《双曲线》练习题经典(含答案).doc

《双曲线》练习题
一、选择题：
1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(　A　)
A.　　　B. C. D.
2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（　B　）
A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2= D．x2﹣y2=
3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（　B　）
A． B． C．或 D．
4.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）与双曲线－＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）
A． B． C． D．
5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　A　）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）
6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（　A　）
A．2 B． C． D．
7．已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、半径为 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）
A． B． C． D．
8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(　B　)
A.　　 B. C. D.
9．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于( D )
A．9 B．4 C．2 D．,3
10．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是(　A　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
11．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　C　)
A．4 B．8 C．24  D．48
12．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　C　)
A．28　　 B．14－8 C．14＋8 D．8
13．已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　D　）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
14．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A，B两点，若3|F1B|=|F2A|，则该双曲线的离心率是（　C　）
A． B． C． D．2
15．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以原点为圆心，b为半径的圆与x轴正半轴的交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（　C　）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
17．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（　B　）
A．4 B． C． D．
18．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（B　）
A．3 B．2 C． D．
19．已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为( B )
A． B． C．（x > 0） D．
20.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为， 则取值范围为（ D ）
A. B. C. D.
21.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( D )
A．　　 B． 　　 C．　　 D．
22.双曲线过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为( A )
A．（2，+∞） B．（1，2）C．（，+∞） D．（1，）
23.已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ D ）
A. （） B. （1，） C. （） D. （1，）
24．我们把离心率为e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；
②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是(　D)
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：
25．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为__ ___ e1<e2<e4<e3___．
26．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲 线右支上一点，则·的最小值为________．－2
27．已知点P是双曲线－＝1上除顶点外的任意一点，F1、F2 分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝__ ______. b2
28．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、 F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是_____ (1，＋1)
29.已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为　　．7
三、解答题：
30．已知曲线C：＋x2＝1.
(1) 由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
(2) 如果直线l的斜率为，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程．
31．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.
（Ⅰ）求双曲线C的方程
（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围
32.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
33.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

30.已知曲线C：＋x2＝1.
(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆吗？请说明理由； (2)如果直线l的斜率为，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程．
解：(1)设E(x0，y0)，P(x，y)，则F(x0,0)，∵，
∴(x－x0，y)＝3(x－x0，y－y0)．∴
代入＋x＝1中，得＋x2＝1为P点的轨迹方程．当λ＝时，轨迹是圆．
(2)由题设知直线l的方程为y＝x－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去y得：(λ＋2)x2－4x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0，
∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x1·x2＝，
而＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋x1·x2＝3x1x2＝，
∴＝－，解得λ＝－14.∴曲线C的方程是x2－＝1.
31．(本题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.
（Ⅰ）求双曲线C的方程
（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围
解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得
故双曲线的方程为.
（2）将代入得
由直线与双曲线交与不同的两点得
即且. ① 设，则
，由得，
而
.
于是，即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范围为
32. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，
得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得<k<1.
∴当<k<1时，l与双曲线左支有两个交点．
(3)由(2)得：xA＋xB＝，
∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.
∴AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
∵<k<1，∴－2<1－3k2<0.∴m<－2.∴m的取值范围为(－∞，－2)．
33.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，
又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；
（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，
由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），
由P，A，M共线可得，kPA=kMA，即为=，
可得s=1+，
由P，B，N共线可得，kPB=kNB，即为=，可得s=﹣1．
假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．
可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．
即有[1+][﹣1]=﹣4，
化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，
解得m=0或8，
由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．