大学物理（上） 第6章 机械振动.pdf

第6章机械振动万物之美科学之理7 本章知识要点简谐振动的特征谐振子模型简谐振动的表达式特征量运动参量的确定旋转矢量法简谐振动的能量两个相同振动方向简谐振动的合成万物之美科学之理目录第一节简谐振动的定义 第二节简谐振动的描述。第三节运动参量的确定 0第四节简谐振动的能量 Q第五节简谐振动的合成第一节简谐振动的定义简谐振动的特征任何描述物质运动的物理量在某一数值附近做往复的变化，称为振动。物体或物体的某一部分在一定位置（平衡位置）附近来回往复的运动，称为机械振动。物体运动时，离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦（或正弦）规律随时间 变化，称为简谐振动。如：心脏的跳动，钟摆的摆动，地震等任何复杂的振动都可以看成多个简谐振动的合成。4第一节简谐振动的定义乐器的发声原理弦乐器使拉紧的弦振动发音管乐器引起管内空气 柱振动而发音打击乐器乐器受打击时，发生振动,从而产生声音第一节简谐振动的定义2000年6月10日，伦敦泰晤士河畔的千禧桥正式开放，短短两天内共吸引了 10万 人登桥。这座原负载量为5000人的桥梁，在接踵而至的脚步下摇晃了起来。仅2天后,步行桥便被暂停使用。千禧桥摇晃的原因是由于共振现象。千禧桥停用了两年，最后通过安装减震器解决了摇晃问题，并于2002年2月重新对外开放。6第一节简谐振动的定义谐振子模型1、弹簧振子模型对其运动做定量分析F=kxkx，八 2 k+痴=。（令 3=）F=md2x dt2d2x dt1得到d2xdt2+a)2%=0谐振动微分方程%=Acost+(p)谐振动运动方程7第一节简谐振动的定义谐振子模型2、单摆模型对其运动做定量分析mglsinO=ml2d20 dt2mii d20 q贝!J-+ysin6=0dt2 I得到d2e dt2+o)20=0谐振动微分方程0=oC。s(a)t+(p)谐振动运动方程8第一节简谐振动的定义卬简谐振动的判断判断物体是否做简谐振动的方法。只要满足以下条件之一即可（1）F=-kx（回复力与位移成正比关系，且方向相反）（2）票+a?%=o（简谐运动的微分方程）（3）x=Acos（nt+叩）（简谐运动的动力学特征）9万物之美科学之理目录第一节简谐振动的定义第二节简谐振动的描述第三节运动参量的确定第四节简谐振动的能量第五节简谐振动的合成第二节简谐振动的描述简谐振动的描述方法解析法图示法旋转矢量法是用函数形式来描述简谐振动，即运动学方 程。是用位移随时间变化曲线-振动曲线来形象 描述振动特征。是将简谐运动与一旋转矢量相对应，使矢量做 逆时针均匀转动，旋转矢量末端在参考坐标下的投影点的运动规律即可代表质点作简谐运动 的规律。1112第二节简谐振动的描述描述简谐振动的物理量1、振幅A _/做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值。振幅反映了振动的强弱，反应振动的能量大小。2、角频率（圆频率）s周期T：物体作一次完全振动所经历的时间；频率V：在单位时间内系统所作的完全振动次数；角频率（或圆频率）3：在271秒内物体所做的完全振动次数。1 2 71 3，=2m由系统本身的性质所决定Imk=(x)=m（弹簧振子）N13第二节简谐振动的描述描述简谐振动的物理量。3位相(或相位)(o)t+(p)位相是决定振动物体运动状态的物理量。年是t=。时的位相，称为初相。4、相位差表示两个振动相位之差，年=%-01(0人0“j=2 ku(=(2k+l)ii(k=0,L2,.,)(k=0工1工2,.)振动1超前于振动2；振动1滞后于振动2；同相；反相。对两个同频率的简谐运动为=A1 cos(at+g)0=W2-01%2=A2 cos(a)t+02)同频率的两个简谐振动，位相差即初相差。14万物之美科学之理目录第一节简谐振动的定义第二节简谐振动的描述第三节运动参量的确定第四节简谐振动的能量第五节简谐振动的合成第三节运动参量的确定A和cp的确定对于给定的系统，由系统本身确定,初始条件给定后可求出A、cp将初始条件（t=0时，%=%。，v=v0）代入x=Acos(a)t+(p)dxv=a)Asin(a)t+(P)2 V0A=J&+帝得至Ix0=Acos(pv0=A(t)sin(p 16第三节运动参量的确定例题6一质点沿工轴作简谐振动，其圆频率3=10rad/s,试写出以下初 始状态下的振动方程：其初始位移出=7.5cm,初始速度为=75cm/s.解设振动方程为汽=Acos(nt+0;sincp=一篇 0=4=一：振动方程为：=10.6 x 10-2cos(10t n/4)(m)17第三节运动参量的确定例题62 一个扬声器的膜片正在做简谐振动，频率是500Hz,最大位移为075mm,t=0时刻膜片离开平衡位置移动到位置x0=0.375mm处，求(1)角频率;(2)最大速度和最大加速度;初相位(p；(4)t=0.001s时的位移、速度和加速度.解(1)角频率川=2ttv=2tt x 500=IOOOtt rad/s(2)最大速度I4nax=Za 0.75 x 10-3 x IOOOtt=0.75tt m/s 最大加速度&naZd=0.75 x 10-3 x(1000tt)2=7507r2 m/s2(3)将t=0,Xo=O.375mm代入振动方程汽=Acos(nt+0,v0 0 z可确定cp位于第四象限，故有cp=-n/3(4)可写出振动方程为汽=0.75 x 10-3cos(10007rt-n/3)速度表达式为 u=竽=一ZasWat+0)=0.75Trsm(1000Trt n/3)加速度表达式为a -750兀2cos(lOOOjrt n/3)dt将t=0.001s代入得久=0.375 x 10-3 m.v=-0.375V57r m/s,a=3757r2 m/s218第三节运动参量的确定旋转矢量法丫。时，旋转矢量I在x轴下方;v%=0.12 cos(nt _ 7)m20第三节运动参量的确定（2）方法一：用数学解析法求加 由题意有：0,06=0.12cos（7rt1 1）71tl 又由%=-Aa）sin（jit1 一勺 0,叫一三=今得到叫一三=?，口=1s设%2时刻物体从4时刻运动后首次到达平衡位置，有：0=0,12cos（哈-,71 71p.37r=就2 二 5或三.v2=A（t）si n（7i12 0 z/.nt2 彳导 t?-s,At t n S.6 6方法二：用旋转矢量法求如图,M1为L时刻末端位置,M2为七2时刻末端位置。从七1 一七2内才转角为年3（功-七1）=5+5=7r 3 2 65 5=At t2 t二 TT/60 S6 621第三节运动参量的确定例题64若简谐运动方程为工=0.10 cos(20nt+冗/4),式中x的单位为 m,t的单位为s。求：(1)振幅、频率、角频率、周期和初相；(2)t 2 s时的位移、速度和加速度。解(1)将、=0.10 cos(20兀+兀/4)与=Z cos(at+0)比较后可得：振幅A=0.10m,角频率a=2Qnrad/s,初相0=兀/4,则周期T=2h/o)=0.1s,频率v=1/T=10Hz(2)t=2s时的位移、速度和加速度分别为%=0.10 cos(20 x 2+tt/4)=7.07 x 10-2mv dx/dt=-2tt sin(407r+tt/4)=-4.44m/sa=dv/dt=d2x/dt2=-40/cos(40tt+兀/4)=2.79 x 102m/s222万物之美科学之理目录第一节简谐振动的定义第二节简谐振动的描述第三节运动参量的确定第四节简谐振动的能量第五节简谐振动的合成第四节简谐振动的能量以强簧振子为例位移 x Acos(a)t+0)一a)Asin(a)t+cp)动能Ek=速度u=1 1-mv2=-mA2o)2sin2(Dt+cp)2 21=-sin2+(p)乙1 1势能殳=-kx2=一 kA2 cos2(at+g)2 2机械能 E=Ek+Ep=k A2/2系统的动能和势能都随时间作周期性变化，其变化频率为振动频率的2倍。总机械能是与时间，无关的常量，即，后1与Ep互相转化，总机械能守恒。24第四节简谐振动的能量例题65如图6.8所示系统，弹簧的倔强系数k=25N/m,物块叫=0.6kg,物块瓶2=0 4kg,mi与m2间最大静摩擦系数为P=0.5,mi与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使皿2在振动中不致从mi上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。解设系统的总能量为E=kA2/2 平衡位置时，Ek max=E=kA2/2为使得m2不致从西上滑落时，须有瓶2a m2(g|i极限情况下=Zd=gp,o)2=:-t rr2即A=g吧电 3 kEk max=+m2)2(0.6+0.4)2=0.48J25万物之美科学之理目录第一节简谐振动的定义第二节简谐振动的描述第三节运动参量的确定第四节简谐振动的能量第五节简谐振动的合成第五节简谐振动的合成两个同方向同频率的简谐振动=i41cos（o）t+epi。）%2=i42COS（O）t+（p20）合振动%=+%2合振动方程为：汽=Acos（cot+cp0）(1)4 X(PoA=吊+&+2 4 142cos420 9 io)tgcpoAsincpQ+A2sin(p2o&cos0io+A2cos(p20（00必在010、020之间）两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐振动。27第五节简谐振动的合成两个同方向同频率的简谐振动合振幅 A=彳+朗+2Zi&cos(02o 一 甲io)(P=020 010讨论：(1)=2kn(k=0,L2,),即两分振动同相时A=+A2,合振动加强00=020=010(2)A(p=(2fc+l)7r(k=0,L 2,)，即两分振动反相时4 Ml 2 I/合振动减弱00与振幅较大的分振动同相(3)一般情况，Ml-Z a+Z228第五节简谐振动的合成例题66 物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，其方程分别为：x1=0.10cos(47rt 71/2)(SI)x2=0.05cos(47rt+tt/2)(SI)求：全振动表达式解 直接考察两个振动位相差：A(p=n=A=A2 A1=0.05*A A 2 cp cp 7T/2全振动表达式为=0.05 cos(4兀 一方)(S/)29第五节简谐振动的合成拍现象VMVWWWXAWVWWVX/a rX2 A频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振 动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。.=Ar cos(D1t=A cos 2(其中l2-Vil|v2+vj)L x2=A2 cos a)2t=A2 cos 2 nv2t合振动为=%1+冷=2Zcos(2tt“2 T t)cos(27r t)2 2第五节简谐振动的合成拍现象合振动为=%+上振动频率=(%+?2)/2、振幅=24 cos 2 7i V2-V112合振动每变化一个周期称为一拍22 2 V1，=7T单位时间内拍出现的次数就叫拍频1T=-v2.%V=V2 Vr31