欧几里德空间知识点总结.ppt

计计算算题题1、求正交矩、求正交矩阵阵2、对对称矩称矩阵阵正交正交对对角化角化3、正交、正交变换变换求二次型的求二次型的标标准形准形证证明明题题1、正次矩、正次矩阵阵与正交与正交变换变换的相关性的相关性质质2、对对称矩称矩阵阵与与对对称称变换变换的相关性的相关性质质3、实对实对称矩称矩阵阵的定性的定性主要主要题题型型1.一、正交矩一、正交矩阵阵1、设设则则下列条件等价下列条件等价:A为为正交矩正交矩阵阵A的列向量的列向量组组是欧氏空是欧氏空间间 的的标标准正交基准正交基.A的行向量的行向量组组是欧氏空是欧氏空间间 的的标标准正交基准正交基.A可以看作是两可以看作是两组标组标准正交基的准正交基的过过渡矩渡矩阵阵.2.A为为正交矩正交矩阵阵 A为为正交矩正交矩阵阵 A为为正交矩正交矩阵阵2 2 正交矩正交矩阵阵的判定方法的判定方法3.3 3、运算性运算性质质正交矩正交矩阵阵的的转转置置/逆逆为为正交矩正交矩阵阵 正交矩正交矩阵阵的伴随矩的伴随矩阵为阵为正交矩正交矩阵阵 正交矩正交矩阵阵之之积积/幂为幂为正交矩正交矩阵阵例例2、证证明上三角的正交矩明上三角的正交矩阵阵必必为对为对角矩角矩阵阵，且，且 对对角角线线上元素上元素为为1或或1。例例1、P193-194习题习题1、2、3、4、114.例例3、（1）设设A为为一个一个 阶实阶实矩矩阵阵且且 ，证证明明 A可以分解成可以分解成 ，其中，其中 是正交是正交阵阵，为为上三角上三角阵阵，且，且 ，并并证证明明这这个个分解是唯一的。分解是唯一的。（2）设设A为为n阶阶正定矩正定矩阵阵，证证明存在一上三角形明存在一上三角形矩矩阵阵P，使，使 。（P188习题习题7）（R称称为为正正线线上三角）上三角）5.二、正交二、正交变换变换1.定定义义欧氏空欧氏空间间V的的线线性性变换变换 如果保持向量的内如果保持向量的内积积不不变变，则则称称 为为正交正交变换变换.1）正交）正交变换变换的逆的逆变换变换是正交是正交变换变换；2）正交）正交变换变换的乘的乘积还积还是正交是正交变换变换注注.n n维维欧氏空欧氏空间间V的正交的正交变换变换是是V到自身的同构映射到自身的同构映射6.下述命下述命题题是等价的：是等价的：2、设设是是n维维欧氏空欧氏空间间V的一个的一个线线性性变换变换.4）保持向量保持向量间间的距离不的距离不变变，即，即3）保持向量保持向量长长度不度不变变，即，即1）是正交是正交变换变换；5）把把标标准正交基准正交基变变成成标标准正交基；准正交基；6）在任一在任一标标准正交基下的矩准正交基下的矩阵为阵为正交矩正交矩阵阵；保持向量的内保持向量的内积积不不变变,即即2）7.注注注注 维维欧氏空欧氏空间间中正交中正交变换变换的分的分类类：设设维维欧氏空欧氏空间间V中的中的线线性性变换变换在在标标准正交基准正交基1）如果）如果 则则称称为为第一第一类类的的（旋旋转转）;2）如果）如果 则则称称为为第二第二类类的的（反射反射）下的矩下的矩阵阵是正交矩是正交矩阵阵A，则则则则 是第二是第二类类正交交正交交换换(称之称之为镜为镜面反射面反射)（P194习题习题6）如如:设设是欧氏空是欧氏空间间V中的一个中的一个单单位向量，定位向量，定义义8.例例2、证证明第二明第二类类正交正交变换变换必有特征必有特征值值1。（利用正交（利用正交变换变换与正交矩与正交矩阵阵的的对应对应关系）关系）例例1、P194习题习题5、6、8、9.三、三、实对实对称矩称矩阵阵与与对对称称变换变换1.实对实对称矩称矩阵阵的的标标准形准形1）实对实对称矩称矩阵阵的特征的特征值为实值为实数；数；实实反反对对称称阵阵的特征的特征值为值为0或或纯纯虚数虚数;2）实对实对称矩称矩阵阵不同特征不同特征值值的特征向量正交；的特征向量正交；3）(定理定理)对对 总总有正交矩有正交矩阵阵P，使，使4)正定的充要条件是正定的充要条件是A的特征根全大于的特征根全大于0.10.(i)求出求出A的所有不同的特征的所有不同的特征值值：其重数其重数 必必满满足足 ;(ii)对对每个每个 ，解，解齐齐次次线线性方程性方程组组 求解步求解步骤骤求出它的一个基求出它的一个基础础解系：解系：它是它是A的属于特征的属于特征值值 的特征子空的特征子空间间 的一的一组组基基正交基正交基把它把它们们按按 正交化正交化过过程化成程化成 的一的一组标组标准准11.(iii)因因为为 互不相同，互不相同，且且就是就是V的一的一组组所以所以将将的分量依次作的分量依次作矩矩阵阵P的第的第1，2，n列，列，使使 为对为对角形角形标标准正交基准正交基12.2.对对称称变换变换定定义义欧氏空欧氏空间间V的的线线性性变换变换 ，如果，如果则则称称 为为对对称称变换变换.注注.对对称称变换变换的特征的特征值值都是都是实实数，属于不同特征数，属于不同特征值值的特征向量正交；的特征向量正交；13.下述命下述命题题是等价的：是等价的：3、设设是是n维维欧氏空欧氏空间间V的一个的一个线线性性变换变换.1）是是对对称称变换变换；3）在任一在任一标标准正交基下的矩准正交基下的矩阵阵是是对对称矩称矩阵阵；2）4、设设 为为欧氏空欧氏空间间V上的一个上的一个对对称称变换变换，则则在在V中必存在一中必存在一组标组标准正交基使得准正交基使得 在在这组这组基下的矩基下的矩阵阵的的对对角矩角矩阵阵。14.例例1、P199习题习题1、2、3、例例2、设设A的特征的特征值为值为1，1,0对应对应1，1的特征向量依次的特征向量依次为为求求A。(类类似似P198例例3、P199习题习题4)例例3、P199习题习题415.例例4、设设 A是是n 阶实对阶实对称称阵阵，（1）当）当 时时，证证明存在正交矩明存在正交矩阵阵P，使得，使得（2）如果如果，证证明存在正交明存在正交阵阵P,使得使得思思考考：证证明存在可逆明存在可逆阵阵P,使得使得 （1）当）当 时时，证证明存在可逆明存在可逆阵阵P，使得，使得（2）当当 时时，16.例例6、（1）设设为为反反对对称矩称矩阵阵，证证明：明：可逆，且可逆，且是正交矩是正交矩阵阵.（注意（注意：反：反对对称称实实矩矩阵阵的特征的特征值值只能是只能是0或或纯纯虚数）虚数）（P395习题习题16）（2）设设17.例例7、设设 是是 维维欧氏空欧氏空间间的一个的一个对对称称变换变换,证证明：是的正交明：是的正交补补。P199习题习题8例例8、P199习题习题10 18.例例9、设设 是是 维维欧氏空欧氏空间间 的一个的一个线线性性变换变换。证证明如果明如果 满满足下列三个条件中的任意两个，那么足下列三个条件中的任意两个，那么它必然它必然满满足第三个：足第三个：（1）（2）（3）是是单单位位变换变换.是是对对称称变换变换;是正交是正交变换变换;19.例例10、(1)证证明：两个明：两个对对称称变换变换的和的和还还是是对对称称变换变换。(2)两个两个对对称称变换变换的乘的乘积积是不是是不是对对称称变换变换？(3)找出两个找出两个对对称称变换变换的乘的乘积积是是对对称称变换变换的一个的一个充要条件充要条件.20.定理定理 任一任一n元元实实二次型二次型 都可以通都可以通过过正交的正交的线线性替性替换换 变变成平方和成平方和 其中平方其中平方项项的系数的系数 为为A的全部特征的全部特征值值四、二次型的四、二次型的标标准形及准形及实对实对称称阵阵的定性的定性21.设设 为实对为实对称矩称矩阵阵A的所有特征的所有特征值值(i)A为为正定的正定的(ii)A为为半正定的半正定的(iii)A为负为负定（半定（半负负定）的定）的(iv)A为为不定的不定的且且(v)实对实对称矩称矩阵阵A的正、的正、负惯负惯性指数分性指数分别为别为正、正、负负特特特征特征值值的个数（重根按重数的个数（重根按重数计计）(vi)当当A退化退化时时,n秩秩(A)是是0为为A的特征的特征值值的重数的重数.22.例例1、设设二次型二次型通通过过正交正交线线性替性替换换化化为标为标准形准形求求a,b及所用的正交及所用的正交线线性替性替换换。（类类似似P199习题习题5）例例2、设设A是正定是正定实对实对称矩称矩阵阵，证证明：明：23.例例3、设设 都是都是实对实对称矩称矩阵阵，（1）证证明：存在正交矩明：存在正交矩阵阵 ，使得，使得 的充分必要条件是的充分必要条件是 的特征多的特征多项项式的根全部相同式的根全部相同.（2）如果）如果 是正定矩是正定矩阵阵，证证明存在一个明存在一个 实实可逆矩可逆矩阵阵P，使得，使得（P199习题习题11）（P200习题习题14）（3）在（）在（2）中若）中若A也是正定也是正定阵阵，则则 24.