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高等代数习题集
苏州大学数学科学学院高等代数组收集
2003, 4,30

1. 设 X = ，求X。
2. 设二次型 f (x1, x2, ... , xn)是不定的，证明： 存在n维向量X0，使 X0'AX0 = 0，其中A是该二次型的矩阵。
3. 设 W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。
a
证明：W是P[x]4的子空间。
b
求W的维数与一组基。
4. 在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x1 -4x2, 3x3)。
1，
证明：A是Rr3上线性变换，
2，
求A在基 xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。
5. 设 ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
6. 设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换， W是A的不变子空间。证明：W也是A-1的不变子空间。
7. 设V是n维欧氏空间，A是V上变换。 若任意 , V，有 (A, A) = (,)。 证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。
8. 设 X = ，求X。
9. 设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0， 证明：存在实n维向量X0 0，使 X0'AX0 > 0。
10. 设 A = ， W = {| R4, A = 0}。证明：
1. [1，]W是 4的一个子空间。
2. [2，]求W的维数与一组基。
11. 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。
1，
证明：A是 R2 x 2上线性变换。。
2，
求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。
12. 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。
13. 设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明： V = AV.+A-1(0)。
14. 设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。 证明：W也是A的不变子空间。
15. 设 X = ，求X。
16. 设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0， 证明：存在实n维向量X0 0，使 X0'AX0 > 0。
17. 设 A = ， W = {| R4, A = 0}。证明：
1. [1，]W是 4的一个子空间。
2. [2，]求W的维数与一组基。
18. 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。
1. [1，]证明：A是 R2 x 2上线性变换。。
2. [2，]求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。
19. 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。
20. 设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明： V = AV.+A-1(0)。
21. 设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。 证明：W也是A的不变子空间。
22. 设 X = ，求矩阵X。
23. 设实二次型 f (x1, x2, ... , xn) = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵. 证明:实二次型 g(x1, x2, ... , xn) = X'A-1X与 f (x1, x2, ... , xn)有相同的正负惯性指数和符号差 。
24. 设 W = {(a1, a2, ... , an)| ai R,ai = 0} 证明
1. [1，]证明：W是 Rn的子空间。
2. [2，]求W的维数与一组基。
25. 设 B = , B = .在 R2中定义变换 : 对任意 X R2 x 2,X = BX + XC
1. [1，]证明：是V上线性变换。
2. [2，]求在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵。
26. 设 A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
27. 设V为数域P上n维线性空间，V1, V2为其子空间， 且 V = V1V2,为V上可逆的线性变换. 证明： V = V1 + V2。
28. 设V为n维欧氏空间，若A既是V上对称变换且A2 = E。 证明：存在V的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为 。
29. 设 X = ，求矩阵X。
30. 设 f (x1, x2, ... , xn) = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'AX = 0当且仅当X = 0。 证明： f (x1, x2, ... , xn)的秩为n，符号差是n或- n.
31. 设 = (1, 2, 3, 0), = (- 1, -2, 0, 3)， = (0, 0, 1, 1), = (1, - 2, - 1, 0)， W = {ki| ki R}。
1. [1，]证明：W是Rr4的子空间。
2. [2，]求W的维数与一组基。
32. 设A三维向量空间V上可逆线性变换，A在 基 ,,下的矩阵是 。
1. [1，]证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换。
2. [2，]求A-1的在 ,,下的矩阵。
33. 设 ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
34. 设V为n维欧氏空间，若A既是V上正交变换，又是V上对称变换。 证明：A2是V上的恒等变换。
35. 设V为数域P上n维线性空间，W为其子空间，A为V上线性变换。 证明：维(AW) +维 (A-1(0) W) =维W。
36. 设 X = ，求矩阵X。
37. 设 W = {A| A R3 x 3, A' = - A}。
1. [1，]证明：W是 R3 x 3的一个子空间。
2. [2，]求W的维数与一组基。
38. 设实二次型 f (x1, x2, ... , xn) = X'AX的秩为n， 符号差是s。证明：R中存在 (n - | s|)维子空间W使任意X0 W， X0'AX0 = 0。
39. 在R[x]3中定义变换A：任意 f (x) R[x]3, A(f (x)) = xf'(x)。
1. [1，]证明：A是R[x]3上线性变换。
2. [2，]求A在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵。
40. 设 A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
41. 设V为数域P上n维线性空间，A为V上线性变换。证明：
维(AV) +维 (A-1(0)) =维V。
42. 设V为n维欧氏空间，若A是V变换，若任意 , V， (A,) = (, A)。 证明：A是V上线性变换，从而为V上对称变换。
43. 设 V = P[x]5,f (x) V ，有 f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)， 其中r(x) = 0或次(r(x)) < 2,
1. [1，]证明： f (x) V,令 A(f (x)) = r(x)，则A是V的一个线性变换;
2. [2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.
44. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换,
45. 设A, B是n x n正定矩阵，证明：A2 + B2是正定矩阵,
46. 设 W = {A| A = (aij)n Pn x n,aii = 0},
1. [1，]证明：W是 Pn x n的子空间,
2. [2，]求W的维数与一组基,
47. 判别下述结论是否正确，并说明理由,
1. [1，]若n x n矩阵A, B有相同特征多项式，则A与B相似；
2. [2，]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则 V = W W,
48. 设A为n维欧氏空间V的线性变换， 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量,
49. 设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换,若AB = BA，并且A有n个互异的特征值, 证明：A, B有n个线性无关的公共的特征向量.
50. 求矩阵 A = 的特征值和特征向量。
51. 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3 的标准型，并写出所用的非退化的线性替换。
52. 设V是由零多项式和数域 上 次数小于3的一元多项式的全体组成的P上线性空间。对于任意的 f (x) V,定义 (f (x)) = f'(x) - f''(x).证明
1. [1，]证明：是V的线性变换。
2. [2，]求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵。
53. 设V是一个欧氏空间， , V。证明: || = || ( + , - ) = 0
54. 设 W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}.
1. [1，]证明：W是P[x]4的子空间。
2. [2，]求W的维数与一组基。
55. 设A为线性空间V上线性变换。证明： A是可逆的线性变换的充要条件是A 的特征值一定不等于零.
56. 设A为n x n实矩阵， A = A', A3 = En 证明：A = En 。
57. 设 X = ,求矩阵X。
58. 在Rr3中定义线性变换A： (a1, a2, a3) R3, A(a1, a2, a3) = (2a2 + a3, a1 -4a2, 3a1)。求在基 {(1, 0, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 1)}下的矩阵.
59. 用正交线性替换化二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形
60. 设V为数域P上n维线性空间，A是V的一个可逆线性变换， W是A子空间。证明：W也是A-1-子空间。
61. 设A是正定矩阵，证明： A-1, A2都是正定矩阵。
62. 设V为数域P上n维线性空间，A是V的线性变换，且 kerA = kerA2。证明： V = kerA AV。
63. 设V为n维欧氏空间，A是V上对称变换，且A2 = E。 证明：存在V的一标准正交基，使A在该基下的矩阵是 .
64. 设 B P2 x 2，
1. [1，]证明： A(X) = BX - XB,X P2 x 2是 P2 x 2上一个线性变换；
2. [2，]当 B = 时，求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。
65. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换。
66. 设 W1 = | x, y, z P, W2 = | A, b, c P都是 P2 x 2的子空间。
1. [1，]求 W1 W2的维数和一组基；
2. [2，]求W1 + W2的维数。
67. 判别下述结论是否正确，并说明理由。
1. [1，]设 A, B Pn x n，若A, B有相同特征多项式，则A与B相似；
2. [2，]设A是P上n维线性空间V的线性变换，若A有n个不同特征值，则 A在某基下的矩阵是对角形。
68. 判别实二次型 f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3 是不是正定的？并说明理由。
69. 设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换。 若A有n个互异的特征值，且A的特征向量都是B的特征向量， 证明：AB = BA。
70. 设A, B是n阶实对称矩阵，且B是正交矩阵。证明：存在n x n实可逆矩阵T，使T'AT与T'BT同时为对角形。
71. 设 X = ，求矩阵X。
72. 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。
1. [1，]证明： A是 R2 x 2上线性变换。
2. [2，]求A在基 E11, E12, E23, E22下的矩阵。
73. 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。
74. 设 W = {(a1, a2, ... , an)| Ai Rn, a1 + a2 + ... + an = 0}。
1. [1，]证明：W是Rn的子空间。
2. [2，]求W的维数与一组基。
75. 设V为数域P上n维线性空间，V1, V2为V的两子空间， 且 V = V1 V2, A是V上可逆线性变换。证明： V = AV1 AV2。
76. 设V是一个欧氏空间， , V， 证明： || = || + , - ) = 0。
77. 设A是欧氏空间V的一个正交变换， 证明：A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间。
78. 设 V = P2 x 2, B V，(1)证明：变换A： X BX - XB是V上一个线性变换；(2)当 B = 时，求A在基Eij下的矩阵。
79. 求 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -6x2x3的标准形， 并给出所用的非退化线性替换P.
80. 求k为何值时 f (x1, x2, x3) = x12 + (k + 2)x22 + kx32 +2x1x2 -2x1x3 -4x2x3 是正定的。
81. 判别下述结论是否正确，并说明理由。
1. [1，]设 A, B Pn x n，若A, B有相同特征多项式，则A与B相似；
2. [2，]设A是P上n维线性空间V的线性变换，若A有n个不同特征值，则 A在某基下的矩阵是对角形。
82. 设 W1 = | x, y, z P, W2 = | A, b, c P都是 P2 x 2的子空间。 (1)求 W1 W2的维数和一组基；(2)求W1 + W2的维数。
83. 设 A = ，
1. [1，]求A的特征值与特征向量；
2. [2，]A是否相似于对角形，为什么？
84. 设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换。 若A有n个互异的特征值，且A的特征向量都是B的特征向量， 证明：AB = BA。
85. 设A, B是n阶实矩阵，且B是正定矩阵。证明：存在实可逆矩阵P， 使PTAP与PTBP同时为对角形。
86. 设 V = P2 x 2, B V，
1. [1，]证明：变换A： X BX，是V上一个线性变换；
2. [2，]当 B = 时，求A在基Eij下的矩阵。
87. 求 f (x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3的标准形， 并给出所用的非退化线性替换.
88. f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是否正定。为什么？
89. 判别下述结论是否正确，并说明理由。
1. [1，]设 A, B Pn x n，若A与B相似，则A, B有相同特征多项式；
2. [2，]设A是n维线性空间V的线性变换，若A在某基下的矩阵是对角形， 则A有n个互异特征值。
90. 设 = (1, 0, 1, 1), = (1, -1, 1, 2), beta1 = (1, -1, 0, 1), = (0, 1, 0, 1), W1 = L(,), W2 = L(,)。
1. [1，]求W1 + W2的维数和一组基；
2. [2，]求 W1 W2的维数。
91. 设 A = ，
1. [1，]求A的特征值与特征向量；
2. [2，]A是否相似于一个对角矩阵，为什么？
92. 设A是实对称矩阵，并且A3 = En。证明：A = En。
93. 设A, B是数域 上n维线性空间V的两线性变换。若AB = BA，并且A有n个互异的特征值。 证明：A, B有n个线性无关的公共特征向量.
94. 设 V = P[x]5,f (x) V, A(f (x)) = r(x)， 其中 f (x) = (x3 - 1)q(x) + r(x), r(x) = 0或次(r(x)) < 3。
1. [1，]证明：变换A是V的一个线性变换。
2. [2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。
95. 设
A =
求正交矩阵T使T'AT为对角形。
96. 设A, B是n x n正定矩阵，证明：A2 + B2是正定矩阵。
97. 判别下述结论是否正确，并说明理由。
1. [1，]设A是n维线性空间V的线性变换，则 V = AV kerA；
2. [2，]设V为欧氏空间，A是V的一个对称线性变换， ,是A之属不同特征值下的特征向量,则 ,
98. 设 ,是 上n维线性空间V的线性变换， W既是-不变子空间,也是-不变子空间.证明:
1. [1，]W是 + ,-不变子空间；
2. [2，]若是可逆的，则W是 -不变子空间,
99. 设 W = {A n x n| TrA = 0}, (其中TrA表示A的主对角线元素的和).
1. [1，]证明：W是一个子空间；
2. [2，]求W的维数和一组基.
100. 设 A = 可逆，其中 A1 Pm x n, Wi = {AiX = 0} 之解空间,证明： Pn = W1 W2.
101. 设A在基 ,,下的矩阵是
A =
求在基 = 2 +3 + , = 3 +4 + , = +2 +2下的矩阵.
102. 设
A =
求A的特征值，特征向量.A是否相似于对角矩阵？
103. 设A正定矩阵，证明：A*也正定.
104. 判别下述结论是否正确，并说明理由.
1. [1，]n级实矩阵A是负定的充要条件是A的顺序主子式全小于0；
2. [2，]n维欧氏空间V之正交变换把V的正交基变成正交基.
105. 设是A之属的特征向量， g(x) = akxk P[x]，证明：是g(A)之属 g()的特征向量。
106. 设A是n维线性空间V的线性变换，证明下述等价.
1. [1，]A可逆；
2. [2，] kerA = {0}；
3. [3，]A将V的基变成基.
107. 设XTAX是实二次矩阵，XTBX是正定二次矩阵，其中A, B是对称矩阵, 则存在非退化线性替换X = PY把它们同时变换成标准形。
108. 设 V = P[x]5,f (x) V, A(f (x)) = r(x)， 其中 f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)，r(x) = 0或次(r(x) < 2)。
1. [1，]证明：变换A是V的一个线性变换。
2. [2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。
109. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换。
110. 设A, B是正定矩阵，证明：A + B，A-1都是正定矩阵。
111. 判别下述结论是否正确，并说明理由。
1. [1，]若数域P上n阶矩阵A, B有相同特征多项式，则A与B相似；
2. [2，]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则 V = W W。
112. 设 V1, V2, V3 V是有限维子空间，证明： dimV1 + dimV2 + dimV3 = dim(V1 + V2 + V3) + dim(V3 (V1 + V2)) + dim(V1 + V2)。
113. 设A为n维欧氏空间V的线性变换， 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量。
114. 设A是n维欧氏空间的一个线性变换， (,)是V的内积。证明： (A(), A())是V的内积 A可逆。
115. 设 A = ，求A的逆矩阵。
116. 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。
117. 设 A = ，求A的所有特征值，特征向量。A是否相似于一个对角矩阵，为什么？
118. 设A是P上n x n矩阵， W = {f (x) P[x]| f (A) = 0}。 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间。
119. 设 = (1, 2, 1, 0), = (- 1, 1, 1, 1), = (2, -1, 0, 1), = (1, - 1, 3, 7)，求 L(,) + L(,)与 L(,) L(,) 的维数。
120. 设V是一个欧氏空间， , V， 证明： || = || ( + , - ) = 0。
121. 设A是n x n实矩阵，证明：A'A是半正定矩阵。
122. 设A是欧氏空间的一个实对称变换。证明：若A4 = 0，则A = 0。
123. 设 A = ，求A的逆矩阵。
124. 求二次型 f (x1, x2, x3) = 3x12 -5x1x2 +2x1x3 - x32的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。
125. 设 A = ，求A的最小的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。
126. 设A是P上n x n矩阵， W = {f (A)| f (x) P[x]}。 证明：W关于通常的加与数乘是一个线性空间。
127. 设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对B V，令 A(B) = ，其中B'是B的转置。
1. [1，]证明：A是V的一个线性变换。
2. [2，]求A在基 ,,,下的矩阵。
128. 设V是欧氏空间， , V。证明： (,) = | + |2 - | - |2。
129. 设A是3 x 3矩阵。若1, 1, - 2是A的特征值，求 A2 +2A - 3E3的行列式。
130. 设A是n x n实对称矩阵。证明：若A3是半正定矩阵，则A是半正定矩阵。
131. 求矩阵X，使 X = 。
132. 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 -6x1x2 +4x1x3 -7x22 + x32的一个标准形， 并写出所有的非退化的线性替换。
133. 设 A = ，求A的最大的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。
134. 设A是一个p上n x n矩阵，W是所有形为AB(其中B是n x m矩阵)全体所成的集。 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间。
135. 设V是由零多项式和P上次数小于3的一元多项式的全体组成的P上的线性空间。 对于f (x) V，令 A(f (x)) = f'(x) - f''(x)。
1. [1，]证明：变换A是一个线性变换。
2. [2，]求A在基 {1, x + 1, x2 - x}下的矩阵。
136. 设V是欧氏空间， , V。证明： 若 | + |2 = ||2 + ||2，则与正交。
137. 设A, B都是n x n正定矩阵。证明：A + B也是正定矩阵。
138. 设A是n x n实对称矩阵。证明： 若A5 = En，则A = En。
139. 设 A = ，求A的逆矩阵。
140. 求二次型 f (x1, x2, x3) = 2x12 + x22 -4x1x2 -4x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。
141. 设 A = ，求A的最小的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。
142. 设V是欧氏空间，W是V上所有对称变换组成的集合。 证明：W关于通常的加与数乘是一个R上的线性空间。
143. 设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对B V，令 A(B) = B。
1. [1，]证明：A是V的一个线性变换。
2. [2，]求A在基 ,,,下的矩阵。
144. 设V是一个欧氏空间， , V。证明： 若与正交，则 | + |2 - | - |2 = 0。
145. 设A是n x n矩阵。证明：若0是A的一个特征值，则A不是可逆的。
146. 设A是n x n实对称矩阵。是A的最大特征值。 证明： ( +1)En - A是正定矩阵。
147. 求矩阵X，使 X = 。
148. 求二次型 f (x1, x2, x3) = 2x12 +5x22 +5x32 +4x1x2 -4x1x3 -8x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。
149. 设 A = ，求A的全体实的特征值，并求属于这些特征值的全体特征向量。
150. 设 W = {f (x) P[x]| f (1) = 0}。 证明：W关于通常的加与数乘是一个上P的线性空间。
151. 设 = (1, 2, -1, -2), = (3, 1, 1, 1), = (- 1, 0, 1, -1), = (2, 5, -6, 5), = (- 1, 2, - 7, - 3)，求 L(,,) + L(,)与 L(,,) L(,) 的维数。
152. 设V是一个欧氏空间， , V。证明： | + |2 + | - |2 = 2||2 +2||2。
153. 设A是3 x 3矩阵。若1, - 1, - 2是A的特征值，求 A2 -3A - 10E3的行列式。
154. 设A是一个n x n实对称矩阵.如果对任意n维列向量（视为n x 1矩阵）， 有 (A,) > 0。证明：A是正定矩阵。
155. 计算向量组， = , = , = , = 的秩.
156. 计算行列式： .
157. 求下列线性方程组的一个基础解系和解集.

158. 证明：如果x 1,则
= - .
159. 设 f (x), g(x) P[x]，证明：f (x)与g(x)互素的充要条件是 f2(x) + 3f (x)g(x) + g3(x)与 4f3(x)g(x)互素.
160. 设 f (x) R[x].证明：如果f (x)在R中有根，则f (x3)在R中有根.
161. 已知 ,, ... ,与 ,, ... ,有相同的秩， 证明： ,, ... ,与 ,, ... ,等价.
162. 计算向量组， = , = , = , = 的秩.
163. 计算行列式： .
164. 求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集

item 证明：
= anxn + an-1xn-1 + ... a1x + a0.
165. 设 f (x), g(x) P[x]，证明：f (x)与g(x)互素的充要条件是 f (x) + g3(x)与 (f (x)g(x))2互素.
166. 设 f (x) R[x].证明：如果f (x)有正根，则 f ((x - 1)(x - 2))在R中有根.
167. 设 ,, ... ,一组n维向量，如果单位向量 ,, ... ,可被它们线性表出， 证明： ,, ... ,线性无关.
168. 计算矩阵的A秩， A = .
169. 计算行列式： .
170. 求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集.

171. 证明：
= (n + an)a1a2 ... an-1.
172. 设 f (x), g(x) P[x]，证明：f (x)与g(x)互素的充要条件是 f3(x) - 2f (x)g(x) + g2(x)与 f2(x)g(x)互素.
173. 设 f (x), g(x) P[x].证明：如果g(x)次数大于0，f (x)有重因式， 证明：f (g(x))有重因式.
174. 已知向量组 ,, ... ,的秩是r， ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果 ,, ... ,线性无关， 则 ,, ... ,是 ,, ... ,的一个极大线性无关组.
175. 计算矩阵的A秩， A = .
176. 计算行列式： .
177. 求下列线性方程组的一个基础解系.

178. 证明：
= (- 1)n(n + 1)a1a2 ... an.
179. 设 f (x), g(x) P[x]，证明：f (x)与g(x)互素的充要条件是 f3(x) + g2(x)与 f (x)g3(x)互素.
180. 设 f (x) C[x].证明：如果1是f (x)的一个根，则 = + i是f (x3)的一个根.
181. 已知向量组 ,, ... ,的秩是r， ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果 ,, ... ,线性无关， 则 ,, ... ,是 ,, ... ,的一个极大线性无关组.