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(完整版)利用平方根定义及性质解题几个技巧
平方根概念解题的几个技巧

平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到。但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用。希望对大家的学习有所帮助.
一、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道，当a≥0时，a的平方根是±,即a是非负数.
例1、若求yx的立方根.
分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x≥0,得x≤2；x－2≥0,得x≥2；进一步可得x=2.从而可求出y=－6。
解 ∵， ∴ x=2; 当x=2时，y=－6.yx=(－6)2=36。
所以yx的立方根为.
二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值。
我们知道，当a≥0时,a的平方根是±，而
例2、已知:一个正数的平方根是2a－1与2－a，求a的平方的相反数的立方根。
分析 由正数的两平方根互为相反得：(2a－1)+(2－a）=0,从而可求出a=－1，问题就解决了.
解 ∵2a－1与2－a是一正数的平方根,∴（2a－1）+(2－a)=0, a=－1.
a的平方的相反数的立方根是
三、巧用算术平方根的最小值求值。
我们已经知道，即a=0时其值最小，换句话说的最小值是零。
例3、已知:y=,当a、b取不同的值时,y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.
分析 y=，要y最小，就是要和最小,而≥0，≥0,显然是=0和=0，可得a=2,b=－1。
解 ∵≥0，≥0，y=,∴=0和=0时，y最小.由=0和=0,可得a=2，b=－1。
所以ba的非算术平方根是
四、巧用平方根定义解方程。
我们已经定义:如果x2=a （a≥0）那么x就叫a的平方根。若从方程的角度观察，这里的x实际是方程x2=a （a≥0）的根.
例4、解方程（x+1）2=36。
分析 把x+1看着是36的平方根即可.
解 ∵（x+1)2=36 ∴x+1看着是36的平方根。 x+1=±6.
∴x1=5 , x2=－7。
例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27（x+1)3=64这个方程呢?不妨试一试。

利用平方根的定义及性质解题

如果一个数的平方等于a(a≥0），那么这个数是a的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．
例1 已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．
分析:根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．
解：由2a－1+a－11=0，得a=4，所以2a－1=2×4－1=7．
所以这个数为72=49．
例2 已知2a－1和a－11是一个数的平方根，求这个数．
分析：根据平方根的定义,可知2a－1和a－11相等或互为相反数．
当2a－1=a－11时，a=－10，所以2a－1=－21，这时所求得数为（－21）2=441；
当2a－1+a－11=0时,a=4,所以2a－1=7，这时所求得数为72=49。
综上可知所求的数为49或441.
例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5，求2x－3y+11的平方根.
分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36，所以2x=37；因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25，所以y=26－2x=－11，
所以2x－3y+11=37－3×（－11)+11=81,
因为81的平方根为±9，所以2x－3y+11的平方根为±9.
例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（ ）
（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D)－1
分析：本题分为两种情况:（1)可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；
(2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．
所以选（C）．

练一练：
1. 已知x的平方根是2a－13和3a－ 2,求x的值.
2. 已知2a－13和3a－2是x的平方根，求x的值
3。已知x+2y=10，4x+3y=15， 求x+y的平方根.
答案：1.49;2. 49或1225; 3。.

估计方根的取值，你会吗

在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜．解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义,从平方或立方入手．
例１　不求的值，正确的是（　　）
(A)3.15＜＜3.16　　　(B）3.16＜＜3。17
（C)3。17＜＜3。18　　　（D）3。18＜＜3.19。
分析：表示10的算术平方根，要确定在3。15、3。16、3。17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间。
解:计算知，.
所以＜10＜.
所以3.16＜＜3。17，应选B.
例2　估计68的立方根的大小在( )
（A） 2与3之间 　　　（B）3与4之间
（C） 4与5之间 　　　（D）5与6之间.
分析:要估计68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间．
解:计算知，．
所以＜68＜．
所以4＜＜5，应选B．
例3　下列各数与最接近的是（　　）
（A)2.5 (B）2.6 (C）2。7 （D）2.8。
分析：要比较2.5、2。6、2。7、2。8这四个数哪个与更接近,只需看看这四个数中哪个数的平方更接近7.
解：计算知,。
因为,
所以比、、更接近7,
所以2。6比2.5、2.7、2.8更接近。应选B.

《平方根》典例分析

平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础,也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.
一、基本题型
例1 求下列各数的算术平方根
（1）；（2）；(3）.
分析:根据算术平方根的定义，求一个数的算术平方根可转化为求一个数的平方等于的运算,更具体地说,就是找出平方后等于的正数。
解：（1）因为，所以的算术平方根是，即；
(2）因为,所以的算术平方根是，即;
（3）因为，又,所以的算术平方根是，即.
点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意的算术平方根是3,而不是3。另外,当这个数是带分数时,应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似的错误。
想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根。你会解吗？请试一试.
例2 求下列各式的值
（1）; （2）; （3）； （4）.
分析：±表示的平方根，故其结果是一对互为相反数；－表示的负平方根，故其结果是负数；表示的算术平方根，故其结果是正数；表示的算术平方根，故其结果必为正数。
解:（1）因为，所以±=±9.
（2）因为，所以－。
（3）因为=，所以=.
（4)因为，所以。
点评：弄清与平方根有关的三种符号±、、－的意义是解决这类问题的关键.±表示非负数的平方根。表示非负数的算术平方根，－表示非负数的负平方根。注意≠±.在具体解题时,符与“”的前面是什么符号，其计算结果也就是什么符号，既不能漏掉,也不能多添.
例3 若数的平方根是和,求的值。
分析：因负数没有平方根,故必为非负数,故本题应分两种情况来解。
解: 因为负数没有平方根，故必为非负数.
（1)当为正数时,其平方根互为相反数,故(）+()=，解得,故=，,从而。
（2）当为时，其平方根仍是，故且，此时两方程联立无解。
综上所述，的值是。
想一想:如果把例3变为:若和是数的平方根，求的值。你会解吗？请试一试。
二、创新题型
例4 先阅读所给材料,再解答下列问题：若与同时成立，则的值应是多少?有下面的解题过程：和都是算术平方根,故两者的被开方数都是非负数,而和是互为相反数。 两个非负数互为相反数,只有一种情形成立,那就是它们都等于0，即=0，=0，故。
问题:已知求的值。
解：由阅读材料提供的信息，可得故。 进而可得。故=.
点评：这是一道阅读理解题。解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.
例5 请你认真观察下面各个式子,然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子.
①；
②；
③。
分析：要写出第④、⑤个式子,就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点。通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80。
解：④；
⑤。
点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题,它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！

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