垂直平分线与角平分线典型题.doc

线段的垂直平分线与角平分线(1)
知识要点详解
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等
（2）线段关于它的垂直平分线对称.
课堂笔记：

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
课堂笔记：

3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OA＝OB＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.
经典例题：
例1　如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）
　　A．6cm　 　　 B．8cm C．10cm　　 D．12cm
课堂笔记：

B
针对性练习：
A
D
已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点 E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=
2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是
E
3） 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28 度，
那么∠EBC是
C
B

例2. 已知： AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。

课堂笔记：

B
针对性练习：
已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC
求证：点O在BC的垂直平分线
N
A

O

C
B

例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。
课堂笔记：

B
针对性练习：
1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。

例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，
求证：BD＝AC＋CD.
证明：在BD上取一点E，使DE＝DC，连接AE，则AE＝AC，
课堂笔记：

课堂练习：
1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，
那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
3.下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，
求证：AO⊥BC.

6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线
MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.

课后作业：
1. 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.

2. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP。

线段的垂直平分线与角平分线（2）
知识要点详解
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
课堂笔记：

5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.
课堂笔记：

6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：
① AP、BQ、CR相交于一点I；
② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；
（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
课堂笔记：
经典例题：
例1、 已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。
求证：PE=PF
课堂笔记：

B
针对性练习：
已知： PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。

例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.
课堂笔记：

B
针对性练习：
如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。

例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，
求证：AD＝CD.

课堂练习：
1. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。
2. 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。

３已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC，
AM平分∠DAB 。求证： M B=MC

课后作业：
1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.

2. 如图所示，直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处

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