资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．若实数满足，则的最小值为（）
A.1 B.
C.2 D.4
2．下列直线中，倾斜角为45°的是（）
A. B.
C. D.
3．设集合，，则
A. B.
C. D.
4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是
A. B.
C. D.
5．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A.分钟 B.分钟
C.分钟 D.分钟
7．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的最大值为
A. B.
C. D.
8．已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是
A.，，
B，，
C.，，
D.，，
9．奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是.
A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(1，＋∞)
10．在长方体中， ， ，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知，，，则a、b、c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
12．下列函数中与函数相等的是
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数的定义域为，当时，，若，则的解集为______
14．已知在上是增函数，则的取值范围是___________.
15．设函数的图象为，则下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象.
16．一个底面积为1的正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，若这个正四棱柱的高为，则该球的表面积为__________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知,.
（Ⅰ）求证：函数在上是增函数；
（Ⅱ）若,求实数的取值范围.
18．计算下列各式：
（1）（式中字母均为正数）；
（2）.
19．已知直线经过直线与直线的交点，并且垂直于直线
（Ⅰ）求交点的坐标；
（Ⅱ）求直线的方程
20．某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）求x为多少时，y有最小值，并求出y的最小值
21．提高过江大桥的车辆通行的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,就会造成堵塞,此时车流速度为0:当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当时,车流速度是车流密度的一次函数
(1)当时,求函数的表达式:
(2)如果车流量(单位时间内通过桥上某或利点的车辆数) (单位:辆/小时)那么当车流密度为多大时,车流量可以达到最大,并求出最大值,(精确到1辆/小时)
22．已知函数满足
（1）求的解析式，并求在上的值域；
（2）若对，且，都有成立，求实数k的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、C
【解析】先根据对数的运算得到，再用基本不等式求解即可.
【详解】由对数式有意义可得，由对数的运算法则得，所以，结合，可得，所以，当且仅当时取等号，所以.
故选：.
2、C
【解析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.
【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为，
对于A，直线斜率为，
对于B，直线无斜率，
对于C，直线斜率，
对于D，直线斜率，
故选：C
3、D
【解析】详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D.
考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
4、D
【解析】分析：利用基本初等函数的单调性和奇偶性的定义，判定各选项中的函数是否满足条件即可.
详解：对于A中，函数是定义域内的非奇非偶函数，所以不满足题意；
对于B中，函数是定义域内的非奇非偶函数，所以不满足题意；
对于C中，函数是定义域内的偶函数，所以不满足题意；
对于D中，函数是定义域内的奇函数，也是增函数，所以满足题意，
故选D.
点睛：本题主要考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的判定问题，其中熟记基本初等函数的单调性和奇偶性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
5、B
【解析】当时可知；当时，采用分离变量法可得，结合基本不等式可求得；综合两种情况可得结果.
【详解】当时，不等式为恒成立，；
当时，不等式可化为：，
，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：B.
6、D
【解析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.
【详解】由题知，，，所以，，可得，
所以，，.
故选：D.
7、A
【解析】分析：利用三角函数的图象变换，可得，由可得，取，取即可得结果.
详解：的图象向左平移个单位长度，
再向上平移1个单位长度，
得到
，
，
且，
，
，
因为，
所以时，取为最小值；
时，取为最大值
最大值为，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数图象的变换以及三角函数的性质，属于中档题.能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
8、D
【解析】A不正确，也有可能；
B不正确，也有可能；
C不正确，可能或或；
D正确， ， ， ，
考点：1线面位置关系；2线面垂直
9、A
【解析】考点：奇偶性与单调性的综合
分析：根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果
解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）
故选A
10、D
【解析】如图，连接交于点 ，连接，则结合已知条件可证得为直线与平面 所成角，然后根据已知数据在求解即可
【详解】解：如图，连接交于点 ，连接，
因为长方体中， ，
所以四边形为正方形，
所以，，所以 ，
因为平面，所以 ，
因为，所以 平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ，
故选：D
【点睛】此题考查线面角的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题
11、A
【解析】利用指数函数、对数函数、三角函数的知识判断出a、b、c的范围即可.
【详解】因为，，
所以
故选：A
12、C
【解析】对于选项A,D对应的函数与函数的对应法则不同，
对于选项B对应的函数与函数的定义域不同，
对于选项C对应的函数与函数的定义域、对应法则相同，得解.
【详解】解：对于选项A，等价于，即A不符合题意，
对于选项B，等价于，即B不符合题意，
对于选项C，等价于，即C符合题意，
对于选项D，，显然不符合题意，即D不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了同一函数的判断、函数的对应法则及定义域，属基础题.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、##
【解析】构造，可得在上单调递减．由，转化为，利用单调性可得答案
【详解】由，得，
令，则，
又，
所以在上单调递减
由，得，因为，
所以，所以，得
故答案为：.
14、
【解析】将整理分段函数形式,由在上单调递增,进而可得,即可求解
【详解】由题,,显然,在时,单调递增,
因为在上单调递增,所以,即,
故答案为:
【点睛】本题考查已知函数单调性求参数,考查分段函数,考查一次函数的单调性的应用
15、①③
【解析】 图象关于直线对称；所以①对；
图象关于点对称；所以②错；
，所以函数在区间内是增函数；所以③对；
因为把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到 ，所以④错；填①③.
16、
【解析】底面为正方形，对角线长为.故圆半径为，故球的表面积为.
【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题.解决与几何体外接球有关的数学问题时，主要是要找到球心所在的位置，并计算出球的半径.寻找球心的一般方法是先找到一个面的外心，如本题中底面正方形的中心，球心就在这个外心的正上方，根据图形的对称性，易得球心就在正四棱柱中间的位置.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（Ⅰ）答案见详解;（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ)利用定义法证明函数单调性;
(Ⅱ)判断函数奇偶性,并结合的单调性将不等式转化为不等式组,求出实数的取值范围.
【详解】(Ⅰ)任取,
则
,
,即,
所以函数在上是增函数;
(Ⅱ)因为函数定义域为,关于原点对称,
又,
所以函数为奇函数,
又,
即,即,
由(Ⅰ)知函数在上是增函数,
所以,即,
故实数的取值范围为.
【点睛】(1)大题中一般采用定义法证明函数单调性;(2)利用单调性解不等式问题,一般需要注意三个方面:①注意函数定义域范围限制;②确定函数的单调性;③部分需要结合奇偶性转化.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据给定条件利用指数运算法则化简作答.
（2）根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算性质计算作答.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
.
19、 (Ⅰ) ；（Ⅱ）.
【解析】（I）联立两条直线的方程，解方程组可求得交点坐标，已知直线的斜率为，和其垂直的直线斜率是，根据点斜式可写出所求直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）由得
所以(，).
（Ⅱ）因为直线与直线垂直，
所以，
所以直线的方程为.
20、（1）
（2）当时，y有最小值为3.
【解析】（1）根据y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和即可建立函数模型；
（2）利用均值不等式即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，y关于x的函数表达式为；
【小问2详解】
解：因为，当且仅当，即时等号成立.
所以当时，y有最小值为3.
21、（1）；（2）当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333/小时..
【解析】详解】试题分析：
本题考查函数模型在实际中的应用以及分段函数最值的求法．（1）根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式．（2）首先由题意得到的解析式，再根据分段函数最值的求得求得最值即可
试题解析：
(1)由题意:当时,;
当时,设
由已知得 解得
∴
综上可得
(2)依题意并由（1）可得
①当时，为增函数，
∴当时，取得最大值，且最大值为1200
②当时，，
∴当时，取得最大值，且最大值为.
所以的最大值为
故当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时.
22、（1），
（2）
【解析】（1）由条件可得，然后可解出，然后利用对勾函数的知识可得答案；
（2）设，条件中的不等式可变形为，即可得在区间（2，4）递增，然后分、、三种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
因为①，
所以②，联立①②解得.
当时为增函数，时为减函数，
因为
所以
【小问2详解】
对，，，都有，
不妨设，则由
恒成立，也即可得函数在区间（2，4）递增；
当，即时，满足题意；
当，即时，为两个在上单调递增函数的和，
则可得在单调递增，从而满足在（2，4）递增，符合题意；
当，即时，，其在递减，在递增，
若使在（2，4）递增，则只需；
综上可得：
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