高等代数IIA.doc

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杭州师范大学理学院2011-2012学年第二学期期末考试
《高等代数Ⅱ》试卷（A）
题号
一
二
三
总分
得分

教师签名

得分

一、填空题（每空4分，共40分）．
1.已知三维向量空间的基底为则向量在此基底下的坐标是
2．已知维向量空间的基到基的过渡矩阵是，由基到基的过渡矩阵是，则到的过渡矩阵是
3．设三阶方阵A的三个特征值为-1，1，2，则 ；其中 I 为三阶单位方阵．
4．已知矩阵A=与B=相似，求 ，
5．在中，定义，则的长度
6．.设是欧氏空间R3上的对称变换σ的属于不同本征值的本征向量，则
7．二次型的矩阵为
8．当取值为 时，二次型为正定二次型
9．实数域上4阶对称矩阵按合同关系可分为 类
二、计算题（每小题9分，共36分）．
得分

1． 设的两个子空间为

求与的基与维数.

2．设是4维线性空间V的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为

（1）求在基下的矩阵
（2）求的核与值域
（3）若线性变换，有，问是否为可逆变换？为什么？

3．已知5阶实对称阵A是幂等矩阵(即A2=A),且秩A=3, 求det(3I−A)的值．

4．求二次型的秩与符号差

三、证明题（每小题8分，共24分）．
1．设σ∈L(V)，且σ2=σ,，求证1）kerσ={ξ−σ(ξ) | ξ∈V}；2）V=kerσImσ．
得分

2. 设有+1个列向量，，是一个阶正定矩阵，如果满足：
（1）；
（2）且；
（3）与每一个都正交.
证明.

3. 如果实对称矩阵满足，证明为正交矩阵.
《高等代数Ⅱ》试卷（第4页，共4页）