连续操作转动（转角 ） （3）（镜面）（转动 ）镜面（夹角 ） （4）C2vC2u Cw（转角 ，转轴） （5）可对易的对称操作 作业：1. 习题4. 1 2. 图示上述6对可对易的对称操作。 3. 习题4. 3 对称元素 在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。 （1）对称元素之间的关系： 两镜面（夹角 ）之间的交线，必为一转轴； （镜面）+（n度转轴）共n个镜面； 两个2度轴（ ）垂直的n度轴； 2度轴+与之垂直的n度轴共n个2度轴。 （2）某些特殊的对称元素 主轴 等价轴、等价面 双向轴 （3）图示对称元素的方法 极射投影图（有主轴） 4.3 晶体点群 4.3.1 32个晶体点群 4.3.2 32个点群的符号及所属晶系 - 30 -