大学物理（上） 第7章 机械波.pdf

第7章机械波万物之美科学之理本章知识要点0304050602波长、周期、频率、波速波动方程的求解（时间法、相位法）波动方程的物理意义波的能量的变化规律干涉波的相干叠加驻波的特点（振幅、相位）第三节波的能量第四节驻波*第五节多普勒效应*第一节机械波的形成与传播第二节平面简谐波的波动方程目录不同类型的波机械波由机械振动产生需要连续的介质电磁波 由变化的电场和磁场相互激发产生，可在真空中传播，无需介质光波属于电磁波，同时具备波粒二象性物质波 微观粒子具备波粒二象性，波函数量子力学的基础引力波 时空弯曲中的涟漪，通过波的形式从辐射源向外辐射能量，广义相对论的基础4引力波 预言了引力波的存在。SCI天琴南星逋道而矍白矮星系统地球亦道而；2天琴南星太陶大号衍星天箜十纵 示意圈02016年美国激光引力天文台（LIGO）宣布寻找到引力波，距离爱因斯坦预 言刚好10。年。O 2017年三位物理学家获得诺贝尔物理 学奖。搜捕田力波四步走C里S星 赞展月球和深空衢星激光测距技淅，颦助宣琪封天琴衢 U柳生星的定轨精度；1里5品利用一颗菊星在东勺700公里轨道高度上暹行空等效原 1枳生理检瞬宣瞬：OS5S利用雨衙星在幺勺400公里轨道高度上封全球重力埸it/初生行高精度汨悌，、跖昆三颗衢星横成等逸三角形障列，探测超繁凑曼白矮星羟.我生生的重力波引力波探测卫星示意图0 2019年中国发射太极一号和天 琴一号引力波探测卫星，开展空间 引力波探测研究。0标志中国在重大基础科学研究方面迈 出重要一步。a1916年爱因斯坦在广义相对论中首次第一节机械波的形成与传播 1、机械波产生条件(1)有作机械振动的物体，即波源有连续的介质如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，称为弹性波。机械波的特征：波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。后面质点的振动规律与前面质点的振动规律相同，只是位相上有一个落后。6第一节机械波的形成与传播t=0t=T/4t=T/2t=3T/4t=Tt=5T/406 th?-5-AHXXXXXXX)0,二%=，2又二人二白位二2.5Hz,则。=2兀u=5兀 取 A 2,x 3兀则波动方程为=OC0S 5兀+m 5j 224第二节平面简谐波的波动方程(2)，=0时的波形如图79(b)所示。将犬=0.5代入波动方程，得该点处的振动方程为r0.1 c o s 5nt-5兀 x 0.50.53兀、H-2 Jm=0.1cos(5tiZ+7i)m尸如图7-9(c)所示 25第二节平面简谐波的波动方程F例7-3 已知f=0时和f=0.5s时的波形曲线分别为图7-10所示的曲线（a）和（b）,波沿无轴正向传播，试根据图中绘出的条件求解。（1）波动方程。（2）尸点的振动方程。图7-10 平面波在=0和f=0.5（s）时的波形曲线26第二节平面简谐波的波动方程解(1)由|图710可知，A=Q.Im,4=4m,又=0时，%=0,为=2 兀以=兀2 AZ 0.5 A 4(克、兀故波动方程为y=O.lc o s兀t-+m.2.(2)将/=lm代入上式，即得尸点振动方程为(兀 兀、八_V=0.1c o s nt-F m=0.1c o s7u/mI 2 2)27第二节平面简谐波的波动方程例7-4 一列机械波沿x轴正向传播，=0时的波形如图7-11所示，已知波速为10 m,s-1,波长为2m。(1)求波动方程。(2)求尸点的振动方程。(3)求产点的坐标。(4)求尸点回到平衡位置所需的最短时间。图7-11 一列机械波在打。时的波形28第二节平面简谐波的波动方程TT解 由图711可知Z=0.1 m,=0时，及1=一，/0,所以件=2 3由题知 X=2m,=10ms-i,则 v=Hz=5Hz A 2故？=2兀 v=10兀。(1)x A 兀 t+-m10/3J/、.,A 4兀（2）由图知，f=0时，yp=,42sin2dx=2dEk质元的动能d感和势能。综大小相等而且相位相同第三节波的能量dEk=dEp 1 八42/、20；-2pA co sm+9。dVcodE=p2692sin2+(Po dV总结 1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能大小相等相位相同。2）在波传动过程中，质元的机械能dE做周期性变化，波动的过程也 是能量传播的过程。质元位于最大位移处能量极小,而位于平衡位置处能量极大。34第三节波的能量练一练一平面简谐波在弹性媒介中传播，在媒介质元从平衡位置运动 到最大位移处的过程中，下列说法正确的（）A、它的动能转化为势能B、它的势能转化为动能C、它从相邻的一段质元获得能量，其能量逐渐增大D、它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小能量极大35第三节波的能量dE=pA2co2sm+(Po dv能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。dFwQ)=pA2co2sin2Of VCD+9。（能量密度周期性变化）平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。/=y-f pA2co2sin20 1 J 0CO+(Po dtw=-pA2co2（平均能量密度是常数）_ 1第三节波的能量二、波的能流和能流密度能流：单位时间内通过介质中某一截面的能量（波能量传递的快慢）定义式：尸=体积元d/=S_L流P二W。）出口居#若5是任意截面，上式为：P（/）=-S平均能流：在一个周期内能流的平均值。P=u-S 能流的国际单位：Jm3msxm2=Jsx=W（功率的单位瓦特）第三节波的能量能流密度(波的强度I):通过垂直于波速方向的单位面积的能流。定义式:/_ dPQ）_ w（Z）udS1dSdS矢量式：I(/)=坟办平均值：I=历行积分式:=他 波强是矢量，其方向与波速方向相同。波强是与振幅的平方成正比，国际单位是W/nJ 声波中的声强、光波中的光强，都是波的能流密度。第三节波的能量例7-5 平面余弦波，沿直径为14c m的圆柱形管传播，波的强度为18.0X10-3j.m-2.sq 频率为300Hz,波速为300msT,(.1)求波的平均能量密度和最大能量密度。(2)求两个相邻同相面之间有多少波的能量。解(1)V/=词1彳=18.0 x竺一J.m-jxIO-s jnr，u 300w=2w=1.2xlO-4Jm-3 ma x1 1 u(2)w-7t d2/-w-7t d2-4 4 V=6x10-5xt兀x(0.14)2 x&J=9.24x10-7 J4 30039第三节波的能量练一练 某一点波源发射功率为40瓦，求球面波 上单位面积通过的平均能流（平均能流密度）。解:P=40W 积分式：I I-dS因为球面波是球对称的波，波源位于球心，波面是同心球面；所以半径为r 的球面上各处的平均能流密度大小处处相等。P _ P _ 40 _ 10S球面 4兀/4兀/7ir2(W-m-2)球面波的平均波强随距离的平方成反比：7 c x厂2球面波的传播距离是有限的。40第三节波的能量探究平面波和球面波的振幅特点1.在均匀不吸收能量的介质中传播的平面波在行进方向上振幅不变证：因为平面波任意两个波面的面积S1=S2,所以通过S1面的平均能流一定 等于通过S2面的平均能流，即：_ _ 刃 1 uSx=w2 uS2R=2 i=_ _出w2历 1=g 2/12G2 历 2=中平面波4=42所以平面波振幅相等。41第三节波的能量2.球面波振幅与它离波源的距离成反比证：球面波穿过球面酬的能流全部穿过球面S2,故两球面的平均能流相等I=wu=/e x r-2球面波的振幅与波源距离成反比，能量密度/能流密度与波源距离的平方成反比。42第三节波的能量三、惠更斯原理波的叠加和干涉波阵面上的每一点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻,这些子波的包络面就是新的波阵面。惠更 斯原理 解释波 的传播 行为Sf43第三节波的能量惠更斯原理解释波的衍射:f f f f狭缝（障碍）线度越接近波的 波长衍射现象越 明显。思考：如你家在大山后，广播台、电视台都 在山前侧，听广播和看电视哪个更容易？（提示：电视信号的波长更短）第三节波的能量波传播的独立性原理和波的叠加原理各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则 是各列波在该处激起的振动的合成。振动的叠加仅发生在单一质点上，波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上第三节波的能量两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定,则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或 完全抵消），这种现象称为波的干涉。（相同的频率振动方向相同（相干条件）恒定的相位差设两相干波源S/和S2发出的简谐波在空间点相遇Mo=4o COS（，+910）波源的振动方程：V20=/20COS（，+夕2。）满足相干条件的 波源称为相干波源46第三节波的能量点的简谐振动分别为：y=4c Os(G，+%o彳/彳/1 2乃=-42 COS Icot+（P20-1小处的质点同时参与了同方向、同频率的两个简谐振动合振动方程为：y=乃+n=/COS(ft；t+(Po)其中：合振幅：A2=+2+2AiA2cos（p2s、t a no=4 sin Mo 一+Asin（g o 竽）4 c o s Mo-+4 COS（夕20 竽）2s、丁J第三节波的能量两分振动的相位差:夕20、夕10为波源的初相与/无关丫2、片为波程只与夕点的空间位置有关，与，无关合振动的波强为：/=A+/2+2WJ；c o s/9合波强/、合振幅4只与空间位置有关，与，无关,结论-/碍空间位置的函数而非时间的函数，故合强度在空间 形成稳定的分布，即有干涉现象。48第三节波的能量干涉相长:27r4(p=(920 910)-1(一八)=2k兀 上=0,1,2/ma x=4+久2干涉相消:27rA(p=(920 910)-厂(一八)=(2 左+1)k=0.192 z/min=|4 一 421右 4=42=/,11=12=I/ma x 24，/ma x 4/Zmin=，Znin=49第三节波的能量当两相干波源为同相波源时，相干条件为5=-2一片=&，4=0,1,23:波程差 ;3=/2 八=(2 左+D5,k=Q.1,2 干涉相长干涉相消若两列波的频率不同，则会产生非相干叠加、2兀相位差：A(p(Z)=(g 8 1)，+(夕20 Pio)(-2 一%)I。)=A+Z2+2/IXI2 cosA(p(0合波强随时间以余 弦函数周期性变化非相干叠加的平均波强：7=A+/2第三节波的能量例7-6在同一介质中有两个相干波源分别处于点尸和点Q,假设由它们发出的平面简谐波沿 从尸到Q连线的延长线方向传播。PQ=3.0m,两波源的频率y=100Hz,振幅相等，P的相位比 Q的相位超前乙，介质提供的波速以=400m/s0在尸、Q连线延长线上Q一侧有一点S,S到Q的 2距离为人 试写出两波源在该点产生的分振动，并求它们的合成.解 可以取点尸为坐标原点，取过尸、Q和S的直线为无轴，方向向右，如图7-22所示，与波JT 7T线的方向一致Q根据题意，尸的振动比。的振动超前一，即%一约二一，适当选择计时零点，可使 7T 2 2箍=0,则%=2,同时根据已知条件可以求得2=2兀以=200ua d-s-1设两波的振幅为4 于是可以写出P波源在点s的分振动为yp=Ac o s 画 tPS u+处=Ac o s 200rt tr+3 兀 400 J+2第三节波的能量(察HQ波源在点s的分振动为yQ=Ac os倒=Ac os 200ti t-I 400A(-P Q s x图7-22平面简谐波传播方向显然，在波线上任何一点，这两个振动的合成都满足在同一条直线上两个同频率的简谐振动合 成的条件 一般情况下，合振动是一个同频率的简谐振动，合振动的振幅决定于两个分振动在该点 的相位差Q在点S两个分振动的相位差为卜中=200兀+3+乙-200ti|tL I 400 J 2j L I3兀兀-F =一兀2 2正好满足A*=(2i+1)兀的条件。点$的振动应是干涉相消，即静止不动。从A*的表达式中还可以 看出，A*与7无关，即无论$处于0右侧的什么位置上，A*总是满足干涉相消的条件。所以，在 a轴上Q以右的整个区域都满足干涉相消的条件，处于这个区域的所有介质质点实际上都是静止不 动的。52第三节波的能量练一练 两个相干点波源S和S2,它们的振动方程分别是y=Ac o s(3t+兀和 y2=Ac o s(3t-兀，波从S1传到P点经过的路程等于2个波长，波从S2传到P点 的路程等于7/2个波长。设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两 波传到P点的振动的合振幅为练一练如图S和S2为两振幅相等的相干波源，它们的振动方向均垂直于图 面，发出波长为入的简谐波，p点是两列波相遇区域中的一点，已知 SP=2.2入，S2P=2入，两列波在P点发生相消干涉。若已知S1的振动方程为 y尸Ac o s(3t+兀/2),则S2的振动方程为P第三节波的能量第四节驻波*第五节多普勒效应*第一节机械波的形成与传播第二节平面简谐波的波动方程目录第四节驻波驻波是两列振幅、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠加。一、驻波方程27cx cot-：-2兀r 了j2=/c o s+设两列波的波动方程：乃=4 c o sy=%+y2=/c o s2ttx力+/c o s+2tix T)c/127rxy=2A c o s(Jcosg/=A(x)COS CD t驻波方程函数不满足 yx+Ax.t+At)=y(xJ)4(%)=2A c o s是驻波不是行波55第四节驻波1.驻波方程表示各点都在作简谐振动，各点振动频率相同，是原来波的频率。但 各点振幅随位置的不同而不同。2.驻波不是振动的传播，而是媒质中各质点都在各自的平衡位置作稳定的振动。第四节驻波二,驻波的特点1、驻波振幅分布特点（波腹与波节）c,(2tixy=2A c o s I lc o so/4(%)=2A 波腹x=左，左=0，l，24(%)=0波节x=k+左=0,1,2相邻波腹（波节）间距：可通过测量驻波波腹/节间的距 离，来确定入射/反射波的波长。第四节驻波2、驻波相位分布特点y 2A c o s2tvx TCOS 69/在波节两侧点的振动相位相反，同时达到反向最大或同时达到反向最小。（速度方向相反）两个波节之间的点其振动相位相同，同时达到最大或同时达到最小。（速度方向相同）58第四节驻波三、半波损失入射波在反射时发生反相位的现象称为半波损失。折射率较大的媒质称为波密媒质；折射率较小的媒质称为波疏媒质。当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界 面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面 上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。A/459第四节驻波*、简正模式（本征振动）在绳长为/的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件:AI=n-f 乙n=1,2,3,u 21X ,n=1,2,3,v nuV=n2lfn=1,2,3,弦线上形成的驻波波长、频率均不连续，这些频率称为弦振动的 本征频率，对应的振动方式称为该系统的简正模式（Normal mode）.最低频率（公1）称为基频，产生的一个音称为基音对应k=2,3,的频率为谐频，产生的音称为谐音（泛音）。60第四节驻波例7-7 在x轴的原点处有一波源，振动方程为儿=Nc o s（a+p）。发出的波沿x轴正方向传 播，波长为之，波在x=x0（正值）处被一刚性壁反射。（1）求入射波方程。（2）求入射点振动方程。（3）求反射点振动方程。（4）求反射波方程。（5）求驻波方程。（6）求所有的波腹和波节的位置。解（1）波源发出的正行波即是入射波，如图727所示，从波源到x轴上坐标为x处质点的波程为x,所以入射波在X处振动的相位比波源落后2k-,故入射波方程为 AH=Zc o s&-2兀+中（2）入射点振动方程可直接由入射波方程得到M3=Zc o s 2兀?+中 A图7-27浓源入射、反射示意yik入射.OX-反射Xo X61第四节驻波(3)反射点为刚性壁，理解为波密介质，因而反射点有相位突变，反射点振动与入射点振动有相位差兀，所以反射点振动为2 兀丑+7T+(D2乃&=Nc o s 攸一(4)从反射点到无处的波程为七-x,因而反射波在x处引起的振动比反射点的相位又要落后2兀为二，所以反射波方程为2，y2=A c o s c ot-InA2jt-1兀+Q=2c o s +2兀A 7 I士也+兀+07(5)驻波方程可由入射波方程与反射波方程叠加得出,/(c X x-2x0y=M+N2=Nc o s-2兀+0+Nc o s s r+2兀-+tt+cjI k)A JX-Xo 71=2Jc o s 2兀-+I 2 2，r X。兀c o s c ot-in-F0I A 2762第四节驻波(6)由于反射壁是刚性壁，反射有半波损失，所以反射点肯定是波节。既然处是波节,再根据相邻波节距离为4的规律，可得出全部波节的位置是2Ax=xQ-k 伏=0,1,2,3,)2由于相邻的波腹和波节相距二，所以全部波腹的位置是4X=X。-4-4(k=0,1,2,3,)4 263第三节波的能量第五节多普勒效应*第四节驻波*第一节机械波的形成与传播第二节平面简谐波的波动方程目录一、多普勒效应观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。选介质为参考系,波源和观察者的运动在两者的连线上VB观察者相对于介质的运动速度VS波源相对于介质的运动速度V 波源的频率V 观察者接受到的频率V b波的频率U波在介质中的速度符号规定：%、匕：趋近为正，背离为负波速：恒为正65第五节多普勒效应*冲击波1.波源不动，观察者以速度Vb相对于介质运动Vs=。八8 W,u+vB u+vB u+vB v =-=-VA uT u/v u若观察者以速度Vb迎着波运动时，观察者接受到的频率为波源频率的（1+&!）倍。U若观察者以速度V远离波源运动，观察者接受到的频率为波源频率的（1国）倍。频率升高频率降低U66第五节多普勒效应*冲击波2.观察者不动，波源以速度vs相对于介质运动Vs W=u u u uyr=-=-=-vA!A-vsT uT vsT u vs若波源向着观察者运动时Vs。，观察者接受到的频率大于波源的振动频率。频率升高若波源远离观察者运时匕0,观察者接受到的频率小于波源的振动频率。频率降低67第五节多普勒效应*冲击波3、波源和观察者同时相对于介质运动Vs工。,外W。相对于观察者，波速=+vb相对于观察者，波长7=2-vsTur u+vB V=-V矛 u vs波源和观察者接近时：波源和观察者背离时：Vz v应用：多普勒雷达（精确被观察者和波源之间的实时相对速度）68第五节多普勒效应*冲击波4、电磁波的多普勒效应光源和观察者在同一直线上运动1 v/c 远离=、1+v/c接近无红移:当光源远离接收器时，接收到的频率变小，波长变长。多普勒红移现象成为大爆炸宇宙学理论的重要依据!69第五节多普勒效应*冲击波*二冲击波波源的运动速度大于波在介质中的传播速度，波源本身的运动会激起介 质的扰动，激起另一种波。马赫锥 马赫角sina=S马赫数”寸若冲击波是声波，则运动 物体通过后才能听见声音。音障70飞行器突破 音障瞬间