3.3全称命题与特称命题的否定.doc

3.3　全称命题与特称命题的否定
明目标、知重点　通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，说明这个全称命题的否定是正确的．
2．全称命题的否定是特称命题．
3．要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，说明这个特称命题的否定是正确的．
4．特称命题的否定是全称命题．

探究点一　全称命题的否定
思考1　你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)三个给定产品都是次品．
答　(1)存在一个矩形不是平行四边形；
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)三个给定产品中至少有一个是正品．
思考2　全称命题的否定有什么特点？
答　全称命题的否定是特称命题．
例1　写出下列全称命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
解　(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(3)存在x0∈Z，x的个位数字等于3.
反思与感悟　全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1　写出下列命题的否定：
(1)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；
(2)任意a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；
(3)可以被5整除的整数，末位是0.
解　(1)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．
(2)是全称命题，其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一．
(3)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
探究点二　特称命题的否定
思考　怎样对特称命题进行否定？
答　对特称命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．
例2　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解　(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定：“任意x，y∈Z，x＋y≠3”．
由于当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
反思与感悟　特称命题的否定是全称命题，否定的关键是量词的否定形式和判断词的改变．
跟踪训练2　写出下列特称命题的否定：
(1)存在一个x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个素数含三个正因数．
解　(1)对任意的x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)所有的三角形都不是等边三角形．
(3)每一个素数都不含三个正因数．
探究点三　特称命题、全称命题的综合应用
例3　已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．
解　
在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，
　即
即∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是－3<p<.
反思与感悟　通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免烦杂的运算．
跟踪训练3　若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________________．
答案　(－，－1)∪(1，)
解析　依题意有0<a2－1<1⇔⇔⇔
－<a<－1或1<a<.

1．下列4个命题：
p1：存在x∈(0，＋∞)，()x<()x；
p2：存在x∈(0,1)，logx>logx；
p3：任意x∈(0，＋∞)，()x>logx；
p4：任意x∈(0，)，()x<logx.
其中的真命题是(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
答案　D
解析　取x＝，则logx＝1，logx＝log32<1.p2正确．
当x∈(0，)时，()x<1，而logx>1，p4正确．
2．对下列命题的否定说法错误的是(　　)
A．命题：能被2整除的数是偶数；命题的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．命题：有些矩形是正方形；命题的否定：所有的矩形都不是正方形
C．命题：有的三角形为正三角形；命题的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．命题：存在x∈R，x2＋x＋2≤0；命题的否定：任意x∈R，x2＋x＋2>0
答案　C
解析　“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．
3．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．
答案　存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析　由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．
4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________________________________________．
答案　有的向量与零向量不共线
解析　命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．
[呈重点、现规律]
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．

一、基础过关
1．命题“任意x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是(　　)
A．存在x∈R，x2－x＋2≥0
B．任意x∈R，x2－x＋2≥0
C．存在x∈R，x2－x＋2<0
D．任意x∈R，x2－x＋2<0
答案　C
解析　“≥”的否定是“<”，全称命题的否定是特称命题．
2．对命题：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定为(　　)
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
答案　C
解析　若命题是特称命题，其否定形式为全称命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．
3．“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为“存在x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，
所以“任意x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题．
所以Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.
所以“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件．
4．命题“一次函数都是单调函数”的否定是(　　)
A．一次函数都不是单调函数
B．非一次函数都不是单调函数
C．有些一次函数是单调函数
D．有些一次函数不是单调函数
答案　D
解析　命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．
5．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．
答案　存在x0∈R，使得x<0
解析　“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x<0”．
6．若命题“存在实数x，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是____________．
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1或a>3.
7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图像都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
解　(1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．
二、能力提升
8．下列命题中的假命题是(　　)
A．任意x∈R,2x－2 014>0 B．任意x∈N＋，(x－1)2>0
C．存在x0∈R，lg x0<1 D．存在x0∈R，tan x0＝2
答案　B
解析　A中命题是全称命题，易知2x－2 014>0恒成立，故是真命题；
B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；
C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；
D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．
9．已知命题“三角形有且仅有一个外接圆”，则命题的否定为“__________________________________________”．
答案　存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆
解析　全称命题的否定是特称命题．
10．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是__________．
答案　3≤m<8
解析　因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，
故实数m的取值范围是3≤m<8.
11．命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a、b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解　(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集，
通过画数轴可看出，a、b应满足的条件是b<a.
12．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解　由已知得命题p的否定：任意x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．
∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则
∴解得a≤－3，
∵命题p的否定为假，∴a>－3，
即a的取值范围是(－3，＋∞)．
三、探究与拓展
13．已知命题p：存在x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命题q：任意x∈[0,1]，都有(a2－4a＋3)x－3＜0.若p和q中具有一个真命题，求实数a的取值范围．
解　若命题p为真命题，则有Δ＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，解得1≤a≤4.
对于命题q，令f(x)＝(a2－4a＋3)x－3，若命题q为真命题，则有f(0)＜0且f(1)＜0，可得0＜a＜4.
由题设知命题p和q中有且只有一个真命题，
所以
或
解得0＜a＜1或a＝4，
故所求a的取值范围是0＜a＜1或a＝4.