基于项目学习的综合与实践课探索与实践——以“数学与杆秤”为例.pdf

上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）专题依据义务教育数学课程标准（2022年版）对“综合与实践”领域的要求，以及对第四学段适当采用项目学习方式的建议，笔者围绕生活中常见的杆秤展开探讨.针对“杆秤粗细不均，刻度却是均匀的”这一现象，设计了以机理建模为核心的综合与实践课“数学与杆秤”.在这个项目学习的过程中，机理建模是指通过建立数学模型或物理模型来揭示事物内在原理和机理的过程.这是一个跨学科的概念，常见于科学、工程和数学等学科领域.机理建模侧重于揭示问题内在的原理，是数学建模的一种方式.本文基于杆秤的内在机理，探讨了如何设计以机理建模为核心的项目学习方式.通过实践操作、问题驱动和小组合作，引导学生在学习过程中全程参与，深入探究，最终得出可行的解决方案，从而深化学生对数学机理建模的理解和应用.一、项目前端可行性分析1.内容分析：明确核心内容，把握教学难度（1）分析机理，明确核心.基于物理学科中的力矩概念和力矩平衡原理，对杆秤在两个状态下（空盘和有称重）的机理进行深入分析，获得数学表达，并对其进行公式变形，选择变量，构建相关模型，解释模型.由此，可以确定该项目的核心是对杆秤进行机理分析，并建立数学模型.（2）把握教学难度，采取合适策略.由于建模过程中涉及定积分，这对初中生来说是一个陌生的概念.因此，将定积分的概念转化为无限等分累加，以便学生更容易理解.在分析杆秤支点两端对于支点的力矩时，先计算出各个等分部分的力矩，再相加得到合力矩.2.学情分析：关注学生反馈，满足个性需求本项目实施的对象是九年级学生.学生在小学六年级时已经学习过杆秤的构成和制作，具备了解决杆秤中的数学问题的认知基础.同时，学生已经学习了一次函数和杠杆原理，能用一次函数模型来刻画匀速变化的过程.但是力矩的概念和力矩平衡原理是学生后期才会学习的内容，目前学生仅具有初步理解和应用的能力.因此，在实践中，教师需要设计不同难度的问题或不同层次的拓展活动以满足不同学生的学习需求.戴秀梅，郑定伟（浙江省杭州市拱墅区教育研究院；浙江省杭州市风华中学）摘要：以“数学与杆秤”为例，从内容分析、学情分析、问题设计和思维保障等维度对该项目进行了前端分析，在明确了学习目标和学习形式后，有效地引入了数学机理建模.通过教学实践，促进了学生对数学机理建模的深入理解和应用.关键词：项目学习；机理建模；综合与实践；核心素养中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）02-0039-05引用格式：戴秀梅，郑定伟.基于项目学习的综合与实践课探索与实践：以“数学与杆秤”为例 J .中国数学教育（初中版），2024（2）：39-43.基金项目：浙江省2022年度教育科学规划课题项目学习融入初中数学教材的行动路径与实践策略研究（2022SC334）；浙江省2024年度教育科学规划课题指向学科实践的初中数学学习模型建构与应用研究（2024SC015）.作者简介：戴秀梅（1975），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究；郑定伟（1994），男，中学一级教师，主要从事初中数学教育教学研究.基于项目学习的综合与实践课探索与实践以“数学与杆秤”为例 39上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）专题3.问题设计：问题驱动引领，鼓励自主探究问题设计是项目学习的关键.它能引领学生自主探究，驱动学生思考.在本项目中，学生通过观察实物发现杆秤的刻度虽然均匀但是粗细不均，引发认知冲突.由此，学生提出驱动性问题为什么杆秤粗细不均，刻度却是均匀的？并以此问题驱动学生探究学习，使学生逐步深入理解杆秤内在蕴含的力学原理和数学模型，进而培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.4.思维保障：搭建学习支架，分层推进项目在本项目中，学生直接解决杆秤中的数学问题比较困难，故将建构模型的过程拆解成两个环节，即先在理想状态下（不考虑杆秤的粗细和质量）研究，再过渡到真实情境中类比研究，为学生的思维设置支架.同时，在理想状态下对杆秤进行分析时，教师可以设计由浅入深的问题串驱动学生思考，以确保项目顺利分层推进.二、项目的设计1.确定教学目标（1）通过查阅文献收集杆秤的相关资料，认识杆秤，结合物理、历史等跨学科知识深入了解杆秤的使用原理、制作工序和文化内涵.（2）结合跨学科知识对杆秤进行分析，观察杆秤的特征，发现和提出杆秤中涉及的数学问题，提高学生的抽象能力.（3）经历提出问题、搭建模型、求解模型、应用模型的过程，培养学生的模型观念.（4）借助数学模型进行杆秤的设计与制作，并对作品进行优化，培养学生的综合实践能力和创新意识.2.设计教学形式由于本项目学习过程中涉及跨学科知识，因此可以由数学教师和物理教师协作完成本项目的教学.本项目可以分3个课时完成.第1课时：介绍杆秤中蕴含的跨学科知识，分享关于杆秤在民间的应用和文化传承，使学生深入了解杆秤的使用原理、制作工序和文化内涵.第2课时：利用数学、物理等学科知识对杆秤进行机理分析，搭建模型，求解模型.第3课时：应用拓展，创意设计，即应用模型设计、制作具有创意和文化特色的杆秤.本项目的学习形式结构图如图1所示.3.评价设计项目学习是一个动态、多方参与的学习过程.对于“数学与杆秤”这一项目学习课程，采用多元评价与过程评价相结合的评价方式.在完成教学目标的基础上，要明确学生对模型构建的一般过程的理解.评估方案如下.图1“数学与杆秤”的学习形式结构图聚焦问题提出提炼关键问题合作探究与确定研究思路学生核心素养发展数学与杆秤迁移应用展示反思作品展示交流反思总结提炼搭建模型求解模型解释模型支架设立机理分析探究原理数学文化物理 40上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）专题第一，评价任务设计，如表1所示.目标1（基础）目标2（中等）目标3（中等）目标4（挑战）评价任务1发现杆秤中的数学问题依据平衡原理列方程能够根据力矩平衡原理列出现实情境下的方程根据分析结果，解释杆秤粗细不均，刻度却均匀的现象评价任务2发现杆秤的刻度均匀描述杆秤的平衡条件通过分析和计算，口述问题解决方案分析得到的模型，发现一次函数关系评价任务3发现杆秤的粗细不均现象小组分享杆秤平衡的内部机理得到一次函数模型对一个无刻度的杆秤标记刻度表1评价任务设计【设计意图】表1中的评价任务和目标很好地体现了学生在杆秤学习过程中不同阶段的思维发展和理解水平.从发现问题到建立模型再到解决挑战性问题，每个目标都有相应的任务和测评来确保学生的学习进度和能力发展.测评方式多样，既包括口头描述，也包括方程和函数模型的建立，能够全面评估学生的学习情况.这样的测评任务设计有助于学生全面理解杆秤中蕴含的原理和数学模型的建立，能够激发学生的探索能力和思考能力.第二，其他测评反馈设计，如表2所示.表2其他测评反馈设计测试内容（1）杆秤相关资料的收集与分享；（2）整理资料，发现数学问题；（3）机理分析，建立模型；（4）模型的相关拓展与运用建模过程中遇到的问题（1）杆秤中涉及的数学问题有哪些？（2）杆秤的力矩如何表示？（3）函数关系的现实意义是什么？【设计意图】表2中的测试内容设计旨在让学生在项目学习过程中得到全面发展，从了解背景到发现问题再到分析机理建模，最后拓展应用模型.教师的角色是学生成长的引导者，在项目学习过程中观察、记录学生的表现，帮助学生克服困难，实现针对学习过程的评价.这种设计有助于培养学生自主学习、问题解决和数学建模的能力.三、项目的实施下面以该项目学习的第2课时为例，介绍项目的具体实施过程.1.课时教学目标及解析基于该项目学习的教学目标和学情分析，确定本节课的课时教学目标，具体如下.（1）课时教学目标.观察杆秤的特征，尝试发现和提出杆秤中的数学问题；（基础目标）通过对杆秤系统内部机理的分析，理解杆秤中的平衡原理；（中等目标）能用力矩平衡原理建立数学模型；（中等目标）能用模型解释“杆秤刻度均匀”这一现象，并能灵活应用模型解决问题.（挑战目标）（2）目标解析.达成课时目标的标志是：发现杆秤刻度是均匀的，能结合实际提出数学问题为什么杆秤粗细不均，刻度却是均匀的？达成课时目标的标志是：通过查阅资料、小组讨论、请教老师等方式，发现杆秤平衡的内部机理，即在平衡状态下，合力矩为0；达成课时目标的标志是：能分析理想状态和现实状态下的杆秤平衡原理，依据力矩平衡原理建立一次函数模型；达成课时目标的标志是：通过分析一次函数模型，能解释“杆秤刻度均匀”这一现象，并能应用模型标记杆秤的刻度.2.关键环节设计环节1：聚焦杆秤中的数学问题.问题1：杆秤中涉及的数学知识和方法有哪些？学生纷纷发表见解，教师对学生的发言给出评价，并引导学生聚焦其中涉及的数学问题：为什么杆秤粗细不均，刻度却是均匀的？41上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）专题【设计意图】将学生前期研究的杆秤问题进行分类，引导学生聚焦杆秤中的数学问题，培养学生的分类能力及提出问题的能力.环节2：机理分析，建立模型.活动1：观察实物杆秤，分析杆秤的构造.师生活动：教师展示杆秤实物，学生观察实物，并画出杆秤的示意图.学生代表上台展示杆秤的示意图，并介绍杆秤的基本构造.活动2：跨学科学习，由物理教师普及力矩的相关知识.力矩M表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量.力和力臂的向量积叫做力对转动轴的力矩.如图2，F1，F2分别表示作用于杠杆两端点的力，L1，L2分别表示F1，F2作用于支点的力臂，即M=FLL1L2F2F1F1F2L1L2图2（a）（b）力矩平衡原理：如果一个物体所受到的合力矩的代数和是0，那么就说这个物体处于力矩平衡状态.有固定转动轴物体的平衡条件是合力矩为0.图2中的合力矩可以表示为F1L1+F2L2=0.不考虑方向，只考虑代数和，可得F1L1=F2L2【设计意图】为了补足目标差距，由物理教师介绍杆秤中涉及的力矩的概念和平衡原理，让学生有足够的物理基础知识去探究和解决杆秤中的数学问题.活动3：探究理想状态下（忽略杆秤的质量）杆秤刻度均匀的机理.问题2：如图3，mc表示秤砣的质量，lc表示秤砣到支点O的水平距离，md表示秤盘的质量，ld表示秤盘到支点O的水平距离.当秤盘里不放物品，且杆秤处于水平平衡状态时，秤砣和秤盘对点O的力矩各是多少？ldlcm mc clBOABlAm md d图3生1：利用力矩的计算公式，可得秤砣对点O的力矩是mcglc，秤盘对点O的力矩是mdgld.追问：当杆秤处于水平平衡状态时，能得到什么结论？生2：由力矩平衡原理，可得mcglc=mdgld.问题3：如图4，在秤盘中加入物体，物体的质量为m，且杆秤达到水平平衡状态时，该如何分析？mdldlcltlB零刻度OlAm mc cABm图4生3：类比研究，先表示出秤砣、秤盘和物体分别对支点O的力矩，再利用力矩平衡原理，可得mcglt=mdgld+mgld.追问1：观察得到的两个杆秤平衡状态下的式子，你有什么发现？生4：两个等式右边都有mdgld，可作差，得mcglt-mcglc=mgld.变形，可得mcg()lt-lc=mgld.将等式两边同时除以g，得mc()lt-lc=mld.追问2：对于特定的杆秤，哪些量是确定的，哪些量是变化的？生5：mc，lc，ld是确定的，lt，m是变化的.追问3：可以用哪个数学模型来刻画？生6：将mc()lt-lc=mld变形，得lt=ldmcm+lc.可知lt是关于m的一次函数.【设计意图】对于复杂的问题，先从理想状态下开始分析，会使学生更容易接受.因此，在构建模型之前，教师以问题串的形式不断追问，给学生提供明确的操作指向，再引导学生思考杆秤称重时的情形.问题4：在现实状态下（考虑杆秤的质量，且秤杆粗细不均），当杆秤达到水平平衡时，杆秤自身对支点的力矩是多少，该如何分析？追问：如何分析杆秤的OA部分对支点的力矩？师生活动：学生小组讨论，教师适当给予指导.学生共设计出两个方案：一是借助秤杆的重心代替计算力矩；二是借助无限等分思想来计算杆秤自身对支点的力矩.42上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）专题生7：将OA部分n等分，则每份的质量分别为m1，m2，mn，且其到支点 O 的水平距离分别为 x1，x2，xn，故合力矩可以表示为m1gx1+m2gx2+mngxn.令y1=m1gx1+m2gx2+mngxn；同理，将OB部分n等分，令OB部分对支点O的合力矩为y2.活动4：类比理想状态下的问题分析和解决思路来探究现实状态下杆秤刻度均匀的机理.师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，由学生代表发言，教师适当予以引导.生8：考虑空盘和有称重时杆秤的水平平衡状态，分别得到关系式mcglc+y2=mdgld+y1和mcglt+y2=mgld+mdgld+y1.观察两个式子，将其变形，分析变量，得lt=ldmcm+lc.亦可以得到lt是关于m的一次函数.对比理想状态和现实状态下得到的模型，发现杆秤粗细是否均匀与刻度均匀无关.【设计意图】在现实状态下，杆秤自重对支点也会产生力矩，如何计算杆秤自重对支点的力矩对学生而言是难点.通过设置一系列问题，引导学生聚焦到如何求解OA部分对于支点的力矩，借助无限等分思想累加进行解决，最后利用理想状态下的研究思路解决问题，体现从一般到特殊的研究复杂问题的方式，加深了学生对“无论杆秤粗细是否均匀，其刻度都是均匀的”这一现象的理解.活动5：利用函数模型确定杆秤的零刻度线和杆秤的最大量程.学生借助所求解的一次函数模型，可知lc的长度就是零刻度线到支点O的距离.通过测量杆秤末端到提绳的距离，将数值代入一次函数模型，则可以求解出m的最大值，即最大量程.【设计意图】应用一次函数模型，计算确定杆秤的零刻度线和最大量程，发展学生的应用意识和模型观念.四、基于项目学习的教学策略1.分层合作，问题驱动，以学生为主体分层合作：根据学生的不同水平和学习需求，分组展开活动，让学生在合作中相互辅导和帮助，发挥团队中每个成员的优势，实现优势互补.问题驱动：让不同水平和专长的学生围绕学习任务进行协作，探索发现数学问题，提出具有挑战性和启发性的问题，激发他们的思维深度和创造力.学生主体：鼓励学生主动提出问题，自主探索，自主选择研究方向和方法.2.拆解项目，创设情境，打破知识壁垒拆解项目：将整个项目拆解成多个阶段或子项目，并为每个阶段设置清晰的目标和任务，让学生逐步深入理解和解决问题.创设情境：通过引入不同的情境和实际场景，激发学生的学习兴趣和参与度.可以利用视频、实地考察、咨询专家等方式，让学生从不同角度去理解和应用知识.跨学科联动：与其他学科教师或专家合作，实现跨学科联动.例如，本项目中与物理教师合作，让学生同时了解杆秤中的物理原理，丰富学习的维度.3.重视过程，阶段评估，促进学生全程参与全程参与：引导学生积极参与项目学习的全过程，从活动准备、项目实施到作品展示，全方位引导学生参与和体验.阶段评估：在项目的不同阶段进行评估，以确保学习效果.评估包括学生参与学习的态度、项目学习的相关准备和实施、作品展现等方面.多元评价方式：采用多元化的评价方式，包括学生自评、互评、师评等，促进学生在评价过程中成长和反思.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2王红权.项目学习：初中数学跨学科综合实践的主要方式 J.中国数学教育（初中版），2022（9）：10-14.3倪晓阳，陈宇，盛伟敏.初中数学项目学习案例设计：探寻日晷中的数学 J.中国数学教育（初中版），2022（9）：33-41.43