线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案.doc

第五章 特征值和特征向量
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量，使，则称数为矩阵A的特征值，非零向量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。
定义2：，称为矩阵A的特征多项式，
=，称为矩阵A的特征方程，特征方程的根称为矩阵A的特征根
矩阵称为矩阵A的特征矩阵
齐次方程组（称为矩阵A的特征方程组。
性质1：对等式作恒等变形，得（，于是特征向量是齐次方程组（的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即，说明A的特征值为的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：
（1）l是A的特征值Û，即(lE-A)不可逆.（2）是属于l的特征向量Û是齐次方程组（的非零解.
计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A的特征多项式，（2）求特征方程=的全部根，他们就是A的全部特征值；（3）然后对每个特征值l，求齐次方程组（的非零解，即属于l的特征向量.
性质2：n阶矩阵A的相异特征值所对应的特征向量……线性无关
性质3：设l1,l2,…,ln是A的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：
（1）l1+l2+…+l n=tr(A)( A的迹数，即主对角线上元素之和).)
（2）l1l2…ln=|A|.
性质4：如果l是A的特征值，则
（1）f(l)是A的多项式f(A)的特征值.
(2)如果A可逆，则1/l是A-1的特征值; |A|/l是A*的特征值.
即： 如果A的特征值是l1,l2,…,ln，则
（1）f(A)的特征值是f(l1),f(l2),…,f(ln).
（2）如果A可逆，则A-1的特征值是1/l1,1/l2,…,1/ln; 因为，
A*的特征值是|A|/l1,|A|/l2,…,|A|/ln.
性质5：如果是A的特征向量，特征值为l，即则
（1）也是A的任何多项式f(A)的特征向量，特征值为f(l)；
（2）如果A可逆，则也是A-1的特征向量，特征值为1/l；也是A*的特征向量，特征值为|A|/l 。

是A关于的特征向量，则也是上述多项式的特征向量。
推论：（1）对于数量矩阵lE，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是l.
（2）上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素.
（3）n阶矩阵A与他的转置矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同.
例 题
一、特征值、特征向量
1.设且A的特征值为2和1(二重), 那么B特征值。
解：具有相同的特征值., 所以B和A具有相同的特征值，B的特征值为: 2和1(二重)。
2.设A是n阶方阵, 为A的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵的特征值是___, 特征向量是______.
解：因为 , 所以对于任意n维向量
所以|A| = 5是的特征值, 任意n维向量a 为对应的特征向量。
3.三阶方阵A的特征值为1, －1, 2, 则的特征值为_______.
解：，
3.设A为n阶矩阵，，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值
解：因为，的特征值为，所以上式的特征值为：
4.设n阶矩阵A的特征值为1, 2, …, n, 试求.
解：因为A的特征值为1, 2, …, n, 所以2A + E的特征值为 . 所以。

5. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的
(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件
解：假设为A的所有特征值, 则. 所以
0为A的特征值A可逆 (C)为答案.
6. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则有是
(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量
7. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则(A) 对任意, 都是A的特征向量.
(B) 存在常数, 是A的特征向量.
(C) 当时, 不可能是A的特征向量.
(D) 存在惟一的一组常数, 使是A的特征向量.
解：为A的二个相异的特征值, 所以存在非零向量, 满足. 而且线性无关.
假设存在 l 满足:
所以 , 即
因为 线性无关, 所以 = 0, ; = 0,
. 和矛盾. 所以(C)为答案.
8. 设是n阶矩阵A的特征值, 且齐次线性方程组的基础解系为, 则A的属于的全部特征向量是
(A) (B) (C)(为任意常数)
(D) (为不全为零的任意常数)
解. 因为齐次线性方程组的基础解系为, 所以方程组的全部解为(为任意常数)，但特征向量不能
为零, 则A的属于的全部特征向量是: (为不全为零的任意常数), (D)为答案.
9.设是矩阵的特征值，
求：（1）t的值；(2) 对应于的所有特征向量。
解：因为，为任意实数。
（2） 时

所以. 方程组基础解系所含解向量个数为1个
相应的方程组为. 取. 所以解向量为,
对应于的全部特征向量为
当时

所以 ，方程组基础解系所含解向量个数为1个
相应的方程组为. 取. 所以解向量为,
对应于的全部特征向量为。
10.设A是3阶矩阵，且矩阵A的各行元素之和均为5，求矩阵A的特征值、
特征向量。
11题答案：
11. 已知是的特征向量 ，求和的特征值。
12.设A是n阶矩阵，满足A2=A，求矩阵A的特征值。
解：或者
13.设向量，都是非零向量，且满足条件，记n阶矩阵，求：（1） （2）求A的特征值与特征向量。
解:
(2) 设为特征值， ，不为零，

任意n个线性无关的特征向量都是它的特征向量，可选n个单位向量。
14. 设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值
解：因为，所以A的特征值
，所以也是A的特征向量。

又因为，代入可得：
15. 设，矩阵，n为正整数，则
解：，

16. 若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为：
解：，

二、相似矩阵
定义1： 设A, B都是n阶矩阵, 若有n阶可逆矩阵P, 使P-1AP=B。
则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似，记作A∽B， 可逆矩阵P称为相似变换矩阵。
相似是矩阵之间的一种重要关系，它满足：自反性、对称性、传递性。
相似矩阵的性质： ①，从而同时可逆或不可逆。
② ③,从而有相同的特征多项式，有相同的特征值,但特征向量不一定相同。 ④
证明： 因为A与B相似, 所以有可逆矩阵P, 使P-1AP=B. 因此
|B-lE|=|P-1AP-lE|=|P-1AP-P-1(lE)P|
=|P-1(A-lE)P|=|P-1|×|A-lE|×|P| =|A-lE|. 即A与B有相同的特征多项式.
⑤若A∽B，则∽，即A-1∽B-1，AT∽BT，AK∽BK
⑥ 数量矩阵只与自己相似.
⑦ 因相似的矩阵有相同的秩，即相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。
三、矩阵的相似对角化
定义1：对任意n阶矩阵A, 寻求相似变换矩阵P, 使P-1AP=L为对角阵, 称为矩阵A的相似对角化。
假设已经找到可逆矩阵P, 使P-1AP=L为对角阵, 我们来讨论P应满足什么关系.
把P用其列向量表示为P=(p1, p2, × × ×, pn), 由P-1AP=L, 得AP=PL, 即=(l1p1, l2p2, × × × , lnpn),
于是有 Api=lipi (i=1, 2, × × ×, n).
可见li是A的特征值, 而P的列向量pi就是A的对应于特征值li的特征向量.
反之, 由上节知A恰好有n个特征值, 并可对应地求得n个特征向量, 这n个特征向量即可构成矩阵P, 使AP=PL(因特征向量不是唯一的, 所以矩阵P也不是唯一的, 并且P可能是复矩阵).
由上面讨论可知，A能否与对角阵相似，取决于P是否可逆，即是否线性无关，当线性无关时（此时P可逆），则由AP=PL，得P-1AP=L，即A与对角阵相似。综上所述，有：
定理1：n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等, 则A与对角阵相似. 且
L=
当A的特征方程有重根时, 就不一定有n个线性无关的特征向量, 从而不一定能对角化.
定理2：设是n阶矩阵A的互异特征值，其重数分别为且，则A与对角阵相似的充要条件为:
（i=1，2，……m）
即重特征值有个线性无关的特征向量，则n阶矩阵A与对角阵相似
1.已知矩阵相似, 则x = _____, y = ______.
解：因为A, B相似, 所以.
相似矩阵的迹相等: . 于是.
1.设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则
解：，相似矩阵的迹相等。

1. 设，若矩阵相似于，则K=
解：
2.与n阶单位矩阵E相似的矩阵是
(A) 数量矩阵 (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1)
(C) 单位矩阵E (D) 任意n阶矩阵A
解：令. 所以. 所以(C)是答案.
3.设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为.
解：
，所以A和B相似，有相同的特征值，

4.是n阶方阵, 且A∽B，则
(A) 的特征矩阵相同 (B) 的特征方程相同
(C) 相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵T, 使得
解：, 则存在可逆方阵P, 使得. 所以

所以的有相同的特征方程, (B)是答案.
5.设三阶矩阵A满足，其中列向量，，，求矩阵A。
解： ，
因为是特征值，，

6.设矩阵A与B相似，其中， ，
(1) 求x 和y的值； (2)求可逆矩阵P，使得。
解：因为A相似于B, 所以|A| = |B|, 所以; 且, 所以. 得 。
由B的表达式知: A的二个特征值为
（1）当
,
，方程组的基础解系只有一个解向量.
相应的方程组为, 取，得特征向量:
(2)
, , 方程组的基础解系有二个解向量, 相应的方程组为 ,
取 , 取
得二个线性无关的特征向量:
所以矩阵
7.矩阵A=的特征值有重根，判断矩阵A能否相似化，并说明理由。
解：
（1） 若是重根，代入，得
（2） 若是重根，
当，时 ，
有2个线性无关的特征向量，可对角化。
当，时，，，不能对角化。
8.已知A=判断A能否对角化，若能对角化则求可逆矩阵P，
化A为相似标准形。
解：
时，
有2个线性无关的特征向量，可对角化，
时，，

9. 设 (1)问k为何值时A可对角化? (2)此时作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.
解：
，当，所以，可对角化

10. 已知3阶矩阵A的第一行元素全是1，且（1，1，1，）T，（1，0，-1）T，
（1，-1，0）T是A的3个特征向量，求A
解： ，
，
11.设A为3阶矩阵, 是线性无关的3维列向量组,满足，，
(1)求作矩阵B,使得 (2)求A的特征值。
(3)求作可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵。
解：
设，因为a1,a2,a3是线性无关的，所以C可逆，所以
所以和B相似，相似的矩阵有相同的特征值。

因为，又因为

12. 设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中是矩阵A的伴随矩阵，试求的值。
解：由于矩阵A可逆，故可逆，于是，，且，

，
，
13设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是

解：
又因为

同理可求：
14 设矩阵，，，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.
解：设A特征值为，特征向量为，即 . 由于，所以又因 ，
所以B的特征值为，B+2E的特征值为。

，
所以：
因此B+2E的特征值为，对应的特征向量为
由于 ，故A的特征值为，的特征值是，，所以的特征值是
7，7，1。因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.
当时，A对应的线性无关特征向量可取为，当时，A对应的一个特征向量为
由 ，得，，.
B+2E对应于特征值9的全部特征向量为
，其中是不全为零的任意常数
B+2E对应特征值3全部特征向量为，是不为零的任意常数.
或者用另一种方法：
由A 又由P可得
于是
根据
可知B+2E的特征值为同样方法求特征向量。
15 已知3阶矩阵A与三维向量x，使得X、AX、A2X线性无关，且满足
，（1）记，求3阶矩阵B，使；
（2）计算行列式
解：

，
（2）由（1）知，A与B相似，故A+E与B+E也相似，于是有

四、实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵的性质：
（1）特征值全是实数,特征向量是实向量；
（2）不同特征值的特征向量必定正交；
（3）重特征值必定有个线性无关的特征向量；
（4）必存在n阶正交矩阵Q，使=L=
，为矩阵A的特征值。
于是，我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化.
设A是实对称矩阵,构造正交矩阵Q(使得Q-1AQ是对角矩阵)的步骤:
（1）求出A的全部互不相等的特征值l1, l2, × × ×, ls, 它们的重数依次为k1, k2, × × ×, ks(k1+k2+ × × × +ks=n)。
（2）对每个ki重特征值li, 求方程(A-lE)x=0基础解系, 得ki个线性无关特征向量。
（3）利用施密特正交化方法，把对应于每一个li,的线性无关的特征向量先正交化再单位化, 得ki个两两正交的单位特征向量，他们仍为矩阵A的对应于li,的特征向量。
（4）把这n个两两正交的单位特征向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q，便有=L，注意L中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应。
五、矩阵的合同
定义：设A，B为两个n阶方阵，若有n阶可逆阵P使得，则称矩阵A与B合同 ，记为A≌B。
合同也是矩阵之间的一种关系，它具有以下性质：自反性、对称性、传递性。
定理1：若A为实对称矩阵，则A一定与对角阵合同。
性质1：合同的矩阵有相同的秩，即合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同。
三、实对称矩阵的对角化
1. 设3阶实对称矩阵A的特征值为1、2、3，（1,1,-1)T和(-1,2,1)T分别是属于1和
2的特征向量，求属于3的特征向量，并且求A。
解：根据不同特征值的的特征向量相互正交，设3的特征向量为
，

2. 三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征向量为
，求A。
解：设对应的特征向量为：，
，
有
3. 3阶实对称矩阵A的秩为2，又6是它的二重特征值，向量(1,1,0)T和(2,1,1)T和(-1,2,-3)T都是属于6的特征向量。
(1) 求A的另一个特征值与相应的特征向量. (2) 求A.
解：因为是它的一个特征值。
6的3个向量中，任意2个都是线性无关的，可选向量(1,1,0)T和(2,1,1)T

4. 设3阶对称矩阵A的特征值 是A的属于
的一个特征向量，记其中为3阶单位矩阵(I) 验证是矩
阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ．
解：B的3个特征值为，
因为，所以，
，所以是B的特征向量，
设为B的属于的两个线性无关的特征向量，因为不同特征值的特征向量相互正交，所以：
，可取=, =.
B的全部特征值的特征向量为: , , 其中,是不为零的任意常数, 是不同时为零的任意常数.
=
5. 设实对称矩阵，求可逆矩阵P，使为对角型矩阵，并计算行列式的值。
解：

6. 设3阶实对称矩阵,（1）求可逆阵P，使为对角阵
（2）求正交阵Q，使为对角阵。
解：

（2）设： ，

，
7.设3阶实对称矩阵A=（1）求可逆阵P，使为对角阵
（2）求正交阵Q，使为对角阵
解：

8. 设B是秩为2的矩阵，
是齐次方程组的解向量，求的解空间的一个标准正交基。
解：，所以基础解系含有2个向量。3个向量中任意2个都是线性无关的，我们可以取

9.设, 求An.
解：

10.设A=，求A100
解：

11.设矩阵, 矩阵, 其中k为实数, E为单位矩阵, 求对角矩阵L, 使得B与L相似, 并求k为何值时, B为正定矩阵.
解:
所以B的特征值为：
. 其中为二重根.
因为A为实对称矩阵，所以B为实矩阵。

实对称矩阵必与对角阵相似：
时, B的特征值都为正, 此时, B为正定阵.
12.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量
是线性方程组A=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得（3）求A及，E为3阶单位矩阵。
解: A的各行元素之和均为3，，必有特征值为0，
，
向量,是线性方程组A=0的两个解,
所以是属于矩阵A的特征值0的特征向量。
故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为，（为不全为零的任意实数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数）
（2）将正交化
令

， ，
（3）

13.设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求.
证法一：假设线性相关，因为分别属于不同特征值的特征向量，
故线性无关，则可由线性表出，不妨设，
其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而
特征向量都是非0向量，矛盾)。
因为的分别属于特征值特征向量，所以
，又
，整理得： 则线性相关，矛盾. 所以，线性无关.
证法二：设存在数，使得 (1)
用左乘(1)的两边并由得
(1)—(2)得 (3)
因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关.
(II) 记，则可逆，

所以
14. 设A为三阶矩阵，是A的三个不同特征值，对应特征向量为，令。(1)证明线性无关；
(2)若，求秩r(A-E)及行列式|A+2E|.
解：(1) 设， ①
由题设，
于是，
，
代入①整理得
.
因为是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有
其系数行列式，
必有，故线性无关.
(2)由有
=，
令P=，则P可逆，因为AP=PB，P-1AP==B.
即A~B，于是A-E~B-E，A+2E~B+2E.
从而有
r(A-E)=r(B-E)=r=2, |A+2E|=|B+2E|==6.
本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相似矩阵的性质等多个重要知识点.
四、综合性题型
1.

解：把任意一列都加到第一列，然后第一行依次加到其他任意一行，
第二行第一列中的1为0， 2.

解：把任意一列都加到第一列，然后第一行依次加到其他任意一行，

因为，当
3. 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的个特征值是

，所以矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）。
4.设齐次线性方程组

解：

2变化是把最后一行加到其余各行，也可把把第一行加到其余各行。

，，
5.已知齐次线性方程组

其中试讨论满足何种关系时,(1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
解：方程组的系数行列式

(1)当；
(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为：
由可知ai(i=1,2,…,n)不全为零，不妨设.因为秩r(A)=1，取为自由未知量，可得方程组基础解系为

当,系数矩阵可化为

可得Ax=0的基础解系为
6. 设有齐次线性方程组
试问a取何值时，方程组有非零解，并求出其通解.
【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有
当a=0时， r(A)=1<n，故方程组有非零解，其同解方程组为：
基础解系为：
于是方程组的通解为： 其中为任意常数.
当时，对矩阵B作初等行变换，有
时，，故方程组也有非零解，其同解方程组为
由此得基础解系为：
于是方程组的通解为： ，（其中k为任意常数）。
【详解2】 方程组的系数行列式为
.
当，即a=0或时，方程组有非零解.
当a=0时，方程组的同解方程组为 结果同解法1.
当时，对系数矩阵A作初等行变换，有

故方程组的同解方程组为：同上
【详解3】 矩阵A的行列式也可这样计算：
=+，
矩阵的特征值为，从而A的特征值为a,a,, 故行列式
7. 设有齐次线性方程组

解：

，

8.设n阶矩阵（1）求A的特征值和特征向量
（2）求可逆矩阵P，使得为角矩阵。
解：

9. 设n元线性方程组，
，，．
（I）证明行列式；
（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求．
（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．
解：证法一

证法二：记，下面用数学归纳法证明．
当时，，结论成立． 当时，，结论成立．
假设结论对小于的情况成立．将按第1行展开得

故
证法三：记，将其按第一列展开得 ，

(II)因为方程组有唯一解，所以由知，又，故．
由克莱姆法则，将的第1列换成，得行列式为

(III)方程组有无穷多解，由，有，则方程组为

此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数．
10. 设A、B为三阶相似非零实矩阵，矩阵A=(aij)3×3满足aij=Aij (i,j=1,2,3),Aij为aij的代数余子式，矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,计算行列式|A*B-A*+B-E|.
解：|A*B-A*+B-E|= |A*(B-E)+(B-E)|= |(A*+E)(B-E)|= |A*+E|·|B-E|，
只需计算|A*+E|及|B-E|. 若能求出A或B的所有特征值，则问题即可解决.
因为|E+2B|=|E+3B|=0, 知 为B的两个特征值.
因为A~B，所以也为A的两个特征值，
因为aij=Aij，所以AT=A*，AAT=AA*=|A|E，从而|A|2=|AAT|=||A|E|=|A|3，
即 |A|2(1-|A|)=0. 于是|A|=0或|A|=1.
又A0，不妨设a110,由 |A|=a11A11+a12A12+a13A13=,
所以|A|=1，设为A、B的另一特征值，根据
1=|A|=，得 .
又因为：|A*B-A*+B-E|=|(A*+E)(B-E)|=|A*+E|·|B-E|=|AT+E|·|B-E|.
因为 |AT+E|=|(A+E)T|=|A+E| =(+1)(+1) (+1) =,
|B-E|=(-1)(-1) (-1)=,
故 |A*B-A*+B-E|=.
评注 本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理、特征值的概念及利用特征值求行列式等多个知识点.
11. 设A为三阶实对称矩阵，已知|A|=12，A的三个特征值之和为1，又是齐次线性方程组(A*-4E)x=0的一个解向量，(1)求A；(2)求(A*+6E)x=0的通解； (3)求正交变换矩阵Q，化二次型xTAx为标准形.
解 由为(A*-4E)x=0的解，知(A*-4E) =0，即 A*=4,于是AA*=4A，即 |A|=4A,A==-3, 可见为A的特征值，对应特征向量为
设为A的另两个特征值，由题设 ，. 利用及上两式可解是.
设的特征向量为
因为实对称矩阵相异特征值的特征向量正交，即XT·=0，即x1-2x3=0，
解得，
由，知

(2) 由，知 ，即 ，也即(A*+6E)=0，i=1,2, 可见即为(A*+6E)x=0的基础解系，故(A*+6E)x=0的通解为，其中为任意常数.
(3) 由于已正交，故只需将单位化，有

令Q==，
则Q为正交矩阵，令x=Qy，则二次型f=xTAx可化为标准形.
评注 本题综合考查了线性方程组、实对称矩阵特征值与特征向量性质以及化二次型为标准形等多个重要知识点.
12、设A,B为同阶方阵
（1）如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等
（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立
（3）当A，B均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立
解：（1）若A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得，故

（2）令则
但A，B不相似，否则，存在可逆矩阵P，使，矛盾
（3）由A，B均为实对称矩阵知，A,B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为，则有
即存在可逆矩阵P，Q，使于是故A，B为相似矩阵

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