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42中学数学研究2024 年第 3 期(上半月刊)从一道解析几何错题谈起广东省广州市华南师范大学附属中学(510630)周建锋摘要解析几何是几何和代数的完美结合,在处理解析几何问题时,既要考虑几何特性,又要考虑代数特性.然而,因为忽视一些隐含条件导致解题出错甚至命题出错的情况经常发生.本文从一道命题出错的高考模拟题出发,剖析了一些问题出错的根源,对解析几何的教学有一定的参考意义.关键词 解析几何;数形结合1 问题的提出新课程改革对数学核心素养的培养尤为关注,而科学性、严谨性是一切素养的基础.学习高中数学解析几何,既有对图形特性的研究,也有对代数特性的研究,将数与形完美结合,对培养学生的直观想象和数学运算有着十分重要的意义.然而,因为圆锥曲线图形的特殊性,极易出现逻辑或运算错误,甚至包括出题者都极易犯错.笔者在 2021 年某地高考模拟题中发现一道错题,原题及解答如下:已知 M(2,0),N(2,0),动点 P 满足:直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为常数 12.设动点 P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线 C 的方程;(2)直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中垂线与 y 轴交于点(0,12),点 O 为坐标原点,OA OB=0,求|AB|.解(1)x22+y2=1(x=2)(过程略)(2)错解当直线 l 的斜率为 0 或不存在时均与题设矛盾,故直线 l 的斜率存在且不为 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),l:y=kx+t.由x22+y2=1,y=kx+t,得(2k2+1)x2+4ktx+2t2 2=0.所以 =8(2k2+1 t2)0,x1+x2=4kt2k2+1,x1x2=2t2 22k2+1.设 A,B 的中点为 D(m,n),则m=x1+x22=2kt2k2+1,n=km+t=t2k2+1.故线段 AB 的中垂线方程为 y n=1k(x m).当 x=0时,y=mk+n=12,所以 2t2k2+1+t2k2+1=12,化简得 1+2k2=2t.因为 OA OB=0,得 x1x2+y1y2=0.又 y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2,所以 x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+kt(x1+x2)+t2=(k2+1)(2t2 2)2k2+14k2t22k2+1+t2=0,化简得 2k2+2=3t2.又 1+2k2=2t,得 t=1 或 t=13(舍去),所以 k2=12.所以|AB|=1+k28(2k2+1 t2)2k2+1=3.2 问题辨析本题的解答表面上看似乎没什么问题,但仔细推敲发现,曲线 C 去掉了两个顶点(2,0),意味着直线 l:y=kx+t不能过这两点,即 2k+t=0.结合 2k2+2=3t2,所以2k2+2=6k2,即 k2=12,这与最后算出的 k2=12矛盾,所以符合题目条件的弦 AB 是不存在的!a3a4am3+am4+2m 261m(1 1a3a4+1),anan+1amn+amn+1+2m 261m(1 1anan+1+1),由权方和不等式得a1a2am1+am2+2m 2+a2a3am2+am3+2m 2+a3a4am3+am4+2m 2+anan+1amn+amn+1+2m 26nm1m(1a1a2+1+1a2a3+1+1a3a4+1+1anan+1+1)6nm1m(1+1+1+1)2a1a2+a2a3+a3a4+anan+1+n6nm1mn2a21+a22+a23+a2n+n=nm1mn2+n=nm(+n)故推广 8 得证.参考文献1 徐凤旺,刘天明,成敏.一道 2022 年数学奥林匹克试题的多解探究及推广 J.中学数学研究(华南师范大学版),2023,(11):24-26.2024 年第 3 期(上半月刊)中学数学研究43有些曲线由于完备性,曲线中的某些点是不存在的,要特别注意这些不存在的点是否会对后面的问题产生影响.本题中的椭圆去掉了左、右两个顶点,则直线 l 不能过这两个顶点,忽视这个隐含条件导致了错题的产生.3 其它典型案例解析几何类似的由于忽视隐含条件导致求解或命题错误的例子还有很多,再举几例:3.1 忽视曲线的完备性例 1(2010 年广东省高考数学试卷(理科)第 20 题)一条双曲线x22 y2=1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式;(2)若过点 H(0,h)(h 1)的两条直线 l1和 l2与轨迹E 都只有一个公共点,且 l1 l2,求 h 的值.1错 解(1)由 A1,A2为 双 曲 线 的 左、右 顶 点 知,A1(2,0),A2(2,0),A1P:y=y1x1+2(x+2),A2Q:y=y1x12(x2),两式相乘得:y2=y21x21 2(x22),而点 P(x1,y1)在双曲线上,所以x212y21=1,即y21x21 2=12,故 y2=12(x2 2),即x22+y2=1.(2)设 l1:y=kx+h,则由 l1 l2知,l2:y=1kx+h.将 l1:y=kx+h 代入x22+y2=1 得x22+(kx+h)2=1,即(1+2k2)x2+4khx+2h2 2=0,由 l1与 E 只有一个公共点知,=16k2h2 4(1+2k2)(2h2 2)=0,即 1+2k2=h2.同理,由 l1与 E 只有一个交点知,1+2 1k2=h2,消去 h2得1k2=k2,即 k2=1,从而h2=1+2k2=3,即 h=3.辨析 上述解答是当时许多考生的错误解法.首先第(1)问,x1=2,否则 P,Q 重合,不合题意,而此时A1P 与A2Q交点恰为(2,0),所以椭圆x22+y2=1应去掉长轴两端点.同时,不妨设 y1 0,当 x1+时,A1P 的斜率y1x1+2=x212 1x1+2=x122(x1+2)22,同理,A2Q的斜率y1x12 22,此时y=22(x+2),y=22(x 2)的 交 点(0,1)是 不 存 在 的.同 理,(0,1)也是不存在的.综上得,轨迹 E 的方程式应为x22+y2=1(x=0,x=2).其次,由于第(1)问的错误直接导致第(2)问也出现错误.当 l1,l2分别过 A1,A2时,符合题意,此时 h=2;当 l1过 A1,l2与 E 相切时,符合题意,此时 h=1+172.(由对称性,l1与 E 相切,l2过 A2时结果相同.)所以第(2)问正确答案应为 h=2,3,或1+172.与文初的模拟题类似,同样是因为忽视了曲线的完备性,直接导致后面的解答出现错漏,这是值得我们反思的.3.2 忽视最值成立的条件例 2 已知 F 是双曲线x24y212=1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|PA|的最小值为.错 解设 双 曲 线 右 焦 点 为 F1,则|PF|PA|=|PF1|PA|+2a|AF1|+2a=1(当且仅当点 P在 AF1延长线上时取等号),所以|PF|PA|的最小值为1.图 1图 2辨析 本题中等号成立的条件是点 P 在 AF1延长线上,渐近线 y=3x,然而检验 kAF1=43 3,如图 1,所以 AF1延长线与双曲线右支无交点,等号不成立!同理,不作|PF|=|PF1|+2a 的转换,直接求|PF|PA|的最小值,要求点 P 在 AF 的延长线上,也不可能与双曲线右支有交点.这又是一道忽视验证条件产生的错题!例 3 抛物线 y2=4x 上两动点 A,B 满足|AB|=3,求AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值.错解 如图 2,设抛物线焦点 F(1,0),准线 x=1,分别过 A,B,M 向准线作垂线,垂足分别为 C,D,E,则点 M 到y 轴的距离 d=|ME|1.而|ME|=12(|AC|+|BD|)=12(|AF|+|BF|)12|AB|=32,等号成立当且仅当 A,B,F 三点共线,故 d 32 1=12,最小值为12.辨析这种错解仍然是忽视了最值成立的条件,只是这个条件比较隐蔽.抛物线最短的焦点弦为通径,此时通径长为 4,但|AB|=3 4,所以弦 AB 不可能过焦点 F,因而取不到最小值12.44中学数学研究2024 年第 3 期(上半月刊)3.3 忽视双曲线的特殊性例 4 双曲线x29y216=1 的两个焦点分别是 F1,F2,双曲线上一点 P 到 F1的距离是 7,则 P 到 F2的距离是.错解由双曲线方程x29y216=1,得 a=3,c=5.因为|PF1|PF2|=6,所以|PF2|=|PF1|6=1 或 13.辨析因为|PF1|PF1|,所以|PF2|PF1|=23=6.又因为|PF1|=7,所以|PF2|=13.对于圆锥曲线上的点到焦点的距离最短问题,椭圆和抛物线有唯一的结论,椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)上的点到焦点的距离最小值为 a c,抛物线 y2=2px(p 0)上的点到焦点的距离最小值为p2.而双曲线x2a2y2b2=1(a 0,b 0)上的点到焦点(不妨设为左焦点(c,0)的距离比较复杂,当点在左支上时,到左焦点的距离最小值为 c a;当点在右支上时,到左焦点的距离最小值为 c+a.在本题中,由于忽视了点 P 在左支还是右支的隐含条件,导致了错解的产生.例 5过双曲线 x2y23=1 的右焦点作直线 l 交双曲线 A,B 两点,则满足|AB|=6 的直线 l 有()A.4 条B.3 条C.2 条D.1 条错解过焦点垂直于 x 轴的通径长为2b2a=6,由于通径是焦点弦中最短的弦,所以满足条件的直线 l 只有 1 条.辨析 当直线 l 的倾斜角为 90时,|AB|=2b2a=6;当直线 l 的倾斜角为 0时,|AB|=2 0,b 0),过右焦点的弦 AB,若两端点均在右支,则最短弦长即为通径长,即|AB|2b2a,+);若两端点分别在左、右两支,则最短弦长为 2a,即|AB|2a,+).如本题中通径长为 6,弦 AB 端点同在右支时,最短弦长为 6,只有唯一的一条弦;但端点分别在左、右两支的弦最短为 2,再加上对称性,此时有两条弦长度为 6,因而共计 3 条弦满足要求.3.4 忽视几何图形的概念例 6已知圆 C:x2+y2=1,过点 P(2,0)作直线 l与圆 C 相交于 A,B 两点,求弦 AB 中点 M 的轨迹方程.错解由圆的性质,OMAB(O 为坐标原点),即点 M与两定点 P,O 的连线始终垂直,所以点 M 在以 OP 为直径的圆上,所以点 M 的轨迹方程为 x(x+2)+y2=0,即x2+y2+2x=0.辨析因为点 M 是弦 AB 的中点,所以必然在圆 C 内,且 M 与 O 重合时也符合题意,所以点 M 的轨迹是方程应为 x2+y2+2x=0(12 x 6 0).还有一种错误是认为126 x 6 0,即弦 AB 重合为一个点时也符合题意.笔者认为点与线段还是不同的两个图形,正如点和圆被认为是不同的图形一样.为此,笔者曾提出人教 A 版教材选择性必修一第 108 页例 2 的一个问题:原文:如图 3,在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 Px 轴的垂线段 PD,D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?为什么?教材给出的答案是x24+y2=1,并没有去掉当P,D 重合时的点(2,0),笔者认为是不妥的.图 34 反思数学思维的科学性和严谨性是数学教育一直追求的核心目标,是数学的基石,数学推理只有建立在科学、严谨的基础上,逻辑链条才牢不可破.解析几何是几何和代数的完美结合,在问题求解过程中,由于图形特性和代数特性会产生一些隐含的约束条件,如斜率不存在、三角形三顶点不共线、圆的弦中点在圆内、判别式大于 0 导致的范围问题、方程同解变形导致的范围问题等.如果我们不加以重视,就会造成问题求解中的错漏,甚至命题出现错误.作为教育工作者更应该警醒,教育学生注重解析几何的这一特点,而且在命制题目时,更要注意对严谨性的考察,以免命制出错题,造成严重的影响.参考文献1 肖凌赣,王邵隆.2010 年高考数学广东卷解析几何综合题的解法与变式(J).中国数学教育,2011(4):19-23.