几何视角下的定点问题的拓展与证明——以2022年高考乙卷理科第20题和《数学通报》问题2712、2713为例.pdf

2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究39几何视角下的定点问题的拓展与证明 以 2022 年高考乙卷理科第 20 题和 数学通报 问题 2712、2713 为例章海辉1,2陈玉青3张奇凤1,2王改红31.福建省厦门大学附属实验中学(363123)2.福建教育学院数学教育研究所(350025)3.宁夏回族自治区彭阳第一中学(756500)摘要本文从 2022 年高考乙卷理 20 题和 数学通报问题 2712、2713 出发进行了更一般的拓展,并给出了较为简洁的纯几何证明.关键词 圆锥曲线;定点问题;纯几何证明1 引言2022 年高考乙卷理科第 20 题以其高难度和深刻的几何背景成为众多学者研究的热点,如文 123.并进行了一定程度的推广,如:文 1 中作者把圆锥曲线的方程换成字母得出一般性的结论;文 2 中作者从解析几何的角度确定了定点的位置及坐标;文 3 中作者把过点 M 的直线从平行于圆锥曲线的对称轴推广到与圆锥曲线的切线平行的直线.2023年 3 月 数学通报 问题 27124和问题 27135也是同样背景下的定点问题.本文在上述研究的基础上,从几何的角度深入挖掘,进行了更一般的拓展与证明,即:1.对过点 M 直线的限制条件推广到任意一条过点 M 的倾斜角固定的直线;2.点 H 的位置更具一般性.具体见下文定理 1、2.为方便阅读,现摘录相关题目如下,并进行分析:题目一(2022 年高考乙卷理科第 20 题)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,对称轴为 x 轴,y 轴,且过 A(0,2),B(32,1)两点.(1)求 E 的方程;(2)设过点 P(1,2)的直线交 E 于 M,N 两点,过 M且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T,点 H 满足 MT=TH.证明:直线 HN 过定点.题目二(数学通报 问题 2712)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0),直线 l 与椭圆 C相切于第一象限内的点 A(x0,y0),与 y 轴交于点 P,过点 P的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,过 M 且平行于 PA 的直线与直线 y=y0交于点 T,点 H 满足 MT=TH.证明:直线HN 过定点.题目三(数学通报 问题 2713)如图 1,PA,PB 切圆于 A,B 两点,过 P 的直线交圆于M,N 两点,过 M 且平行于 PA 的直线与线段 AB 交于点T、交线段 AN 于点 H.求证:TH=TM.图 1分析 题目一和题目二的本源均是圆锥曲线背景下的定点问题,题目三的背景是特殊的圆锥曲线圆,题目三的条件和结论只是与题目二和题目一的条件和结论的互换,并无本质不同.2 主要结果引理6过圆锥曲线 E 外一点 P 作该曲线的两条切线,其切点分别为 A,B 两点,过点 P 的直线交 E 于 M,N 两点,与直线 AB 交于点 Q,则|PM|PN|=|QM|QN|.定理 1 如图 2,过椭圆 E 外一点 P 作椭圆的两条切线,其切点分别为 A,B 两点,过点 P 的直线 l 交 E 于 M,N 两点,过点 M 的倾斜角固定的直线 MT 与直线 AB 交于点 T,点 H 满足 MT=TH,则直线 HN 过定点.图 240中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)证明如图 2,过点 P 作直线 PS 平行于直线 MT,与直线AB 交于点 K,与直线 HN 交于点 K1.因为直线 MT 的倾斜角是确定的,所以直线 PS 的位置是确定的,即点 K 为定点.要证直线 HN 过定点,只需证点 K1与点 K 重合即可.如图 2,由 QMT v QPK 及 MT=TH 得|MH|PK|=2|MT|PK|=2|MQ|PQ|=2 2|PM|PQ|,由 NMH v NPK1得|MH|PK1|=|MN|PN|=|PN|PM|PN|=1|PM|PN|.由引理可得|PM|PN|=|QM|QN|=|PQ|PM|PN|PQ|,变形得|PN|PQ|PN|=|PQ|PM|PM|,即1|PQ|PN|=|PQ|PM|1,上式两边同乘|PM|PQ|变形得|PM|PN|=1 2|PM|PQ|,即1|PM|PN|=2 2|PM|PQ|,从而有|MH|PK1|=|MH|PK|,即点 K1与点 K 重合,故命题得证.注记 1当直线 MT 的倾斜角为 0 时,就是题目一的证明;当直线 MT 的倾斜角与切线 PA 的倾斜角相同时就是题目二的证明.注记 2根据射影几何知识有平行线被调和线束平分.即 l1,l2,l3,l4是调和线束,若 l/l1交 l2,l3,l4于A,B,C,则 B 为 AC 的中点.在定理 1 中由引理可知点列 M,N,P,Q 为调和点列,由射影几何中交比的不变性可知,调和点列与调和线束可相互转换,所以此时四条直线 KN,KQ,KM,KP 为调和线束.根据证明过程可知直线 HM/KP,交 KN,KQ,KM 于 H,T,M,从而有 MT=TH.此为定理 1 的本质特征.当 HM/AP 时,就是题目一、二、三的命题背景.定理 2 如图 3,过椭圆 E 外一点 P 作椭圆的两条切线,其切点分别为 A,B 两点,过点 P 的直线 l 交 E 于 M,N 两点,过点 M 的倾斜角固定的直线 MT 与直线 AB 交于点 T,点 H 满足 MT=TH,则直线 HN 过定点.图 3证明如图 3,过点 P 作直线 PS 平行于直线 MT,与直线AB 交于点 K,与直线 HN 交于点 K1.因为直线 MT 的倾斜角是确定的,则直线 PS 的位置是确定的,从而点 K为定点.令 PK=+12 PK,则点 K 为定点.要证直线 HN 过定点,只需证点 K1与点 K 重合即可.设直线 NK与直线 MT 交于点 H,由定理 1 可知,MT=TH,又 MT=TH,有 MH=+12 MH.所以有|MH|PK|=+12|MH|+12|PK|=|MH|PK|=2|MT|PK|=2|MQ|PQ|=2 2|PM|PQ|.由直线 PS 平行于直线 MT,与直线 HN 交于点 K1,有NMH v NPK1,从而得|MH|PK1|=|MN|PN|=|PN|PM|PN|=1|PM|PN|.由定理 1 的证明过程可得 1|PM|PN|=2 2|PM|PQ|,即有|MH|PK1|=|MH|PK|,即点 K1与点 K 重合,从而命题得证.由于引理对所有的圆锥曲线都成立,所以对于椭圆中的上述结论,在双曲线、抛物线及圆中同样成立,证明过程类似,在此不再给出.参考文献1 文贵贤.2022 年高考全国乙卷理科第 20 题解法探究以及推广 J.数学教学研究,2023,42(2):64-67.2 甘志国.对 2022 年高考全国乙卷解析几何解答题的推广 J.数理化学习(高中版),2023(1):20-23.3 齐建宏.2022 年高考全国乙卷解析几何试题的探究与拓展 J.数学通讯(上半月),2022(8):38-39.4 张培强.问题 2712J.数学通报,2023,62(3):63.5 唐传发,唐录义.问题 2713J.数学通报,2023,62(3):63.6(古希腊)阿波罗尼奥斯著,朱恩宽等译.圆锥曲线论(卷-)M.西安:陕西科学技术出版社,2018,6:198-199.