椭圆双曲线练习卷(含答案).doc

高二数学练习卷一 （椭圆、双曲线）

班级 姓名

一、填空题
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，长、短轴都在坐标轴上，过点，则椭圆的方程是或．
2．双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为 或
3．与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹方程为．
4．过点（2，-2）且与双曲线y2=1有相同渐近线的双曲线方程是
5．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是。
6．若方程表示两个焦点都在x轴上的椭圆，则a的取值范围是 .
7．已知椭圆的离心率，则的值等于．
8．椭圆的焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么=．
9．已知点P在双曲线=1上,满足|PF1| =12，则|PF2| =2或22.
10．双曲线的离心率，则的取值范围是
11.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
12．曲线C的方程为 （），
当时，曲线C为圆；当时，曲线C为椭圆；当 时，曲线C为双曲线；当或时，曲线C为两直线.
13．是椭圆上的一点，和是焦点，若，则的面积等于
14．双曲线的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2 ,则点P到x轴的距离为.
15．过点作直线，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线的条数是4条．
16．设是直线上一点，过点的椭圆的焦点为，，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为．

17．以下同个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为③④（写出所有真命题的序号）
18．若椭圆和双曲线有相同的焦点，P是两条曲线的一个公共点，则的值是。
二、解答题

19．求经过椭圆x2+2y2=4的左焦点且倾斜角为的直线教椭圆于A、B两点，求弦AB的长度。
长度为：

20．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．
椭圆和双曲线的方程为：，或，

21．已知定圆C的方程是，定点A的坐标是（4，0），P为圆C上的一个动点，线段AP的垂直平分线与半径CP交于点Q，求点Q的轨迹方程。
解答：如图，设Q点的坐标是（x，y）。连接QA。
∵QM垂直平分线段AP, ∴|QP|=|QA|，
∴|QC|+|QA|=|CP|=10，
∴Q点的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，
轨迹方程是。

22．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少？

此题因需用到圆锥曲线第二定义可暂时不做

23．已知是椭圆的两个焦点，过原点作弦，求面积的最大值 。
解：方程化为．．
因为的最大值就是当分别在短轴端点时取到，所以的最大值就是４．
所以．
24．点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。
[解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0)
设点P(,),则={+6, },={－4, },由已知可得

则2+9－18=0, =或=－6.
由于>0,只能=,于是=.
∴点P的坐标是(,)
(2) 直线AP的方程是－+6=0.
设点M(,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离有
,
由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值

25．椭圆与双曲线有公共焦点，P是两曲线的一个交点，求的面积。
解答：由椭圆和双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，
由椭圆和双曲线的定义可知
。
椭圆与双曲线有公共焦点，
∴∴，
∴，即，
∴的面积。

26．直线与双曲线交于A、B两点，
（1）当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
（2）当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？
解：由得： （※），
∴，
得当且时，直线与双曲线交于两点，
设、
（1）由，得：.
（2）以AB为直径的圆过原点，
∴， ∴，
由（※）得，，∴，
解得.

27．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，
点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.

可暂时不做

28．已知椭圆的中心在原点O，焦点在轴上，右准线的方程为x＝1，倾斜角为的直线交椭圆于P、Q 两点，且线段PQ的中点坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A为椭圆的右顶点， M、N为椭圆C上两点，且|OM| 、|OA|、|ON|三者的平方成等差数列，则直线OM和ON斜率之积的绝对值是否为定值？如果是，请求出定值；若不是，请说明理由．
分析 第（1）可以利用待定系数法，首先设椭圆方程为，通过条件右准线的方程为x＝1和倾斜角为的直线交椭圆于P、Q 两点，且线段PQ的中点坐标为，列出方程组，解出a，b；第（2）问可以先设出M，N点的坐标，将条件“|OM| 、|OA|、|ON|三者的平方成等差数列”作适当转化，即可。
解答：（1）设椭圆方程为 ①
直线的方程为，即 ②
由①②得：
设，则 即 ③
又由C的准线方程为得即 ④ 又 ⑤
由③④⑤解得。∴椭圆的方程为．
（2）法一：设，则
两式相加整理得： ⑥
∵|OM| 、|OA|、|ON|三者的平方成等差数列，
∴|OM| 2+|ON| 2＝|OA|2，又A为椭圆的右顶点，∴|OA|2＝，
∴|OM| 2+|ON| 2＝，∴ ⑦
由⑥⑦解得：，
∵
∴ ，即|KOP·KOQ|＝为定值．
法二：设，则k1＝，，
于是2x+4kx＝1，x＝，y＝,同理，x＝，y＝．
由|OM| 2+|ON| 2＝|OA|2，得，于是
+++＝，即+＝，
解得k k＝，|k1k2|＝，为定值．
法三：设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），则由|OM| 2+|ON| 2＝|OA|2，得，于是 cos2α+ sin2α+ cos2β+ sin2β＝，
所以，cos2α－ sin2β＝0，也是cos2β－ sin2α ＝0，
于是 tan2αtan2β＝＝，所以|k1k2|＝，为定值．