平面向量综合检测、解析及答案.doc

　平面向量综合检测、解析及答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　)
A.　　　　　　　　　B．2
C．4 D．12
解析：|a＋2b|＝＝＝2.
答案：B

2.已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由a·(b－a)＝2得a·b＝2＋1＝3＝6×cos<a，b>，∴cos<a，b>＝，又<a，b>∈[0，π]，
∴<a，b>＝.
答案：C

3.一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．6
解析：由题意得F1＋F2＋F3＝0.
答案：A

4.把一颗骰子投掷两次，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：m与n共线的情形共有三种：m＝(1,2)，m＝(2,4)，m＝(3,6)，故m与n不共线的概率P＝1－＝.
答案：D

5.已知向量a＝(，λ)，i＝(1,0)和j＝(0,1)，若a·j＝－，且向量a与i的夹角为θ，则cosθ的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案：B

6．四边形ABCD中，·＝0，且＝，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：由＝可知ABCD为平行四边形，由·＝0知∠ABC＝90°，故ABCD为矩形．
答案：B

7．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝(　　)
A．0 B．－
C．－2 D.
解析：由题意得a＋λb＝－k(b－2a)∴，
∴λ＝－.
答案：B

8.设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：三角形的内切圆半径为1，将圆平移，最多有4个公共点．
答案：B

9．设a，b，c是非零向量，下列命题中正确的是(　　)
A．(a·b)·c＝a·(b·c)
B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2
C．若|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与b的夹角为60°
D．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为60°
解析：A、B显然不正确．由平行四边形法则可知，若|a|＝|b|＝|a＋b|，可知<a，b>＝120°，故C不正确．答案为D.
答案：D

10.设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)
A．－2 B.－2
C．－1 D．1－
解析：(a－c)·(b－c)＝a·b－b·c＋c2－a·c＝1－(a＋b)·c，又a·b＝0，|a|＝|b|＝1，∴|a＋b|＝.
设a＋b与c的夹角为θ，则上式＝1－cosθ
当cosθ＝1时(a－c)·(b－c)取得最小值1－.
答案：D

11．点O在△ABC内部且满足＋2＋2＝0，则△ABC的面积与△OBC的面积之比为(　　)
A. B．3
C．4 D．5
解析：由＋2＋2＝0，∴(＋)＝，∴△ABC△OBC底边BC的高之比为51，∴S△ABCS△OBC＝51.
答案：D

12．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是(　　)
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝
解析：∵·＝||2故A成立，又·BC]＝||2，故B成立．
同理：
＝
又||·||＝||||
∴||2＝，故D也正确．，又·＝||2≠||2，故选C.
答案：C

13．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围是(　　)
A．[－6,1] B．[4,8]
C．[－1,1] D．[－1,6]
解析：由a＝2b知
∴
又cos2α＋2sinα＝－(sinα－1)2＋2
∴－2≤cos2α＋2sinα≤2，即－2≤λ2－m≤2，由λ＝2m－2
－2≤(2m－2)2－m≤2，得≤m≤2
∴＝＝2－∈[－6,1]．
答案：A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

14．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)
解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)．
＝a＋b，
∴＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.
答案：－a＋b
15．向量c与a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且|c|＝1，则c＝________.
解析：设c＝(x，y)，由题意得：得

答案：(，－)或(－，)

16．已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x ，＝y ，则＋＝________.
解析：＝( ＋)＝( ＋)，∵M、N、G三点共线，∴＋＝1，即＋＝3.
答案：3

17.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若＝xe1＋ye2(e1、e2分别为与x轴y轴方向相同的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)．若点P满足||＝1，则点P在斜坐标系xOy中的轨迹方程是________．
解析：由＝xe1＋ye2
又||＝1，∴x2＋y2＋2xy×＝1，即x2＋y2＋xy＝1.
答案：x2＋y2＋xy＝1

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．(10分)在△ABC中，·＝|－|＝2，求|AB|2＋||2.
解：由题意可知
得||2＋||2＝8.

19．(12分)如图||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，⊥.设＝x＋y，求x、y的值．
解：∵＝x＋y
∴·＝x·＋y2①
2＝x·＋y·②
将①②联立得

得
20．(12分)已知a，b满足|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角为，求2a＋3b与a－b的夹角的余弦值．
解：∵a·b＝|a||b|cos<a，b>＝3×1×＝
又(2a＋3b)2＝4a2＋9b2＋12a·b＝36＋9＋18＝63，
∴|2a＋3b|＝3.
同理可得|a－b|＝
∵(2a＋3b)·(a－b)＝2a2＋a·b－3b2
＝18＋－3＝
∴cos〈(2a＋3b)，(a－b)〉＝＝＝.

21．(12分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)
(1)若m∥n，求证△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，∠C＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.
由正弦定理得a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
(2)∵m⊥p，∴m·p＝0.即a(b－2)＋b(a－2)＝0
∴a＋b＝ab
由余弦定理得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab
即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4或ab＝－1(舍)
∴S△ABC＝absinC＝×4×sin＝.

22．(12分)已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
(1)若点A、B、C不能构成三角形，求实数m满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
解：(1)∵＝(3，－4)，＝(6，－3)
＝(5－m，－3－m)．若A、B、C三点不能构成三角形，则这三点共线，∵＝(3,1)
＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)＝2－m，得m＝
(2)∵△ABC为直角三角形．
若∠A＝90°，则·＝0，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，得m＝.
若∠B＝90°，则·＝0，又＝(－1－m，－m)
∴3(－1－m)＋(－m)＝0得m＝－.
若∠C＝90°，则⊥.
∴(2－m)·(－1－m)＋(1－m)·(－m)＝0，得m＝
综上得m＝或m＝－或m＝

23．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k、t为正实数，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－a＋b
(1)若x⊥y，求k的最大值；
(2)是否存在k、t，使x∥y？若存在，求出k的取值范围，若不存在，说明理由．
解：x＝a＋(t2＋1)b＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)
＝(－2t2－1，t2＋3)
y＝－a＋b＝－(1,2)＋(－2,1)
＝(－－，－＋)
(1)若x⊥y，则x·y＝0，即：(－2t2－1)·(－－)＋(t2＋3)(－＋)＝0
整理得：k＝＝≤(当且仅当t＝即t＝1时“＝”成立)故kmax＝.
(2)假设存在正实数k、t，使x∥y，则
(－2t2－1)(－＋)－(t2＋3)(－－)＝0
整理得＋＝0，即t3＋t＋k＝0
∵k、t为正实数，故满足上式的k、t不存在．
即不存在这样的正实数k、t使x∥y.

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