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《3.1.1特征值与特征向量》习题2
《3.1.1特征值与特征向量》习题2

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《3。1.1 特征值与特征向量》习题2
1．求矩阵M＝的特征值和特征向量．
2。 已知矩阵M＝的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
3. 已知矩阵M＝，向量α＝，β＝.
（1)求向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象；
(2)向量γ＝是矩阵M的特征向量吗?为什么?
4。 已知矩阵A＝，设向量β＝，试计算A5β的值．
5. 已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0,－3)
(1)求实数a的值;
（2）求矩阵A的特征值及特征向量．
6. 已知矩阵A＝,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝,属于特征值1的一个特征向量α2＝,求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
7。 已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°。
（1)求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2)已知矩阵M＝，求M的特征值和特征向量;
(3）若α＝在矩阵B的作用下变换为β,求M50β.(结果用指数式表示)
8。 已知二阶矩阵M的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝,并且矩阵M对应的变换将点（－1，2)变换成（－2，4)．
(1)求矩阵M；
(2)求矩阵M的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系；
（3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．
9. 给定矩阵M＝，N＝及向量α1＝，α2＝。
（1）求证M和N互为逆矩阵；
(2)求证α1和α2都是矩阵M的特征向量．
10．给定矩阵M＝及向量α＝。
（1)求矩阵M的特征值及与其对应的特征向量α1，α2；
(2)确定实数a，b，使向量α可以表示为α＝aα1＋bα2；
(3）利用(2）中的表达式计算M3α,Mnα；
（4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？

参考答案
1。【解】　矩阵M的特征多项式
f（λ)＝＝(λ＋1）(λ－6）．
令f（λ）＝0，解得矩阵M的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组
易求得为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组易求得为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M＝的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为，属于λ2＝6的一个特征向量为。
2．【解】　矩阵M的特征多项式为
f（λ）＝＝(λ－1)（λ－x）－4
因为λ1＝3为方程f(λ）＝0的一根，所以x＝1
由（λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，
设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝,
则由得x＝－y
令x＝1，则y＝－1。
所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.
3． 【解】　（1）因为2α＋3β＝2＋3＝，所以M(2α＋3β）＝＝,所以向量2α＋3β在矩阵M表示的变换作用下的象为.
（2）向量γ＝不是矩阵M的特征向量．理由如下：Mγ＝＝，向量与向量γ＝不共线，所以向量γ＝不是矩阵M的特征向量．
4． 【解】　矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2－5λ＋6＝0，
解得λ1＝2，λ2＝3。
当λ1＝2时，得α1＝;
当λ2＝3时，
得α2＝，
由β＝mα1＋nα2，
得,
得m＝3,n＝1，
∴A5β＝A5（3α1＋α2）
＝3（A5α1）＋A5α2
＝3（λα1）＋λα2
＝3×25＋35＝.
5．【解】　(1)∵＝，
∴＝,
∴a＝－4。
(2)∵A＝,
∴f（λ）＝＝λ2－2λ－3.
令f(λ）＝0，得λ1＝－1，λ2＝3,
对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组得一个非零解，
因此α1＝是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．
对于特征值λ2＝3,解相应的线性方程组得一个非零解,
因此α2＝是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A的特征值为λ1＝－1,λ2＝3，
属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为，。
6． 【解】　由矩阵A属于特征值6的一个特征向量α1＝，可知＝6,所以c＋d＝6，①
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量α2＝,
可知＝，所以3c－2d＝－2.②
联立①②可得
解得
即A＝，A的逆矩阵A－1＝.
7．【解】　(1）A＝＝；
B＝A－1＝.
(2)设M的特征值为λ，
则由条件得＝0，
即(λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6＝0.
解得λ1＝1，λ2＝6。
当λ1＝1时,
由＝，
得M属于1的特征向量为α1＝；
当λ2＝6时,由＝6，
得M属于6的特征向量为α2＝。
(3）由Bα＝β，
得β＝＝,
设＝mα1＋nα2＝m＋n
＝，
则由
解得
所以β＝－α1＋2α2。
所以M50β＝M50（－α1＋2α2)
＝－M50α1＋2M50α2
＝－＋2×650×
＝。
8．【解】　(1）设矩阵M＝，
则＝8＝，故
由题意得＝，
故
联立以上两方程组可解得
故M＝。
(2)由(1）知矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝（λ－6)（λ－4）－8＝λ2－10λ＋16。令f(λ)＝0，解得矩阵M的另一个特征值λ＝2。设矩阵M的属于特征值2的一个特征向量α2＝，则Mα2＝＝2，解得2x＋y＝0.
（3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的作用下对应的点的坐标为（x′，y′），则＝，即代入直线l的方程并化简得x′－y′＋2＝0，即直线l′的方程为x－y＋2＝0.
9． 【证明】　（1)因为MN＝＝，NM＝＝,所以M和N互为逆矩阵．
(2)向量α1＝在矩阵M的作用下，其象与其共线，
即＝＝，向量α2＝在矩阵M的作用下,其象与其共线,即＝,所以α1和α2都是M的特征向量．
10.【解】　（1）矩阵M的特征多项式f（λ）＝＝(λ－2）(λ－1)－30＝（λ－7)(λ＋4)．令f（λ)＝0，解得矩阵M的特征值λ1＝－4，λ2＝7。易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量α1＝，属于特征值λ2＝7的一个特征向量α2＝。
(2）由（1）可知＝a＋b，解得a＝1，b＝3，所以α＝α1＋3α2。
(3)M3α＝M3（α1＋3α2）＝M3α1＋3M3α2＝
(－4)3×＋3×73×
＝.
Mnα＝Mn（α1＋3α2）
＝Mnα1＋3Mnα2
＝(－4)n×＋3×7n×
＝.
(4）在Mnα的结果中，随着n的增加，特征向量α1对结果的影响越来越小．