高观点视角下的函数极限保不等式性问题及高考应用.pdf

10中学数学研究2024 年第 3 期(上半月刊)高观点视角下的函数极限保不等式性问题及高考应用陕西省榆林市吴堡中学(718200)郭 蒙陕西省榆林市吴堡县教学教研室(718200)薛小强摘要在导数压轴题中,不等式恒成立求参数范围问题,是高考中的热点问题,利用函数极限保不等式性可以降低这类试题的难度,简化解题过程,提升学生逻辑推理等核心素养,本文以 2023 年六道高考导数题为例,探讨函数极限保不等式性在导数题中的应用,以期抛砖引玉.关键词 极限保不等式性;导数压轴题;必要性探路普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)第88 页在考试命题原则中强调:考查内容应围绕数学内容为主线,聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用,强调基础性、综合性;注重数学本质、通性通法,淡化解题技巧.把握数学核心概念的本质,明晰什么是数学的通性通法1.在第 97 页中强调:我们教师应关注理解与高中数学关系密切的高等数学的内容,能够从更高的观点理解高中数学知识的本质1.函数极限保不等式性属于必要性探路的一种特殊方法,是一种通性通法,本文主要研究其在导数压轴题中的应用.1 保不等式性2定理 设 limxaf(x)=b,limxag(x)=c.如果存在实数 0.对满足 0|x a|的 x,都有 f(x)0,分别存在正数 1,2,使得当 0|x a|1时有b f(x);当 0|x a|2时有 g(x)c+.令3=min,1,2,则当 0|x a|3时,再利用不等式f(x)g(x)与上两式,就有 b f(x)g(x)c+,从而 b c+2,由 的任意性知 b 6 c.评注 此定理是大学 数学分析 的课程内容,现已调整到数学选修课程 A 类微积分一书中第二章函数的极限第 26页,这样处理为学生高等数学的学习打下坚实的基础.由定理的证明过程知,条件中的 f(x)0 在(0,+)上恒成立,由极限保不等式性质得,limx0f(x)=lna+ln(1+a)0,解得5 126 a 1.下证充分性.4 反思通过探究具体数学问题解题思路的行为活动,鼓励学生萌生与定型具体的数学观念,进而形成数学观念系统是重要的教学目标5.本文以椭圆焦半径公式在高考解题教学中的应用作为切入点研究多题一解的教学模式,精心选题,渗透符号意识,以 PF1与 PF2的呈现触发学生对焦半径公式的信息提取,继而从同一角度思考并解决不同层次的问题,实现知识技能跃迁,培养学生数学学科核心素养,潜移默化提高学生的认知和思维水平.这种教学模式的目标区分于“一题多解”,意在实现全体学生共同基础的夯实与不同层次学生的多样化选择,使不同的学生在数学上得到不同的发展.当学生形成以焦半径为问题中心信息触发利用焦半径公式解决问题的观念机制,此时不失时机地将“椭圆焦半径”格局提高至“圆锥曲线焦半径”,多题一解视角下高屋建瓴地看待所有焦半径问题,学生由知识和技巧的主人蜕变为问题与思维的主人,继而驾驭高考.参考文献1(荷兰)弗莱登塔尔著.作为教育任务的数学 M.陈昌平,唐瑞芬等译.上海:上海教育出版社,1999:102.2 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)M.北京:人民教育出版社,2020:2.3 李健.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践 D.苏州.苏州大学.2012.4 王千.如何认识一题多解的教育功能 J.数学通报,2004(9):10-12.5 张昆.“消元法”探究函数背景问题思路示例 J.理科考试研究 数学版,2022(17):24-25.2024 年第 3 期(上半月刊)中学数学研究11当5 126 a 0,因此 f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)f(0)=lna+ln(1+a)0,故 f(x)在(0,+)上单调递增,满足题意,因此 a 的取值范围为 5 12,1).评注此题利用参数将两个指数函数巧妙组合,要求考生利用单调性得到参数的取值范围,试题注重基础,强调函数基本性质,导数的概念,性质,运算法则与应用,符合基础性、综合性、应用性、创新性的要求,突出了函数与导数基本性质之间的关联,利用极限保不等式性得到参数范围,在充分性证明即可,此法为分类讨论法提供了参数的分界点.解法 2 分类讨论当5 126 a 1 时,由方法一知满足题意,当0 a 5 12时,lna+ln(1+a)0,由方法一知 f(x)在(0,+)上单调递增,因为 f(0)=lna+ln(1+a)0,limx+f(x)=+,所以存在唯一的 x0(0,+),当x (0,x0)时,f(x)0 在(0,+)上恒成立,f(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)0,因此 f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)0 在(0,+)上恒成立等价于 f(0)0,解得5 126 a 0 可得lna+(1+1a)xln(1+a)0,显然此指数函数 lna+(1+1a)xln(1+a)在(0,+)上单调递增,因此 lna+(1+1a)0ln(1+a)0,进而得出 a 的取值范围.此题还可以利用半分离参数法解答,由 f(x)0 可得(1+1a)x lnaln(1+a)在(0,+)上恒成立,由于函数(1+1a)x 1 在(0,+)上恒成立,因此 1 lnaln(1+a),进而可得到 a 的取值范围.例 2(2023 年新课标全国 II 卷数学第 6 题)已知函数f(x)=aex lnx 在区间(1,2)上单调递增,则 a 的最小值为()A.e2B.eC.e1D.e2解法 1 极限保不等式性+必要性探路由题意可得 f(x)=aex1x 0 在(1,2)上恒成立,由极限保不等式性质得,limx1+f(x)=ae 1 0,limx2f(x)=ae212 0,解得 a 1e,下证充分性.当a 1e时,f(x)=aex1x1eex1x,x (1,2),令 g(x)=1eex1x,x (1,2),则 g(x)=1eex+1x2 0,g(x)在(1,2)上单调递增,g(x)g(1)=0,因此 f(x)0,x (1,2),f(x)在区间(1,2)上单调递增,满足题意,综上,a 的最小值为 e1,选 C.评注试题通过导数将函数的单调性、不等式知识有机融合到问题情境中,考察全面,试题重视基础,考察学生化归与转化的能力,能够很好地引导中学数学教学,有助于实现高考立德树人、服务选材、引导教学的核心功能,利用极限保不等式性得到参数范围,在进行充分性证明,此法是一种通法.解法 2 分离参数由题意可得 f(x)=aex1x 0 在(1,2)上恒成立,当 a 6 0 时,f(x)0,1 x 0,故 xex1a在(1,2)上恒成立,设 g(x)=xex,x (1,2),g(x)=(x+1)ex 0,g(x)在(1,2)上单调递增,g(x)g(1)=e,故 e 1a,解得 a 1e=e1,即 a 的最小值为 e1,选 C.评注 先对 a 进行分类讨论,再将参数 a 分离出来,也可将其转化为1xex6 a,再求出参数 a 的范围.例 3(2023 年高考全国乙卷文科第 20 题)已知函数f(x)=(1x+a)ln(1+x),若函数 f(x)在(0,+)单调递增,求 a 的取值范围.解法 1 极限保不等式性质+必要性探路由题意得 f(x)0 在(0,+)上恒成立,因此ln(x+1)ax2+xx+16 0,(1)即(x+1)ln(x+1)xx26 a 在(0,+)上恒成立,因此limx0(x+1)ln(x+1)xx2=limx0ln(x+1)2x=limx01x+12=126 a.下证充分性.当a 12时,令g(x)=ln(x+1)ax2+xx+1,x 0,g(x)6 ln(x+1)12x2+xx+1,令 h(x)=ln(x+1)12x2+xx+1,x 0,h(x)=x22(1+x)2 0,h(x)在(0,+)上单调递减,h(x)h(0)=0,故 g(x)0 在(0,+)上恒成立,因此x(ax+1)x+1 ln(x+1)0,令g(x)=x(ax+1)x+1 ln(x+1),则 g(x)0 在(0,+)上恒成立,g(0)=0,g(x)=x(x+1)2(ax+2a 1).当a 6 0 时,g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递减,因此g(x)12时,g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递增,因此 g(x)g(0)=0,满足题意.当 0 a 12时,x (0,1a 2)时,g(x)0,g(x)单调递增,当x (0,1a 2)时,g(x)g(0)=0 不满足题意,舍去,综上,a 的取值范围为 12,+).评注利用极限保不等式性质得到参数 a 的分界点,以此分界点展开分类讨论,进而完美解答此题,综合考察了考生的逻辑推理、运算求解和推理论证能力以及分类讨论的思想.例 4(2023 年高考全国甲卷理科第 21 题)已知函数f(x)=ax sinxcos3x,x (0,2),若 f(x)sin2x 恒成立,求a 的取值范围.解法 1 分离参数+极限保不等式性质因 为 f(x)a 在(0,2)上恒成立,设 g(x)=sinxx(2cosx+1cos3x),x (0,2),由极限保不等式性质得a 6 limx0sinxx(2cosx+1cos3x)=3 limx0sinxx=3.下证充分性.当 a 6 3 时,设 h(x)=f(x)sin2x,x(0,2),则 h(x)0 在(0,2)上恒成立,h(x)=a+2 3cos4x+2cos2x 4cos2x65 3cos4x+2cos2x 4cos2x=1cos4x(cos2x 1)2(4cos2x+3)0,因此 h(x)0,h(x)在(0,2)上单调递减,h(x)h(0)=0满足题意.综上,a 的取值范围为(,3.评注 利用极限保不等式性,缩小了参数 a 的范围,必须证明充分性,此法为利用分类讨论法解题提供了参数的分界点,limx0sinxx=limx0sinx sin0 x 0=(sinx)|x=0=1,这个极限是高等数学中很重要的一个极限,可以利用导数定义求其极限.解法 2 分类讨论设 g(x)=f(x)sin2x,x (0,2),则 g(x)0 在(0,2)上恒成立,g(0)=0,g(x)=a 3 2cos2xcos4x 2cos2x=a+2 3cos4x+2cos2x 4cos2x,g(0)=a 3.当 a 6 3 时,g(x)65 3cos4x+2cos2x 4cos2x=1cos4x(cos2x 1)2(4cos2x+3)0,因此 g(x)在(0,2)上单调递减,g(x)3 时,设 m(x)=x sinx,x (0,2),因为m(x)=1 cosx 0,所以 m(x)在(0,2)上单调递增,m(x)m(0)=0,因此 sinx x,0 x 1cos3x(axcos3x 3sinx)xcos3x(acos3x 3).取 cosx0=33a(0,1),则 g(x0)x0cos3x0(a3a3)=0,不满足题意,综上,a 的取值范围为(,3.评注以方法一中的 3 为分界点进行分类讨论,本解法要求学生具有较强的数学运算能力,当 a 3 时,可以直接对原函数进行放缩或者利用导函数找矛盾区间(矛盾点).解法 3 分类讨论+连续函数局部保号性设 g(x)=f(x)sin2x,x (0,2),则 g(x)3时,因为 g(x)在(0,2)上连续,g(0)=a3 0,所以存在 (0,2),当 0 x 0,故 g(x)在(0,)上单调递增,g(x)g(0)=0,不满足题意.综上,a 的取值范围为(,3.评注 以方法一中的 3 为分界点进行分类讨论,当 a 3时利用连续函数局部的保号性得到 g(x)在(0,)上大于零,得到矛盾,进而得到参数的取值范围,解题过程中用到了连续函数的保号性.例 5(2023 年高考全国甲卷文科第 20 题)已知函数f(x)=ax sinxcos2x,x (0,2),若 f(x)+sinx 0,求 a 的取值范围.解法 1 分离参数+极限保不等式性质2024 年第 3 期(上半月刊)中学数学研究13设 g(x)=ax+sinxsinxcos2x,x (0,2),则 g(x)ax,sin xcos2x sinxxa 在(0,2)上 恒 成 立,由 极 限 保 不 等 式 性 质 得 a 6limx0+sin xcos2x sinxx=0,下证充分性.当 a 6 0 时,因为0 x 2,所以 0 sinx 1,0 cosx 1,因此g(x)=ax+sinx sinxcos2x6 sinx(1 1cos2x)0.满足题意.综上,a 的取值范围为 a 6 0.评注利用极限保不等式性缩小了参数的范围,在进行充分性证明,使得问题得以解决,此法为我们用分类讨论解题提供了参数的分界点.解法 2 切线放缩法+分类讨论法设 g(x)=ax+sinxsinxcos2x,x (0,2),则 g(x)0 时,设m(x)=x sinx,x (0,2),因为 m(x)=1 cosx 0,所以 m(x)在(0,2)上单调递增,m(x)m(0)=0,因此sinx sinx(a+1 1cos2x).因为 a 0,所以 0 1a+1 sinx0(a+11cos2x0)=0,x0(0,2),与已知矛盾,舍去.综上,a 的取值范围为 a 6 0.评注本解法要求学生具有较强的数学运算能力,当a 0 时,利用切线不等式 sinx x,x (0,2)放缩,推导出矛盾,进而得出参数 a 的取值范围,本题其它解法见文献5-7.例 6(2023 年高考新课标 II 卷第 22 题)(1)证明:当 0 x 1 时,x x2 sinx 0 且 22,当 0 x 2.下证充分性.当 a=2 时,f(x)=2sin2x+2x1 x2,由(1)知f(x)2x+2x1 x2=2x(11 x21)0,即 f(x)0,不满足题意,舍去.当 a 2 时,因为f(x)=a2cosax+2+2x2(1 x2)2,所以 f(0)=2 a2 0,当 0 x 时,f(x)0,因此函数 f(x)在(0,)上单调递减,f(x)f(0)=0,函数 f(x)在(0,)上单调递减,因为函数 f(x)为偶函数,所以函数 f(x)在(,0)单调递增,满足题意.当 a=2 时,f(x)=cos(2x)ln(1 x2)=cos2x ln(1 x2),由上面可知,不满足题意.当 a 2,f(x)=cosaxln(1x2)=cos(ax)ln(1x2),由上面可知,满足题意.综上,a 的取值范围为(,2)(2,+).评注此解法充分利用极值点的概念,由于极值点为函数的局部性质,只需将区间限制在充分小的区间上,再利用极限保不等式性,得到答案的必要条件,使得参数范围缩小,在进一步验证充分性,完美解答此题,此题其它解法见4.3 应用提升题 1(2019 年高考新课标 1 文数第 19 题)已知函数f(x)=2sinx xcosx x,f(x)为 f(x)的导数.(1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点;(2)若 x 0,时,f(x)ax,求 a 的取值范围.解析(1)略;(2)a 的取值范围是(,0.题 2(2018 年新课标 3 卷理科第 21 题)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)2x.(1)若 a=0,证明:当 1 x 0 时,f(x)0 时,f(x)0;(2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a.解(1)略;(2)a=16.题 3(2016 年高考全国 2 卷文科数学第 20 题)已知函数 f(x)=(x+1)lnx a(x 1).(1)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)当 x (1,+)时,f(x)0,求 a 的取值范围.解(1)略;(2)a 的取值范围是(,2.4.总结函数极限保不等式性是解决导数恒成立问题的一把利器,是一种通性通法,在高三复习时,要重视教材的基础作用和示范作用,讲清数学概念、原理、方法等,落实四基、四能.对14中学数学研究2024 年第 3 期(上半月刊)“数形结合”策略指引下高考函数零点常考题型的分类例析镇江市丹徒高级中学(212143)范习昱徐继林摘要近几年的数学高考中频频出现零点问题,其考查形式逐渐多样化,且有很强的交汇性,对高考备考而言具有很高研究价值.本文分类例析近年来的高考中有关零点问题考题,发现数形结合是求解函数零点问题的根本策略.关键词 零点;策略;数形结合零点问题因为涉及到基本初等函数的图象和性质,以及导数的应用,又渗透着转化化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面作用明显,并且能够分层鉴别不同学生的综合素质水平,收到命题专家的青睐.下文精选函数零点问题的经典高考题或模拟题,从函数零点的个数、分布、与零点相关的参数求解、与零点相关函数的取值四个方面加以分类例析,探寻零点问题的求解策略.1 函数零点的个数问题例 1(2018 年高考全国卷 III)函数 f(x)=cos(3x+6)在 0,的零点个数为.解 由题意知,cos(3x+6)=0,所以 3x+6=2+k,k Z,所以 x=9+k3,k Z,当 k=0,1,2 时,均满足题意,所以函数 f(x)在 0,的零点个数为 3.例 2 函数 f(x)=ex|lnx|2 的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解f(x)=ex|lnx|2的 零 点 可 以 转 化 为:方 程|lnx|=2ex的解;在坐标系中画出两个函数 y=|lnx|,y=2ex的图象(如图 1),根据图象可得有两个交点,故原函数有图 1两个零点.选 B.例 3 已知函数 f(x)是定义在(,0)(0,+)上的偶函数,当 x 0 时,f(x)=2|x1|1,0 2,则函数 g(x)=2f(x)1 的零点个数为个.解函数 g(x)=2f(x)1 的零点个数等价于函数y=f(x)的图象与直线 y=12的图象的交点的个数.由已知条件作出函数 y=f(x)的图象与直线 y=12的图象,如下图.由图可知,函数 y=f(x)的图象与直线 y=12的图象有 6 个交点(如图 2).导数中的一些经典问题既要讲清通性通法的求解,又要深入挖掘其中的本质,优化解题方法,要不厌其烦地将其中的分析求解过程呈现给学生,培养学生的分析推理能力,优化学生的思维品质,提升学生数学核心素养.由于历年高考试题具有较强的指导意义,因此要加强真题研究,挖掘高考题的作用,举一反三、融会贯通,进而提升备考效率,希望本文对读者的学习有一定的启发作用.参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准,(2017 年版 2020年修订)M.北京:人民教育出版社,2020.2 普通高中课程标准选修课程用书数学 A 类微积分 M.北京:人民教育出版社,2021.6.3 华东师范大学数学系.数学分析上册(第三版)M.北京:高等教育出版社,1999.4 郭蒙.2023 年新课标 II 卷数学第 22 题的解法探究及溯本探源 J.中学数学研究(华南师范大学版),2023(08 上):24-26.5 郭蒙.高观点视角下的必要性探路问题及高考应用 J.中学数学研究(华南师范大学版),2023(10 上):1-4.6 郭蒙,薛小强.秉通法 悟通性 提升学科素养 以异构法在高考导数压轴题中的应用为例 J.中学数学教学,2023(06):44-48.7 郭蒙.导数压轴题的多视角解法探究及背景溯源以 2023 年天津卷与全国甲卷文科导数压轴题为例 J.教学考试,2023(06):39-46.8 郭蒙.携手切线不等式 巧解导数压轴题例说切线放缩携手同构法在解题中的应用 J.高中数学教与学,2023(08):28-30.9 郭蒙.2023 年高考乙卷理科第 21 题的解法探究 J.中学数学研究(华南师范大学版),2024(01 上):1-4.10 郭蒙.对 2023 年全国乙卷文数第 20 题的深度探究 J.中学数学研究,2024(02):48-50.11 郭蒙.高观点视角下的函数凸凹性问题及其高考应用 J.福建中学数学,2023(12):26-28.