第十八届中国北方数学邀请赛第9题探究及拓展.pdf

2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究23第十八届中国北方数学邀请赛第 9 题探究及拓展安徽省合肥一六八中学(230601)范 忠王中学2023 年第十八届中国北方数学邀请赛第 9 题是一道圆锥曲线中的定点问题,考查了双曲线的基本性质,也考查了分析问题、解决问题的能力尤其是运算求解能力.本文对其进行探究,并给出一般性的结论.一、试题呈现题目(2023 年第十八届中国北方数学邀请赛第 9 题)给定双曲线 C:x2a2y2b2=1(a 0,b 0),过点 B(0,1)的直线交双曲线 C 于 P,Q 两点,试问:双曲线 C 上是否存在定点 A,使得直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值?若存在,求出定点 A 的坐标;若不存在,请说明理由.图 1解 由题意可设直线 PQ 的方程为:y=kx+1.将其与双曲线方程联立得:(b2 a2k2)x2 2a2kx a2(b2+1)=0,其中 cb2 a2k2=0,由=(2ka2)2+4(b2 a2k2)a2(b2+1)0解得 b2 a2k2+1 0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2ka2b2 a2k2,x1x2=a2 a2b2b2 a2k2,()设点 A(x0,y0),则kAP+kAQ=y1 y0 x1 x0+y2 y0 x2 x0=(x2 x0)(kx1+1 y0)+(x1 x0)(kx2+1 y0)x1x2 x0(x1+x2)+x20=2kx1x2+(1 y0 kx0)(x1+x2)2x0+2x0y0 x1x2 x0(x1+x2)+x20=2a2b2k 2a2ky0 2b2x0+2x0y0b2 2a2k2x0y0a2 a2b2 2a2kx0+b2x20 a2k2x20,其中最后一个等号是据()得到.假设直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 t,则kAP+kAQ=2a2b2k 2a2ky0 2b2x0+2x0y0b2 2a2k2x0y0a2 a2b2 2a2kx0+b2x20 a2k2x20=t,所以 2a2b2k 2a2ky0 2b2x0+2x0y0b2 2a2k2x0y0=(a2 a2b2 2a2kx0+b2x20 a2k2x20)t,评析对 aex1 lnx+lna 1 中指数项对数项分开得 aex1+lna 1 lnx,对 a 统一形式为 lna,得ex+ln a1+lna1 lnx,两边各加x得eln a+x1+lna+x1 x+lnx,变形得同构式eln a+x1+lna+x1 eln x+lnx,可构造外部函数 g(x)=ex+x.本题还可变形成同构式 eln a+x1+lneln a+x1 x+lnx,再构造外部函数g(x)=x+lnx.借助外部函数单调性建立参数 a 与变量 x的关系.外部函数具有降阶的作用.三、感悟关注函数形式,单调性和零点,函数形式指的是函数由哪些初等函数复合而成及各部分间的关联.这道题参数不易分离,且为隐零点问题,可以巧设零点,借助导函数建立参数与零点的关系,再进一步构造函数求参数范围,从解法一到解法四均采取这种策略.解法 5 能敏锐的捕捉到函数不等式中的同构关系,构造外部函数,对函数降阶,求出参数范围.构造函数时要充分结合初等函数的导数特点,构造出的函数要易于判断单调性和零点,比如 lnx+ex f(x)(f(x)含参数),可根据解法 2 对指数函数的处理方法将其变形为1 f(x)lnxex,再令 g(x)=f(x)lnxex,g(x)=f(x)1x f(x)+lnxex,再构造 h(x)=f(x)1x f(x)+lnx,故只要考虑 h(x)的单调性和零点,这里已不含 ex,复杂性降低,接下来关注 h(x)单调性及零点,建立参数与零点间的关系,进行消参,求零点范围,进而求参数范围.24中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)即(2a2x0y0 a2x20t)k2+(2a2b2+2a2y0 2a2x0t)k+2b2x0 2x0y0b2 a2t a2b2t+b2x20t=0.因为与直线 PQ 的斜率无关,所以2a2x0y0 a2x20t=0,2a2b2+2a2y0 2a2x0t=0,2b2x0 2x0y0b2 a2t a2b2t+b2x20t=0,解得:y0=b2,x0=ab2+1,t=2b2ab2+1,因此双曲线 C 上存在定点 A(ab2+1,b2),使得直线 AP与 AQ 的斜率之和为定值 2b2ab2+1.二、推广探究经过探究可得到如下结论:结论 1 如图 1,已知双曲线 C:x2a2y2b2=1(a 0,b 0),过点 B(0,m)(m=0)的直线交双曲线 C 于 P,Q 两点,则在双曲线上存在定点 A(ab2+m2m,b2m)使得直线 AP与 AQ 的斜率之和为定值 2b2ab2+m2.证明由题意可设直线 PQ 的方程为:y=kx+m.将其与双曲线方程联立得:(b2a2k2)x22ma2kxa2(b2+m2)=0,其中 b2 a2k2=0,由=(2mka2)2+4(b2 a2k2)a2(b2+m2)0,解得 b2 a2k2+m2 0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2mka2b2 a2k2,x1x2=a2m2 a2b2b2 a2k2,设点 A(x0,y0),则kAP+kAQ=y1 y0 x1 x0+y2 y0 x2 x0=(x2 x0)(kx1+m y0)+(x1 x0)(kx2+m y0)x1x2 x0(x1+x2)+x20=2kx1x2+(m y0 kx0)(x1+x2)2mx0+2x0y0 x1x2 x0(x1+x2)+x20=2a2b2k 2ma2ky0 2mb2x0+2x0y0b2 2a2k2x0y0a2m2 a2b2 2ma2kx0+b2x20 a2k2x20.假设直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 t,则kAP+kAQ=2a2b2k2ma2ky02mb2x0+2x0y0b22a2k2x0y0a2m2 a2b2 2ma2kx0+b2x20 a2k2x20=t,所以 2a2b2k 2ma2ky0 2mb2x0+2x0y0b2 2a2k2x0y0=(a2m2 a2b2 2ma2kx0+b2x20 a2k2x20)t,即(2a2x0y0 a2x20t)k2+(2a2b2+2ma2y0 2ma2x0t)k+2mb2x0 2x0y0b2 a2m2t a2b2t+b2x20t=0.因为与直线 PQ 的斜率无关,所以2a2x0y0 a2x20t=0,2a2b2+2ma2y0 2ma2x0t=0,2mb2x0 2x0y0b2 a2m2t a2b2t+b2x20t=0.解得:y0=b2m,x0=ab2+m2m,t=2b2ab2+m2,因此双曲线上存在定点 A(ab2+m2m,b2m)使得直线 AP与 AQ 的斜率之和为定值 2b2ab2+m2.三、类比探究由于椭圆、抛物线与双曲线有很多相似的性质,于是考虑椭圆、抛物线是否也具有相似的结论呢?经探究,可得如下结论:结论 2已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0),过点B(0,m)(|m|b)的直线交椭圆 C 于 P,Q 两点,则在椭圆上存在定点 A(am2 b2m,b2m)使得直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 2b2am2 b2.结论 3 已知抛物线 C:y2=2px(p 0),过点 B(0,m)(m=0)的直线交抛物线 C 于 P,Q 两点,则在抛物线上存在定点 A(2m2p,2m)使得直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 2pm.结论 2 和 3 皆可仿照结论 1 给出证明,不再赘述.结语 对题目的拓展、引申和探究,是一名数学教师必备的专业素养,平时要重视对典型问题的深入研究,探研规律,并适当拓展,只有对问题做了深入的思考,才能体会到数学的奥妙及神奇,才会有惊喜和收获,才会在学习中提升数学品质和数学素养.参考文献1 王中学.2021 年高中数学联赛一试(A1)卷第 11 题探究 J.中学数学研究(华南师范大学版),2022(01):48-50.2 王中学.2023 年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛第 12 题探究及拓展 J.中学数学研究(华南师范大学版),2023(09):46-47.