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(完整版)4 圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题
一、直线恒过定点问题
例1. 已知动点在直线上,过点分别作曲线的切线， 切点为、, 求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
解:设,
整理得：
同理可得：
，又
，。
例2、已知点是椭圆上任意一点,直线的方程为， 直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒

过一定点G，求点G的坐标。

解:直线的方程为，即
设关于直线的对称点的坐标为
则，解得
直线的斜率为
从而直线的方程为：
即
从而直线恒过定点
二、恒为定值问题
例3、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为，离心率为，是椭圆在第一 象限弧上一点，且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭
圆于A、B两点。
（1)求P点坐标；
(2）求证直线AB的斜率为定值;
解：（1）设椭圆方程为，由题意可得
，所以椭圆的方程为
则,设
则

点在曲线上，则
从而,得，则点的坐标为。
（2）由(1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数,
设PB斜率为，则PB的直线方程为:
由 得
设则
同理可得,则

所以直线AB的斜率为定值。
例4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点
， 求证：为定值.
解: 将代入中得
，
，
所以

。
课后作业：
1。 在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示,斜率为且不 过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为， 射线交椭圆于点，交直线于点。
(Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若∙，求证：直线过定点；
解：（Ⅰ）由题意：设直线，
由消y得：，

设A、B,AB的中点E，则由韦达定理得:
=，即,,
所以中点E的坐标为，
因为O、E、D三点在同一直线上，
所以，即， 解得，
所以=,当且仅当时取等号, 即的最小值为2。
（Ⅱ）证明:由题意知:n〉0,因为直线OD的方程为，
所以由得交点G的纵坐标为，
又因为,，且∙，所以,
又由（Ⅰ）知： ,所以解得，所以直线的方程为,
即有, 令得,y=0，与实数k无关,
所以直线过定点(-1,0）。
2. 已知点为曲线上的一点， 若，是否存在垂直轴的直线 被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程;若不存在， 请说明理由．
解：设的中点为，垂直于轴的直线方程为,
以为直径的圆交于两点，的中点为．
，

所以，令,则对任意满足条件的，
都有（与无关）， 即为定值．

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