常微分方程基本概念习题及解答.doc

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答
1．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：=2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c
y=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1
特解为y= e.

2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx
两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=
另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e
特解：y=
3．=
解：原方程为：=
dy=dx
两边积分：x(1+x)(1+y)=cx
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0
解：原方程为： dy=-dx
两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为：

=-
令=u 则=u+x 代入有：
-du=dx
ln(u+1)x=c-2arctgu
即 ln(y+x)=c-2arctg.
6. x-y+=0
解：原方程为： =+-
则令=u =u+ x
du=sgnx dx
arcsin=sgnx ln|x|+c
7. tgydx-ctgxdy=0
解:原方程为：=
两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|
siny== 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
所以原方程的通解为sinycosx=c.
8 +=0
解：原方程为：=e
2 e-3e=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0
解：原方程为：=ln
令=u ,则=u+ x

u+ x=ulnu
ln(lnu-1)=-ln|cx|
1+ln=cy.
10. =e
解：原方程为：=ee
e=ce
11 =(x+y)
解：令x+y=u,则=-1
-1=u
du=dx
arctgu=x+c
arctg(x+y)=x+c
12. =
解：令x+y=u,则=-1
-1=
u-arctgu=x+c
y-arctg(x+y)=c.
13. =
解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx
xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y-y)-dx+x=c
xy-y+y-x-x=c
14: =
解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx
xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0
dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0
y+4y+x+10x-2xy=c.
15: =(x+1) +(4y+1) +8xy
解：原方程为：=（x+4y）+3
令x+4y=u 则=-
-=u+3
=4 u+13
u=tg(6x+c)-1
tg(6x+c)=(x+4y+1).
16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：
1） y(1+xy)dx=xdy
2） =
证明： 令xy=u,则x+y=
则=-，有：
=f(u)+1
du=dx
所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则=- (1)
原方程可化为：=[1+（xy）] (2)
将1代入2式有：-=(1+u)
u=+cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y
则与x轴，y轴交点分别为：
x= x - y= y - x y’
则 x=2 x = x - 所以 xy=c
18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 = 。
解：由题意得：y’= dy= dx
ln|y|=ln|xc| y=cx.
= 则y=tgx 所以 c=1 y=x.
19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx
则：y=kx +c 即为所求。