基于智慧课堂的高三数学试卷讲评课模式初探.pdf

6中学数学研究2024 年第 1 期(下)基于智慧课堂的高三数学试卷讲评课模式初探广东省广州市广东华侨中学(510000)刘颖莹摘要试卷讲评课是高三的重要课型.随着智慧课堂的应用与发展,讲评课从课堂延伸到课前和课后.本文以广州市 2023 届高三一测数学试卷数列单元讲评为例,通过阐述课前、课中、课后的案例实施过程,探究基于智慧课堂的高三数学试卷讲评课模式.关键词 试卷讲评;智慧课堂;高三数学试卷讲评课是高三数学复习过程中必不可少的环节.考后及时讲评,能帮助学生纠正思维错误,完善知识结构,提升解题能力,发展核心素养.随着智慧课堂教学平台的应用与发展,无论是个人还是班级的考情学情,都能通过平台进行数据化长期追踪.有了数据支持,教师不再凭印象讲评,而是凭数据讲评,讲评更有针对性,讲评方式更加多样化,同时,讲评不再局限于课堂,更延伸到了课前和课后.本文以一节广州市 2023 届高三一测数学试卷讲评课为例,对基于智慧课堂的高三数学试卷讲评课模式进行实践探究.1 考试学情分析本次考试在高三第二学期初进行,此时,学生已基本完成一轮复习,但二轮复习还未开始,学生有基本的知识结构框架但不完善.同时,学生此前考试次数不多,应试经验不足.对于平行班,学生主要靠基础题和中等题得分.在解中等题时,学生往往因为概念理解不深刻和解题方法不熟练而无法全对.针对考试中得分率低于 60%的题,我们安排 5 个课时讲评.第 1 课时为试卷整体分析,按 高中数学课程标准 2017版 中提到的五大主题内容预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动,对试题进行分类,讲评主题二的数列题;第 2 课时讲评主题二除数列外的其他题;第 3 课时讲评主题三除平面解析几何的题目;第 4课时讲评平面解析几何的题;第 5 课时讲评主题四和主题五的题.下面的案例为讲评课第 1 课时的教案.2 讲评课模式基于智慧课堂教学平台,高三数学试卷讲评课模式如图1 所示:2.1 课前环节在讲评前的准备是非常有必要的,准备越充分,讲评越有效率.课前准备主要包括三个方面:考情分析、任务发布、素材收集.图 1 基于智慧课堂的高三数学试卷讲评课模式考情分析是指利用智慧课堂平台数据库,一方面对班级均分、每一题的得分率、优良率、分数段人数等数据进行横向对比分析;另一方面,对学生个人成绩等级、进退步等数据进行纵向对比分析.其次,教师通过智慧课堂平台推送试题分析和错题归因等任务,学生完成并提交,教师后台检查完成情况.最后,结合课前任务,按主题内容分单元对错题进行归类整理,收集典型错误,查阅教材相关知识和相关高考真题.2.2 课中环节课中通过对课前任务的梳理和点评,引导学生整体感知试卷考点分布、难易程度、占比权重等,结合个人的错题分布和错解归因,找准知识漏洞,明确下阶段复习方向.结合考试数据和考点分布分析,按大单元设计的思路,针对五个主题,分单元进行讲评.单元讲评大致按以下思路进行,可适当增减:图 2 单元讲评思路2.3 课后环节结合学生考试数据,智慧教学平台能推送个性化作业给相应的学生,主要有“重做原题、基础训练、拓展训练”三个层级的资源,教师可根据学生实际微调作业容量和难度,实现个性化训练.学生完成个性化作业后上交,智慧教学平台结合课中评价和课后作业,即时给予学生和教师评价反馈.教师根据智能评价充分了解学生情况,对个别学生进一步辅导,实现评价反馈即时化.师生共同分析卷面得分和失分,反思教学过程中的得与失,总结经验.3 讲评课案例2024 年第 1 期(下)中学数学研究73.1 课前环节依照五大主题内容,通过智慧课堂平台,发布以下任务:(1)任务一:请根据表 1 对试卷做整体考点分布分析;(2)任务二:聚焦错题,请对错题按知识点整理,分析错误原因,填在表 1 和表 2 相应位置.表 1 试题知识点分布与错解归因表知识单元试题错题错误原因主题一预备知识集合与常用逻辑用语、不等关系主题二函数数列三角函数函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、函数应用一元函数导数及其应用主题三几何与代数立体几何初步、空间向量与立体几何复数平面向量及其应用平面解析几何主题四概率与统计概率与统计主题五数学建模活动与数学探究活动数学建模活动与数学探究活动表 2 错因分析表错因审题错误知识不清计算错误格式错误来不及做难题放弃题号总计3.2 课堂实录节选例 1(2023 年广州市一测第 14 题)已知 n N,将数列2n 1 与数列n2 1的公共项从小到大排列得到新数列 an,则1a1+1a2+1a10=.讲评实录:教学环节一:原题再现 一题多解师:这道题的考点是数列求和.在求和之前,必须先确定数列的通项公式.对于本题,你是怎样求得数列的通项公式呢?之后,用了什么方法求得数列的前 10 项和?生 1:根据题意,我先写出数列 2n 1 的前几项:1,3,5,7,9,11,13,15,然后再写出数列n2 1的前几项:0,3,8,15,24,35,.我发现,两个数列的公共项有:3,15,35,这些数都是数列n2 1的偶数项,所以猜想,数列 an的通项公式为 an=4n2 1.所以,1an=14n2 1=1(2n 1)(2n+1)=12(12n 112n+1).因此,1a1+1a2+1a10=12(1 13+1315+119121)=12(1 121)=1021.生 2:我的方法跟生 1 有点不同,我先设 bn=2n 1,cn=n2 1,要使 bn=cm,则 2n=m2,因此,m 为偶数.再设 m=2k(k N),则 ak=cm=4k2 1.所以,an=4n2 1,后面做法就一样了.师:生 1 用到了归纳猜想法,这种方法一般由特殊出发,经过观察、归纳、猜想,得出可能的结果.大部分同学考试时也选用了这种方法.对于数列中的一些问题,猜想可以让我们找到解题的关键.但这里得说明的是,归纳猜想的结果不一定完全正确,必须对结果加以论证.要证明与正整数相关的命题,我们有什么方法证明吗?生 3:数学归纳法.师:是的.对于这题来说,我们通过猜想归纳得到前 10项,就能进行数列求和了.请同学们课后尝试用数学归纳法证明 an=4n2 1.生 2 则用到了不定方程法,这是解决数列公共项问题的一种常用方法,主要是利用了数论中的整除知识,求出符合条件的项,并解出相应的通项公式.两位同学在求和时都用到了裂项相消法求和.教学环节二:错题归因 积极应对师:回顾自己的解题过程,做错的原因是什么?在下次遇到类似的题目时,怎么才能避免错误?生 4:我主要是审题错误,没有理解数列 an 的构成.以后我可以多写几项,观察猜想归纳得到结论.归纳猜想法对一些数列题很有帮助.生 5:我是知识不清导致出错.我能想到数列 an 的通项公式,但是没有想到要用裂项相消法求和.生 6:我在裂项相消时漏掉了12,属于知识不清导致出错.师:对错解归因,能让我们找到进步的方向.深刻理解和掌握题目涉及的基本概念和基本方法是我们的应对方法.教学环节三:教材溯源 考题迁移师:课本是试题的基本来源,是高考试题的主要依据,大多数试题的产生都是基于课本进行组合、加工和拓展的.对于这题,我们可以在课本上找到同类题,还有相应的高考真题.请同学们尝试解决以下两题.练习 1(高中数学 2019 年人教 A 版选择性必修第二册8中学数学研究2024 年第 1 期(下)第四章数列习题 4.2 第 8 题)已知两个等差数列 2,6,10,190 及 2,8,14,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.答案 1472.练习 2(2020 年新高考 I 卷山东卷第 14 题)将数列2n 1 与 3n 2 的公共项从小到大排列得到数列an,则 an 的前 n 项和为.答案 3n2 2n.教学环节四:发散思维 合理变式师:假如你是命题人,你会怎样改编这道题?生 7:我想到求两个等比数列的公共项,然后求新数列的前 n 项和.生 8:还可以改成一个等差和一个等比数列的公共项构成的新数列的前 n 项和.师:没错,老师这里就有两个例子,同学们可以尝试做一做.有时候,我们站在命题人的角度多想一想,发散思维,会发现其实很多题目都很熟悉.所以,理解基本概念、掌握基本方法、提升核心素养是应对瞬息万变的题目的最佳途径.练习 3 将数列 4n 与 8n 的公共项从小到大排列得到数列 an,则 an 的通项公式为.答案 an=64n.练习 4将数列 2n 与 3n+1 的公共项从小到大排列得到数列 an,则 an 的通项公式为.答案an=4n.例 2已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn+2n=2an+1.()求 a1,并证明数列 an2n 是等差数列:()若 2a2k 2 时,Sn1=2an1 2n1+1,两式相减得 an=2an an1 2n1,即 an=an1+2n1,所以an2n=an12n1+12,所以数列 an2n 是以 1 为首项,12为公差的等差数列.师:上述解法是否正确?若不正确,错在哪里?生 9:前半部分是正确的,但数列 an2n 的首项不是 1,是12.师:是的,这里的等差数列首项错了,应该是a12,而不是a1.从答题情况来看,第 1 问的主要失误是不能正确消去 Sn,构造an2nan12n1=12.对于证明等差数列的问题,我们需要紧扣定义来证明.接下来,要解第()问的不等式,需要求出数列 an 的前 n 项和 Sn,请问你是如何求解 Sn的呢?(学生在智慧教学平台上分享自己的过程)生 10:我由()得an2n=n2,所以 an=n 2n1,代入Sn=2an 2n+1,得到 Sn=(n 1)2n+1.生 11:我也是先求出 an=n 2n1,然后用了错位相减法求和.生 10 的方法更简单,我没有注意到条件Sn+2n=2an+1,过程反而复杂了.师:确实,有一部分同学用了错位相减法求和,结果变复杂了.所以,我们一定要认真审题,紧扣“已知条件”.接下来,该如何求不等式呢?生 12:由 2a2k S2k,得 k2 22k1(2k 1)22k+1,即(k2 4k+2)22k1 4 时,k2 4k+2 2,22k1 7,不等式(k2 4k+2)22k1 1 不成立.除此之外,还有其他同学用不同方法求解的吗?生 13:我把 2a2k S2k化简成 k24k+2122k1 0,令 f(x)=x2 4x+2 122x1,我注意到,函数 y=x2 4x+2,y=122x1在(2,+)上都是增函数,所以函数 f(x)=x24x+2122x1在(2,+)上是增函数,由 f(1)=14+212=32 0,f(2)=48+218=178 0,f(3)=9 12+2 125=1 125 0,则当 x 4时,f(x)0,所以若 2a2k S2k,正整数 k 的所有取值为 1,2,3.师:非常好.将不等式的问题转化成函数的问题,通过研究函数的单调性和零点所在的区间,确定 k 的所有取值.这道题入手易,难度适中,充分考察了逻辑推理和数学运算核心素养,是值得我们反思的一道好题.教学环节二:教材溯源 考题迁移师:回归教材溯本源,解析真题定方向.以下题目选自课本,是 17 题的同类练习题.请同学们认真完成.练习5(选择性必修第二册第四章数列习题4.3第11题)已知数列 an 的首项 a1=35,且满足 an+1=3an2an+1.()求证:数列1an 1为等比数列;()若1a1+1a2+1an 100 且该数列的前项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是.答案 440.练习 7(2017 年高考数学课标 卷理科第 15 题)等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则nk=11Sn=.答案2nn+1.练习 8(2022 新高考全国 I 卷第 17 题)记 Sn为数列an 的前 n 项和,已知 a1=1,Snan 是公差为13的等差数列.()求an的通项公式;()证明:1a1+1a2+1an 2.答案()n(n+1)2(n N);()略.3.3.2 个性化作业教师根据学生答题情况,利用智慧课堂平台的“AI 考后练习”,分三个层级推送作业:第一层级:错题重做,主要针对基础薄弱的同学;第二层级:错题重做+基础训练,主要针对错题会做但没有满分的同学;第三层级:基础训练+拓展训练,主要针对该题全对的同学.4 几点思考4.1 回归教材,重视思维试卷讲评课除了要讲评题目外,还要讲评题目涉及的知识和思维方法.通过引导学生回归知识基本概念和基本方法,建立题目与已有知识的联系,梳理解题的通性通法,并利用教材练习题或高考真题进行变式训练,提高解题能力和数学核心素养.4.2 技术赋能,精准有效讲评应讲在学生的思维偏差处和知识的薄弱处,通过暴露学生的解题过程或思维过程,及时巩固知识,纠正思维偏差.借智慧课堂平台,讲评课上能方便快捷地展示学生的解题过程,不仅增加了课堂容量,又不影响课堂效率,还提高了讲评的针对性.4.3 课前自评,课后拓展在智慧课堂技术支持下,讲评课延伸到了课前和课后.课前学生对错题进行分类和分析,尝试对错题自评自改,有利于提高讲评的效率,又能锻炼学生的总结和反思能力.课后的变式拓展又进一步促进学生深入思考,提升分析和解决问题的能力,发展学生数学核心素养.总之,基于智慧课堂教学平台,教师既要在课前对考试数据、学生答卷和学生学情等做好考前分析,确定讲评思路和重点,又要在课中及时纠正思维、归纳思路、总结方法,还要在课后进行变式训练,巩固提升.只有这样,试卷讲评课才能上得真正有效.参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)M.北京:人民教育出版社,2020.2 张连芳.一堂数学试卷讲评课的实践与反思 J.现代基础教育研究.2011,(2):163-168.3 周启杰.素养导向下如何上好高三讲评课 J.数学通讯.2019,(20):13-16.4 彭伟康.智慧课堂技术支持下高中数学讲评课精准教学研究 D.阜阳师范大学.2023.