基于情境·突出本质·落实素养——2023年中考“图形与坐标”专题命题分析.pdf

上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南平面直角坐标系中的点或简单图形可以用数、字母、有序数对及坐标来表示，建立了图形与坐标的对应关系，实现了数与形的完美结合.图形的大小及有规律的运动也能用坐标间的关系进行刻画，开创了图形的量化研究.因此，“图形与坐标”内容不仅是学生在初中阶段所学的基础知识，更是认识和研究图形的重要载体，是进一步学习解析几何、向量几何的基础.“图形与坐标”内容的考查通常分为三类：在平面直角坐标系中直接考查相关概念及点的坐标；与函数或者几何图形相结合进行综合考查；创设生活情境或者新定义情境，考查运用数形结合思想分析问题和解决问题的能力.掌握“图形与坐标”内容，能够提高学生运用数形结合思想方法分析问题和解决问题的能力，考查学生的几何直观、空间观念、抽象能力、运算能力、推理能力等.为了更好地归纳与发现2023年全国各地区初中学业水平考试（以下统称“中考”）数学试卷中的“图形与坐标”试题的命题特点和创新点，以2023年中考数学试卷作为研究对象，从省级单位命制的中考数学试卷（以下统称“省卷”）中抽选出有代表性的17份试卷，从市级单位命制的中考数学试卷（以下统称“地方卷”）中抽选出尽可能覆盖全国范围的17份试卷，分别从考查内容、命题意图、命题结构等方面进行分析，并提供适量的模拟题，给出相应的复习教学建议，为一线复习教学提供参考.一、考查内容分析义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称标准）中，初中阶段“图形与几何”领域包括“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题.学生在进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形、圆等几何图形的基础上，从演绎证明、运动变化、量化分析三个不同的角度研究这些几何图形的基本性质和相互关系.其中，“图形与坐标”强调数形结合，从代数的角度认识几何图形，用代数方法研究几何图形，在平面直角坐标系中用坐标表示图形上点的位置，用坐标法分析和解决实际问题.“图形与坐标”主题包括图形的位置与坐标和图形的运动与坐标两个方面.图形的位置与坐标要求在平基于情境突出本质落实素养2023年中考“图形与坐标”专题命题分析陈莉红，曹经富，刘洪居（江西省教育厅教学教材研究室；江西省吉安市白鹭洲中学；江西省于都县教研室）摘要：对2023年中考数学试卷进行抽样，针对其中的“图形与坐标”试题从考查内容、命题意图、命题导向等角度展开分析和归纳，并提出复习教学建议.关键词：图形与坐标；命题分析；模拟试题；复习建议中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）02-0004-10引用格式：陈莉红，曹经富，刘洪居.基于情境突出本质落实素养：2023年中考“图形与坐标”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2024（2）：4-13.基金项目：江西省中小学教育教学课题基于核心素养下数学试题评价与命制研究（JASX2023-0558）.作者简介：陈莉红（1973），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学、教材及考试评价研究；曹经富（1972），男，中学高级教师，主要从事初中数学课堂教学和命题研究；刘洪居（1977），男，中学高级教师，主要从事初中数学课堂教学和考试评价研究.4上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南面直角坐标系中会用坐标表示点的位置，能用坐标描述（刻画）简单几何图形的位置及大小（长度、角度、距离、面积等），能运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置，理解平面上的点与坐标之间的一一对应关系.图形的运动与坐标要求会用坐标表达图形的变化（轴对称、旋转、平移）、简单图形的性质，了解、体会在轴对称、平移、旋转、位似变化过程中图形对应顶点坐标之间的关系与变化，感悟通过几何建立直观、通过代数得到数学表达的过程，在这样的过程中学会用数形结合的方法分析和解决问题；要求在具体现实情境中，学会从几何的角度发现和提出问题，经历借助平面直角坐标系解决现实问题的过程，提升几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等.通过对抽样的17份省卷及17份地方卷进行整理、分析，可以看出，各地中考试卷中考查“图形与坐标”内容的比例与课程标准的要求保持一致，内容分值占比与该部分知识所占课时比例基本吻合，考查题型基本覆盖了选择题、填空题和解答题.其中，选择题、填空题多以直接考查基础知识和基本技能为主，属于容易题或中档题，解答题通常会跨领域进行综合考查，如与函数综合用坐标法解决问题等.对抽样的17份省卷进行整卷分析，发现“图形与坐标”试题在整卷中的题量分布一般在15道，其中有11份试卷中只有12道，有5份试卷中为34道；另外，“图形与坐标”试题的分值在整卷中的分值占比约为 4.2%24.2%，多数分值占比为 6.1%18.0%，河北卷中的分值占比最高，达24.2%，说明图形与坐标内容的考查分布较广，与其他知识综合考查的频次较多.对抽样的17份地方卷进行分析，发现“图形与坐标”内容在整卷中的题量分布与省卷基本相同，一般在15道，其中有9份试卷中为12道，有7份试卷中为34道，四川南充卷最多，有5道题.“图形与坐标”试题在整卷中的分值占比约为5.0%22.7%，多数分值占比为6.1%18.0%.整卷中只有一道图形与坐标试题，分值在整卷占比超过7%的试题，通常综合性更强，难度更大，大多数涉及新定义类、几何综合类或函数问题.这类试题将坐标作为图形量化研究工具，是探究几何图形、函数图象及性质的一种重要手段、方法和途径，这对学生后续数学学习与发展有很大帮助.在抽样的省卷和地方卷中，“图形与坐标”试题在考点分布、题型运用、题量的选择上较为接近.从整体来看，图形的位置与坐标试题的考查频次高于图形的运动与坐标试题，且题型侧重选择题和填空题，而图形的运动与坐标试题侧重通过解答题进行综合考查.二、命题特点分析标准对学业质量标准和试题命制原则等方面提出了明确的要求.2023年全国各地区中考数学试卷的命制以标准为导向，在试题的命制方面做了积极探索.下面主要从命题意图和命题导向两个方面对个别试题的命题特点进行分析.1.命题意图分析“图形与坐标”内容具有基础性、综合性和应用性等特征，重点考查学生的几何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等.因此，在往年着重考查图形与坐标基础知识的同时，2023年中考命题更加关注“图形与坐标”与其他领域知识的综合考查，注重在实际情境中构建平面直角坐标系，用坐标表达图形的位置，刻画图形的性质与变化，在分析和解决实际问题的过程中充分体现素养立意.主要体现在以下几个方面.（1）在真实生活情境中构建平面直角坐标系，关注用坐标表达图形的位置，考查几何直观、空间观念.标准提出了“强化情境设计”的要求.对于“图形与坐标”试题的命制，可以结合现实生活情境，让学生体会与理解用有序数对表示物体的位置，考查“有序数对”与“点的位置”之间的对应关系，进而感悟图形的数量关系与位置关系的内在联系，理解图形与坐标的本质是一一对应关系.2023 年中考的很多“图形与坐标”试题创设了丰富的贴近学生生活的情境，并通过现实情境的抽象及平面直角坐标系的构建考查学生的抽象能力、几何直观、空间观念等.例1（河北卷）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图1，西柏坡位于淇淇家南偏西70的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）.5上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南西柏坡淇淇家70东北图1（A）南偏西70方向（B）南偏东20方向（C）北偏西20方向（D）北偏东70方向答案：D.考查目标：理解方位角的概念，在平面上会运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.命题意图：此题以革命圣地西柏坡为背景，通过构建平面直角坐标系及方位角的概念，表达两个物体的相对位置，使学生体会位置表达的多样性，考查抽象能力和空间观念.命题评价：此题情境设置自然、真实，题干表达简洁、清晰，在简单熟悉的情境中考查对知识的直接应用.此类试题常以选择题或填空题的形式呈现，相对比较简单.类似的2023年中考试题有江苏连云港卷第13题、重庆卷第24题等.例2（贵州卷）图2是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（-2，7），则龙洞堡机场的坐标是.正北2号线喷水池贵阳北站贵阳火车站1号线龙洞堡机场图2答案：（9，-4）.考查目标：能在平面直角坐标系中根据点的坐标确定点的位置，能根据点的位置写出点的坐标.命题意图：此题以城市轨道交通运营部分示意图为背景，考查点的位置与坐标的一一对应关系，要求能根据已知点的坐标写出所求点的坐标，从中体会平面上的点与坐标的一一对应关系，感悟数学的本质，考查抽象能力和空间观念.命题评价：虽然例2与例1考查的知识点不同，但本质都是基于真实情境设计适当的问题，引导学生经历通过坐标来刻画图形的位置关系的过程，使学生感悟数形结合思想的意义，实现对抽象能力、空间观念、几何直观等素养的考查，发展推理能力，培养应用意识和创新意识.类似的2023年中考试题中，浙江台州卷第6题、山东枣庄卷第13题等都是在真实情境中构建平面直角坐标系求解相关点的坐标.（2）在图形变化过程中关注坐标对变化过程与结果的描述，考查数形结合思想和推理能力.在平面直角坐标系中，图形发生平移、轴对称、旋转、位似变化前后，对应点的坐标均存在一定规律.掌握这些规律是解题的关键.例3（浙江嘉兴卷）如图3，在直角坐标系中，ABC的三个顶点分别为A()1，2，B()2，1，C()3，2，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与ABC的位似比为 2 的位似图形ABC，则顶点 C的坐标是（）.图3OBACBCAxy（A）()2，4（B）()4，2（C）()6，4（D）()5，4答案：C.考查目标：考查三角形的位似变化前后点的坐标的关系.命题意图：此题将三角形放置在平面直角坐标系中，通过位似变化来设置问题，引导学生经历用坐标表达图形变化的过程，考查学生的数形结合、几何直观和推理能力.除此之外，还可以与轴对称、平移、旋转等结合考查点的坐标的变化规律，在试题的呈现形式上各有不同.例如，山东聊城卷第8题将三角形 6上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南作轴对称和平移变化与点的坐标结合考查，湖北荆州卷第9题结合三角形旋转前后的对应线段关系求点的坐标，都体现了对基础知识的关注，落实了综合性的命题要求.辽宁本溪卷第15题以教材习题（如北师大版义务教育教科书数学九年级上册第117页的随堂练习）为素材进行改编，引领一线教师回归基础，重视教材，加深对教材内容的进一步理解和挖掘，以评价促进课堂教学的正向发展.命题评价：对图形的运动与坐标内容的考查，在图形形状及变换方式的选择上均具有多样性，且与图形的性质、函数等内容均可实现联系，所以此类试题的呈现方式丰富多样，且具有一定的综合性.此类试题紧扣“变换方式与其对应的坐标变化规律”这一本质，实现对空间观念和推理能力的考查.类似的2023年中考试题有湖南怀化卷第5题、浙江金华卷第8题、浙江绍兴卷第7题、山东滨州卷第12题、山东烟台卷第10题、湖南张家界卷第14题等.（3）结合图形的性质，考查用坐标描述（刻画）简单几何图形的位置及大小（长度、角度、距离、面积等）.标准明确指出，对于给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形，明确了“用坐标表达图形”的基本要求.这一要求主要体现在两个方面：一是由图形的性质写出点的坐标；二是由点的坐标刻画几何图形的形状、大小.例4（天津卷）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A()3，0，B()0，1，D()2 3，1，矩形EFGH的顶点E0，12，F-3，12，H0，32.（1）填空：如图4，点C的坐标为，点G的坐标为；（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形EFGH，点E，F，G，H的对应点分别为E，F，G，H.设EE=t，矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分的面积为S 如图5，当边EF与AB相交于点M，边GH与BC相交于点N，且矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当2 33t11 34时，求S的取值范围（直接写出结果即可）FGHEBOADCxyE MH N图5FGHEBOADCxyE图4答案：（1）()3，2，-3，32.（2）S=t-34，t的取值范围是32t 3.316 S 3考查目标：此题考查在平面直角坐标系中，能写出矩形、菱形的顶点坐标，可以用坐标或代数式表达简单图形的大小等知识.命题意图：借助矩形、菱形中相关点的坐标关系及图形性质得到相应图形的位置关系与大小关系，在考查学生基础知识和基本技能掌握情况的同时渗透了对几何直观和数形结合思想的考查.命题评价：此题将特殊几何图形放置于平面直角坐标系中，要求通过坐标来表达图形的位置或性质，从中感悟几何直观，通过代数推理得到数学表达.在这个过程中，学生感悟数形结合思想，学会用数形结合的方法分析和解决问题.此类试题一般以中档题和稍难题为主，类似的2023年中考试题有浙江丽水卷第5题、湖南衡阳卷第13题、黑龙江齐齐哈尔卷第17题、湖南张家界卷第14题、山东烟台卷第10题等.（4）以函数图象为载体，突出坐标表达，综合考查数形结合、空间观念、推理能力.以函数图象为载体，一是借助函数图象上的点的坐标可以实现点的横、纵坐标与该点到坐标轴的距离的数与形之间的相互转化，进而求解相关坐标、线段长、函数解析式中的系数，或列出相关的关系式；二是根据几何图形与函数图象的交点问题关联方程、不等式等知识，突出任务设计的综合性、探究性和开放性 7上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南例5（山西卷）综合与探究.如图6，二次函数y=-x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点 A，经过点 A 的直线与该函数图象交于点B()1，3，与y轴交于点C.图6OCAxyB（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标.（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PEOx于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m 如图7和图8，当PD=12OC时，求m的值；图8EOBCAxy图7EDOPCAxyDPB 如图 9，当点 P 在直线 AB 上方时，连接 OP，过点B作BQOx于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED 的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值图9QEDFOBPCAxy答案：（1）直线AB的函数表达式为 y=-x+4，点C的坐标为()0，4.（2）m的值为2或3或5-172；S=-m2+5m-4，当m=52时，S取得最大值，最大值为94.考查目标：此题考查了函数的图象与性质、函数与方程的关系、几何图形的性质等知识.命题意图：此题以函数图象为载体，通过函数图象上点的运动，关注运动过程中形成的特殊线段的大小、特殊图形的面积等关系，用坐标法进行代数表达，求解相关点的坐标及面积最值问题，综合考查了动点坐标的表示及相关线段长的表示、函数与方程的联系等，渗透了数形结合、分类讨论等数学思想，以及对运算能力、推理能力、几何直观、模型观念等的关注.命题评价：在平面直角坐标系中，以函数图象为载体的综合题，往往通过图形的关键位置与坐标之间的对应实现量化表达，即根据已知条件和图形性质求出几何量，转化成点的坐标，或者是由相关点的坐标转化成几何量.常见的设问形式：一是求函数表达式及相关点的坐标，体现函数与方程的联系，渗透代数推理；二是点的坐标与线段长度之间相互转化，渗透数形结合思想；三是运用图形的性质特征进行推理，为数学模型的构建及运算找到依据，彰显问题的探究性和综合性.此类试题难度在中等以上，有的甚至作为压轴题呈现.类似的2023年中考试题有重庆卷第25题、福建卷第24题、安徽卷第23题、江苏苏州卷第27题等.2.命题导向分析标准中对“图形与坐标”的“学业要求”中指出：“能用坐标描述简单几何图形的位置；会用坐标表达图形的变化、简单图形的性质，感悟通过几何建立直观、通过代数得到数学表达的过程.在这样的过程中，感悟数形结合的思想，会用数形结合的方法分析和解决问题.”由此可见，数形结合是“图形与坐标”专题的核心思想和关键能力.标准在“教学建议”中也提出了“强化情境设计与问题提出”，这对学生主动参与教学活动具有促进作用.以此为导向，各地命题者在“图形与坐标”试题的命制上谨慎探索，尝试创新，具体体现在以下几个方面.（1）注重情境设计的真实性、公平性和适切性.创设真实情境，可以培养学生的抽象能力，增强 8上半月（初中版）2024年第2期（总第303期）中考指南学生的应用意识和实践能力，让学生感受数学在现实世界中的广泛应用.2023年中考很多省卷和地方卷中都有关于“图形与坐标”的创新试题，体现了情境的真实性和适切性.例6（山西卷）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形（如图10）.图11是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为P()-2 3，3，Q()0，-3，则点M的坐标为（）.QMOPxy图11图10（A）（3 3，-2）（B）（3 3，2）（C）（2，-3 3）（D）（-2，-3 3）答案：A.考查目标：此题考查在给定的平面直角坐标系中根据点的坐标与点的位置的对应关系，能写出给定位置的点的坐标，综合运用正六边形的性质和全等图形的性质求解.命题意图：此题以生活中的蜂巢为素材，从中抽象出正六边形，并构建适当的平面直角坐标系，进行点的坐标运算，考查了数形结合思想、运算能力、推理能力及几何直观等，体现了数学来源于生活.命题评价：此题情境创设鲜活、美观，设问简洁，解题方法灵活多样.此类试题的命制大多数以生活中的图景或几何图形为背景，将相关图形的形状、位置及大小与平面直角坐标系融合，通常以选择题或填空题的形式呈现，难度不大.类似地，山东临沂卷第4题以小区的圆形花园为情境，创设两条互相垂直的小路，考查成轴对称的两点的坐标特征.（2）注重任务设计的创新及问题的开放.从命题的角度来说，情境设计、任务设计、素养表现通常是体现试题创新程度的三个核心要素.对于考查基础知识和基本技能的基础性试题的命制，从任务设计这一要素出发，对试题的设问方式、设问角度及结果的开放性等的创新设置，既实现了试题的原创性要求，也能充分体现对课堂教学的导向作用.例7（河北卷）如图12，已知点A()3，3，B()3，1，反比例函数y=kx()k 3，且m 4.（2）a 4.当a=2+22时，PE+PF取得最大值.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2 史宁中，曹一鸣 义务教育数学课程标准（2022年版）解读 M.北京：北京师范大学出版社，20223王尚志.课程标准案例式导读与学习内容要点 M.长春：东北师范大学出版社，2012.4陈莉红.2019年中考“数与式”专题命题分析 J .中国数学教育（初中版），2020（1/2）：25-33.5陈莉红，刘洪居，曹经富.关注新变化聚焦核心素养：2022年中考“函数”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2023（3）：36-49.13