Hadamard型奇异非线性分数阶微分方程三点边值问题正解的存在唯一性.pdf

37昭 通 学 院 学 报第 45 卷 第 5 期Vol.45 No.5Journal of Zhaotong University2023 年 10 月Oct.2023收稿日期：2023-09-12作者简介：李金秋（1996），女，云南曲靖人，助教，硕士，主要从事微分方程及应用研究。数学研究Hadamard 型奇异非线性分数阶微分方程三点边值问题正解的存在唯一性李金秋（昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000）摘要：采用混合单调算子方法，研究了带有 Hadamard 型导数的奇异非线性分数阶微分方程三点边值问题正解的存在唯一性。将一般问题推广到了高阶的情况，构造了较为复杂的三元非线性项，得到了边值问题的可解性结果。关键词：奇异非线性；边值问题；混合单调算子中图分类号：O175.8文献标志码：A文章编号：2095-7408（2023）05-0037-050 引言本节将研究以下带有Hadamard型导数的奇异非线性分数阶微分方程三点边值问题+11(2)1()+()(,(),()()(,(),()()=0(1)(1)(1)0,1,3,(1)()(),02,12.HHnHt eD u tp t f t u tD u tq t f t u tHu tteuuunn nD u tk u enn=+|=|=|，1理和符号。定义 11 令连续函数:1,gR，则g的R+阶Hadamard分数阶积分定义为1111()()(ln),0.()tHtg sI g tdsss+=其中()表示Gamma函数。定义 32 设(,)E 是一个Banach空间,有0E.非空闭凸集PE是一个锥，若满足（1）(1),0;(2),0.xPxPxPxPx=(1),0;(2),0.xPxPxPxPx=定义 43 一个算子:A PPP称为单调混合算子，若(,)A x y关于第一个元素递增，关 于 第 二 个 元 素 递 减。即12121122,(1,2),(,)(,).iiu v iP uu vvA u vA u v=12121122,(1,2),(,)(,).iiu v iP uu vvA u vA u v=如果(,),A x xx xP=(,),A x xx xP=叫做 A的不动点。定义 54 令DP=或DP=，01是一个实数，一个算子:A DD是凹的，如果满(),(0,1),.A txt AxtxD 其 中)(),(1,),0,(),()p qCep t q t在1t=或te=处是奇异的，,f g k是连续函数，(,)f t u v在1,tte=处和0uv=时是奇异的。(,)g t u v在1,tte=处是奇异的，1HD+为Hadamard分数阶导数。该问题推广到了高阶的情况，将二元非线性项推广到三元的情况，非线性项的构造也更复杂，这样的变形对Hadamard分数阶导数的研究有重要的意义。据了解，该问题是全新的。目前用Hadamard型分数阶导数分析此类问题的研究较少，Hadamard积分是研究离散时间分数阶导数的有效方法，该分数阶导数与RiemannLiouville和Caputo分数阶导数的区别在于积分的内核包含任意指数的对数函数,这对研究三种模型之间的联系有实际意义。1 预备知识在这一部分，我们介绍一些必要的定义、引38第 45 卷昭 通 学 院 学 报2023 年（总第 210 期）引理 11 若0,令1,1,uCeLe，则有121211()()(ln)(ln)(ln).HHnnID u tu tctctct+=121211()()(ln)(ln)(ln).HHnnID u tu tctctct+=引理 2 设()1,hCe R，则下列线性边值问题+1(2)1()+()=0(1)(1)(1)0()().HnHt eD u tz tteuuuD u tk u e=，使得(,),(,),(),hhhA h hP B h hP C hP(,),(,),(),hhhA h hP B h hP C hP|,0,;hPxE xhhxh=即存在常数即存在常数，|,0,;hPxE xhhxh=即存在常数(5)A存 在 一 个 常 数0,，使 得 所 有,(,)(,)().xyP A x yB x yC y+、则有（1）:,:,:;hhhhhhhhA PPP B PPP C PP（2）存 在00,(0,1)hu vP r，使 得000,rvuv000000000000(,)+(,)+(,)+(,)+.uA u vB u vCvA v uB v uCuv000000000000(,)+(,)+(,)+(,)+.uA u vB u vCvA v uB v uCuv（3）方程(,)(,)A x xB x xCxx+=在hP中有一个唯一解;x（4）对任意初值00,hxyP，可构造序列：1111111111(,)+(,)+,1,2.(,)+(,)+,1,2.nnnnnnnnnnnnxA xyB xyCynyA yxB yxCxn=1111111111(,)+(,)+,1,2.(,)+(,)+,1,2.nnnnnnnnnnnnxA xyB xyCynyA yxB yxCxn=2 主要结果及其证明记+1|1,1,HEu uCeD uCe=且，在范数11,1,max max()max()Hteteuu tD u t+=+下E是 一 个Banach空 间。定 义 锥+1|()0,0,1,HPuE u tD uteE=P是 一 个 正 规 锥，在E中 的 偏 序 关 系：+11,()(),()().HHxy x ty tD x tD y t120,0使得对所有(1,),(0,)teu v，有12(,)(,)(,)().f t u vg t u vf t u vk v，(6)H1(1)1(1 ln)()(ln)(,1,1),edssp ssf ss 111(1 ln)()(ln)(,1,1).edssq ssg ss 使得1,()(ln),(1,).bhu vh h ttteb=由上述不等式，有(1)(1)11(,(),()(ln)(,)(ln)()(,1,1),f t u t v ttf tbtf tbb(1)(1)1(,(),()(ln)(,)(ln)()(,1,1).f t u t v ttf t btbf tb 同理11(,(),()(ln)(,1,1);g t u t v ttg tb1(,(),()(ln)(,1,1).g t u t v ttbg t结合条件(6)H有+11(1)111(ln)1(,)()(,(),()(ln)()(ln)()(,1,1).()eeHdstedsG t s p s f s u sD u sp ssf tssbs +11(1)1111(ln)1(,)()(,(),()(ln)()(ln)()(,1,1).()eeHHdstedsD G t s p s f s u sD u sp ssf tssbs 11111(ln)1(,)()(,(),()(ln)()(ln)(,1,1).()eedstedsG t s q s g s u s Hv sq stg tssbs +111111(ln)1(,)()(,(),()(ln)()(ln)(,1,1).()eeHdstedsD G t s q s g s u s Hv sq stg tssbs 故算子,A B是良定义的。第二步，证明算子,A B C满足引理 5 中的条件(1)(3).AA由(1)(3)HH，,(1,),u vP te有非负性成立。因此:,:,:.A PPP B PPP C PP对所有,(1,),u vP te当+11()()()(),.HHu tv tD u tD v tuv当，有有+11()()()(),.HHu tv tD u tD v tuv，则故(-1)-1-11(ln)(,1,1)(ln)(,1,1)(ln)(,1,1).sb f ssb f ssb g s 结合条件()(),p tq tm有，有1 312120(,),(,).hcccc hA h hc hA h hP，有故，有1 312120(,),(,).hcccc hA h hc hA h hP，有故，故1 312120(,),(,).hcccc hA h hc hA h hP，有故由()0k v e，可得().hC hP最后，证明算子,A B C满足引理 4 中的条件(5).A由(6)H，(1,)te 有1()(0,1),()(ln)h th tt=，故01.HhH由(5)H，(1,),nte u vP 有111(,)(,)()(,(),()=,),edsA u vG t s q sg s u s Hv sB u vs（+111111(,)(,)()(,(),()=(,).eHHHdsD A u vD G t s q sg s u s Hv sD B u vs故+11(,)(,).HA u vD B u v令2111(min,()m=）,，有(,)(,).A u vB u vCv+结合引理 4，定理 1 得证，问题(1)有一个唯一正解.huP参考文献：1 Kilbas AA，Srivastava H M,Trujillo J J.Theory and application of fractional differential equationsM.New York:North-Holland,2006.2 夏道行,吴卓人,严绍宗.实变函数论与泛函分析 M.北京:高等教育出版社,2010.3 Guo D J,Lakshmikantham V.Nonlinear problems in abstract conesM.Bosten and New York:Academoc Press Inc,1988.4 Wang and Zhang.The solution for a class of sum operator equation and its application to fractional differential equation boundary value problemsJ.Boundary Value Problems,2015,1:203-218.5 Liu,Zhang,Jiang.The unique solution of a class of sum mixed monotone operator equations and its application to fractional boundary value problemsJ.Journal of Nonlinear Sciences and Applications,2016,9(5):2943-2958.Existence and Uniqueness of Positive Solutions to Three-Point Boundary Value Problems for Singular Nonlinear Fractional Differential Equations of Hadamard TypeLI Jinqiu(School of Mathematics and Statistics,Zhaotong University,Zhaotong 657000,China)Abatract:In this paper,the existence and uniqueness of positive solutions for three point boundary value problems of singular nonlinear fractional differential equations with Hadamard type derivatives are studied by using mixed monotone operator method.The general problem is extended to the case of higher order,a more complex ternary nonlinear term is constructed,and the solvability of the boundary value problem is obtained.Key words:singular nonlinear;boundary value problem;mixed monotone operator