4.2-偏导数的运算.doc

高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室
第二节 偏导数
教学目的：(1) 理解多元函数偏导数的概念；
(2) 掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函
数的求导法则;
(3) 了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。
教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法
教学难点：偏导数存在性的讨论
教学方法：讲练结合
教学时数：2课时

一、偏导数的定义及其计算
在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，例如:
理想气体的体积：
因此，我们引入下面的偏导数概念。
1、偏导数的定义
定义2.1 设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量：，
如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为
，，或.
即。
同理可定义函数在点处对的偏导数，为

记为，，或.
即。
如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个
偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导函数，简称偏导数
记作，，或.
同理可以定义函数对自变量的偏导数，记作，，或.
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如在处

2、计算：
从偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变量求导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法即可。于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
例1：求 在点处的偏导数．
解法一：

解法二：，

这里我们要知道，有时，“先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例
例2：求
解:
例3 已知理想气体的状态方程（为常数），求证：.
证明：
=
有关偏导数的几点说明：
1、 偏导数是一个整体记号，不能拆分;
2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

解：=0
例4：设求的偏导数。
解：

按定义可知

故
３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数未必连续.
例如,函数,依定义知在处，.但函数在该点处并不连续.
4、偏导数的几何意义
设是曲面上一点，则
偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率；偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.
二、高阶偏导数
设函数在区域D内的两个偏导数、的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。记作

定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例5设，求、、、及.
解：

例6设，求二阶偏导数.
解：

问题：混合偏导数都相等吗？
例7设，求
解：

当时，按定义可知：

=0
=1
显然
问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理2.1 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
例8 验证函数满足拉普拉斯方程
证明：

=0 证毕.
内容小结:
1.偏导数的定义（偏增量比的极限）
2.偏导数的计算、偏导数的几何意义
3.高阶偏导数：纯偏导，混合偏导及其相等的条件.
思考题：若函数在点连续，能否断定在点的偏导数必定存在？
思考题解答：不能。例如在处连续,但不存在。

作业: 练习册P5---P8.

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