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圆中的计算问题
一、一周知识概述
1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式：．
　　说明：(1)在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”．
　　(2)问题中若没有标明精确度，则弧长可用π表示．
　　(3)在弧长公式中，已知，n，R中任意两个量，都可以求出第三个量．
　　(4)在用弧长公式求n时，要注意与R的单位要统一，且所求的n值一定要小于或等于360．
2、扇形面积
　　扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．
　　如图所示，在⊙O中，由半径OA，OB和所构成的图形是扇形；由半径OA，OB和所构成的图形也是扇形．

3、扇形的面积公式．
　　如图所示，阴影部分的面积就是半径为r，圆心角为n°的扇形的面积．显然扇形的面积是它所在的圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积πr2，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式一：　①．因为扇形的弧长，扇形面积可以写成．所以又得到扇形面积的计算公式二：S扇形=　②．

　　说明：(1)公式①中的n与弧长公式中的n一样，应理解为1°的倍数，不带单位，如圆心角为10°，n就是10．
　　(2)扇形面积公式S扇形=与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，可与三角形面积公式类比理解，把弧长看成底，r看成底边上的高．
　　(3)当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用公式①；当已知半径r和弧长求扇形面积时，应选用公式②．
　　(4)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，，n，r四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
4、圆锥的侧面积和全面积
　　圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线叫做圆锥的母线．
　　圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高．
　　圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积：
　　S侧=πr．
　　圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即
　　S全=πr(r＋)．

　　说明：(1)圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形．
　　(2)圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长等于圆锥底面的周长．
　　(3)圆锥的表面积等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积．
二、重难点知识
　　理解和掌握弧长公式、扇形面积公式的推导，弧长公式、扇形面积公式的应用，圆锥侧面积求法．
三、典型例题
例1、(1)如图，两个半径为1的⊙O1与⊙O2及⊙O相外切，切点分别为A、B、C，且∠O＝90°，则的长为（　）

　　(2)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是(　)
　　A．2π　　　　B．4π　　　　C．6π　　　　　D．8π
分析：
　　(1)要计算这三段弧长的和，由相切两圆的性质易知△OO1O2为等腰直角三角形，所以∠O1=∠O2=45°，⊙O的半径为，由此不难求出三段弧的长度和；
　　(2)曲线CDEF的长实际上也是三段弧长的和，它们所对的圆心角都是120°，的半径AC=AB=1，的半径BD=2AB=2，的半径CE=3AB=3，所以曲线CDEF的长为．
解：(1)B；(2)B．
总结：运用弧长计算公式计算弧长关键是寻求出弧所在圆的半径及弧所在的圆心角．
例2、解答下列各题：
　　(1)如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为（　）

　　(2)如图，已知扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P与Q的大小关系是（　）

　　　A．P=Q　B．P＞Q　　C．P＜Q　　D．不能确定
分析：
　　题(1)中，三个阴影部分均为扇形，但圆心角的大小不明确，不可能直接求解．此时应从整体上观察∠A、∠B、∠C的特点；(2)中阴影部分P、Q的面积直接求出十分困难，得另辟蹊径．
解：
　　(1)由图可知∠A＋∠B＋∠C=180°，即阴影部分的面积等于半径为0.5的半圆的面积．
　　∴，故选B．
　　(2)设两个半圆的另一个交点为C，扇形OAB的半径为R，则

　　故选择A．
总结：
　　本题中的解法都具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键，如第(1)题揭示了求解与圆有关的阴影部分面积问题的基本方法与思路，将不规则图形的面积用规则图形的面积表示．(2)巧妙地避开了计算两部分的阴影面积，利用转化思想，直接推出P=Q．
例3、 如图，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________.

分析：
　　在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图）.

解：
　　移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图。设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知.又AB切小半圆于点H，故，故

总结：
　　本题中的解法采用的一种特殊法，即阴影部分面积与小半圆位置无关，可将小半圆确定在便于求解的特殊位置。具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键．
例4、一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：
　　(1)圆锥的母线长与底面半径之比；
　　(2)圆锥的表面积．
分析：
　　如图所示，AO为圆锥的高，经过AO的剖面为等腰三角形ABC．圆锥的母线长与底面半径之比即︰r，圆锥的表面积即圆锥的侧面积(半圆的面积)与圆锥底面积之和．

解：
　　(1)如图所示，∵圆锥的侧面展开图是半圆，且圆锥底面圆的周长等于半圆的弧长，即2πr=πl
　　∴．圆锥的母线长与底面半径之比为2︰1．
　　(2)在Rt△AOC中，AC2=AO2＋OC2，即l2=h2＋r2．
　　又∵l=2r，h=，∴(2r)2=()2＋r2．
　　∴3r2=27．
　　∴r=3．∴l=2r=6．
　　∴S表面积=S侧＋S底=πrl＋πr2=3×6 π＋π×32=27π(cm2)，
　　即圆锥的表面积为27πcm2．
例5、一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高为，(1)求圆锥的侧面积；(2)画圆锥的侧面展开图．

分析：
　　(1)圆锥的轴截面是等边三角形，则底面圆半径是母线长的一半，利用这个关系及勾股定理求出底面半径，母线长，即可求出圆锥的侧面积和表面积；(2)画圆锥的侧面展开图时，由于圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，故求其圆心角的度数即可．
解：
　　(1)如图，已知△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且，则．
　　设DC=r，则AC=2r．
　　在Rt△ADC中，，解之得r=2cm
　　∴S侧=πr·2r=2πr2=8πcm2
　　S表=S侧＋S底=πr·2r＋πr2=3πr2=12π；
　　(2)∵圆锥的侧面展开图为扇形．
　　设其圆心角为n°．
　　∴，∴n=180
　　∴此时圆锥的侧面展开图是个半圆．如图所示．

窗体顶端
选择题
1、如图，已知扇形OAB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于点D，则图中阴影部分的面积为（　）

A．6π　B．10π C．12π　　D．20π
2、若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm2，则扇形的弧长是（　）
A．5πcm　 B．20πcm C．40πcm　　D．10πcm
3、如图所示，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是（　）．

A．　B． C．　D．
4、如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　）

A．甲先到B点　　　　　　　B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B点　　　　D．无法确定
5、如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为（　）cm．

A．10π　　B．15π C．20π　　D．30π
6、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢?小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗?也请你算一算雨刷CD扫过的面积为（　）cm2（取π3.14）．

A．9420　　B．9419 C．9421　　D．9418
7、如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是（　）．

A．　　　 B．
C．　　　D．
8、如图，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥底面周长为36m．母线长8m，为防雨在粮仓顶部铺油毡，需铺油毡面积是（　）m2．

A．140　　B．144 C．145　　D．148
9、若圆锥和圆柱的底面半径都等于10cm，高为，则圆锥和圆柱的侧面积的比为（　）
A．1︰3　　B． C．1︰2　　D．
10、如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图(2)所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（　）

A．R=2r　　　B． C．R=3r　　　D．R=4r
窗体底端
B　卷
二、填空题
11、如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠．则小猫所经过的最短路线是m．

12、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是_________cm(不取近似值)．

三、解答题
13、如图，等腰直角△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，求图中阴影部分的面积(结果用π表示)．

14、如图所示，扇形OAPB的半径为20 cm，∠AOB=90°，以OB的中点M为圆心，OM为半径作圆，过点M作OA的平行线，交⊙M于点N，交于点P，则劣弧与NP围成的阴影部分的面积是多少?

15、一个扇形如图，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面．求圆锥底面半径和圆锥的高．

16、工人师傅要在如图所示的一边长为40cm的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆形和一块完整的扇形铁皮，使之恰好做一个圆锥形模型．
(1)请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案(画出示意图)；
(2)何种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高，求出此时圆锥模型底面圆的半径．

中考解析
弧长、扇形面积和圆锥的侧面积、全面积问题多数是利用恰当地设未知数、列方程的思想方法来加以解决。求阴影部分的面积多半用两种方法解决：一种是将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积的和或差；一种是恰当地引辅助线，将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积.
例1、（四川内江）如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中为，长为8cm，长为12cm，则阴影部分的面积为（    ）

　　　A．         B．              C．              D．
分析：阴影部分的面积为以OA为半径和以OC为半径的两个扇形面积的差．
解：S＝－＝ ，选（B）。
例2、(呼和浩特)从一个半径为3 cm的圆形纸片上取圆周的剪下一个扇形，将它围成一个圆锥(接缝处不重叠)，这个圆锥的高为________cm．
分析：
　　本题考查圆锥的侧面展开、剖面及扇形弧长等知识，利用图形进行分析．如图所示，因为圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，所以，解得r=1cm(r为圆锥底面圆半径)．在Rt△POA中，由勾股定理，得圆锥高．

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