初三圆的知识点总结.doc

初三圆的知识点总结
1.垂径定理及推论:
如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，
即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.

几何表达式举例：
∵ CD过圆心
∵CD⊥AB
2.平行线夹弧定理：
圆的两条平行弦所夹的弧相等.

几何表达式举例：

3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）
“等角对等弦”； “等弦对等角”；
“等角对等弧”； “等弧对等角”；
“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；
“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.

几何表达式举例：
(1) ∵∠AOB=∠COD
∴ AB = CD
(2) ∵ AB = CD
∴∠AOB=∠COD
4．圆周角定理及推论:
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)
（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；
（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)

（1） （2）（3） （4）
几何表达式举例：
（1） ∵∠ACB=∠AOB
∴ ……………
（2） ∵ AB是直径
∴ ∠ACB=90°
（3） ∵ ∠ACB=90°
∴ AB是直径
（4） ∵ CD=AD=BD
∴ ΔABC是RtΔ

5．圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外
角都等于它的内对角.
几何表达式举例：
∵ ABCD是圆内接四边形
∴ ∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180°
6．切线的判定与性质定理:
如图：有三个元素，“知二可推一”；
需记忆其中四个定理.
（1）经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

几何表达式举例：
（1） ∵OC是半径
∵OC⊥AB
∴AB是切线
（2） ∵OC是半径
∵AB是切线
∴OC⊥AB
（3） ……………

7．切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等；圆心和这一
点的连线平分两条切线的夹角.

几何表达式举例：
∵ PA、PB是切线
∴ PA=PB
∵PO过圆心
∴∠APO =∠BPO
8．弦切角定理及其推论:
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）

几何表达式举例：
（1）∵BD是切线，BC是弦
∴∠CBD =∠CAB

（2）
∵ ED，BC是切线
∴ ∠CBA =∠DEF

9．相交弦定理及其推论:
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；
（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.

几何表达式举例：
（1） ∵PA·PB=PC·PD
∴………
（2） ∵AB是直径
∵PC⊥AB
∴PC2=PA·PB
10．切割线定理及其推论:
（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

几何表达式举例：
（1） ∵PC是切线，
PB是割线
∴PC2=PA·PB
（2） ∵PB、PD是割线
∴PA·PB=PC·PD
11．关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.

（1） （2）
几何表达式举例：
（1） ∵O1，O2是圆心
∴O1O2垂直平分AB
（2） ∵⊙1 、⊙2相切
∴O1 、A、O2三点一线
12．正多边形的有关计算:
（1）中心角an ，半径RN ， 边心距rn ，
边长an ，内角bn ， 边数n；
（2）有关计算在RtΔAOC中进行.
公式举例：
(1) an =；
(2)
2．关于圆的常见辅助线：

已知弦构造弦心距.

已知弦构造RtΔ.

已知直径构造直角.

已知切线连半径，出垂直.

圆外角转化为圆周角.

圆内角转化为圆周角.

构造垂径定理.
构造相似形.

两圆内切，构造外公切线与垂直.

两圆内切，构造外公切线与平行.

两圆外切，构造内公切线与垂直.

两圆外切，构造内公切线与平行.

两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.

两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线.

PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.

相交弦出相似.

一切一割出相似, 并且构造弦切角.

两割出相似,并且构造圆周角.

双垂出相似,并且构造直角.

规则图形折叠出一对全等，一对相似.

圆的外切四边形对边和相等.

若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.

等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形.

RtΔABC的内切圆半径：r=.

补全半圆.

AB=.

AB=.

PC过圆心，PA是切线，构造
双垂、RtΔ.

O是圆心，等弧出平行和相似.

作AN⊥BC，可证出:
.

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