《3.1.1特征值与特征向量》习题2.docx

3.1.1特征值与特征向量习题23.1.1特征值与特征向量习题2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（3.1.1特征值与特征向量习题2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为3.1.1特征值与特征向量习题2的全部内容。3。1.1 特征值与特征向量习题21求矩阵M的特征值和特征向量2。 已知矩阵M的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量3. 已知矩阵M，向量，.（1)求向量23在矩阵M表示的变换作用下的象；(2)向量是矩阵M的特征向量吗?为什么?4。 已知矩阵A，设向量，试计算A5的值5. 已知矩阵A，其中aR，若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P(0,3)(1)求实数a的值;（2）求矩阵A的特征值及特征向量6. 已知矩阵A,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量1,属于特征值1的一个特征向量2,求矩阵A，并写出A的逆矩阵7。 已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90。（1)求矩阵A及A的逆矩阵B；（2)已知矩阵M，求M的特征值和特征向量;(3）若在矩阵B的作用下变换为,求M50.(结果用指数式表示)8。 已知二阶矩阵M的一个特征值8及与其对应的一个特征向量1,并且矩阵M对应的变换将点（1，2)变换成（2，4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量2的坐标之间的关系；（3)求直线l：xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程9. 给定矩阵M，N及向量1，2。（1）求证M和N互为逆矩阵；(2)求证1和2都是矩阵M的特征向量10给定矩阵M及向量。（1)求矩阵M的特征值及与其对应的特征向量1，2；(2)确定实数a，b，使向量可以表示为a1b2；(3）利用(2）中的表达式计算M3,Mn；（4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？参考答案1。【解】矩阵M的特征多项式f（)(1）(6）令f（）0，解得矩阵M的特征值11，26.将11代入方程组易求得为属于11的一个特征向量将26代入方程组易求得为属于26的一个特征向量综上所述，M的特征值为11，26，属于11的一个特征向量为，属于26的一个特征向量为。2【解】矩阵M的特征多项式为f（）(1)（x）4因为13为方程f(）0的一根，所以x1由（1)(1)40得21，设21对应的一个特征向量为,则由得xy令x1，则y1。所以矩阵M的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为.3 【解】（1）因为2323，所以M(23）,所以向量23在矩阵M表示的变换作用下的象为.（2）向量不是矩阵M的特征向量理由如下：M，向量与向量不共线，所以向量不是矩阵M的特征向量4 【解】矩阵A的特征多项式为f（）2560，解得12，23。当12时，得1;当23时，得2，由m1n2，得,得m3,n1，A5A5（312）3（A51）A523（1）232535.5【解】(1)，,a4。(2)A,f（）223.令f(）0，得11，23,对于特征值11，解相应的线性方程组得一个非零解，因此1是矩阵A的属于特征值11的一个特征向量对于特征值23,解相应的线性方程组得一个非零解,因此2是矩阵A的属于特征值23的一个特征向量矩阵A的特征值为11,23，属于特征值11，23的特征向量分别为，。6 【解】由矩阵A属于特征值6的一个特征向量1，可知6,所以cd6，由矩阵A属于特征值1的一个特征向量2,可知，所以3c2d2.联立可得解得即A，A的逆矩阵A1.7【解】(1）A；BA1.(2)设M的特征值为，则由条件得0，即(3）（4）62760.解得11，26。当11时,由，得M属于1的特征向量为1；当26时,由6，得M属于6的特征向量为2。(3）由B，得,设m1n2mn，则由解得所以122。所以M50M50（122)M5012M5022650。8【解】(1）设矩阵M，则8，故由题意得，故联立以上两方程组可解得故M。(2)由(1）知矩阵M的特征多项式f()（6)（4）821016。令f()0，解得矩阵M的另一个特征值2。设矩阵M的属于特征值2的一个特征向量2，则M22，解得2xy0.（3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的作用下对应的点的坐标为（x，y），则，即代入直线l的方程并化简得xy20，即直线l的方程为xy20.9 【证明】（1)因为MN，NM,所以M和N互为逆矩阵(2)向量1在矩阵M的作用下，其象与其共线，即，向量2在矩阵M的作用下,其象与其共线,即,所以1和2都是M的特征向量10.【解】（1）矩阵M的特征多项式f（）(2）(1)30（7)(4)令f（)0，解得矩阵M的特征值14，27。易求得属于特征值14的一个特征向量1，属于特征值27的一个特征向量2。(2）由（1）可知ab，解得a1，b3，所以132。(3)M3M3（132）M313M32(4)3373.MnMn（132）Mn13Mn2(4)n37n.(4）在Mn的结果中，随着n的增加，特征向量1对结果的影响越来越小