资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
A．5 B．6 C．7 D．8
2．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（ ）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A． B． C． D．
6．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留）． （ ）
A． B． C． D．
7．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球
B．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7
C．抛掷一枚一元硬币，正面朝上
D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块
8．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
9．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
10．在平面直角坐标系xOy中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆与y轴( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．
12．关于的一元二次方程有一个解是，另一个根为 _______．
13．若，则______．
14．已知关于x的一元二次方程x2+px-3=0的一个根为-3，则它的另一根为________.
15．若实数a、b满足a+b2=2，则a2+5b2的最小值为_____．
16．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝4，CD＝3，则⊙O的半径的长是______．
17．如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中的数字为偶数的概率是___________．
18．已知锐角α，满足tanα=2，则sinα=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）近期猪肉价格不断走高，引起市民与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%，某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日猪肉价格为每千克40元，5月21日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价格在5月20日每千克40元的基础上下调a%出售，某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了,求a的值.
20．（6分）如图，正方形中，，点在上运动(不与重台)，过点作，交于点，求运动到多长时，有最大值，并求出最大值.
21．（6分）如图，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，为直线下方抛物线上一点，连接，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点的坐标；如果没有，请说明理由．
（3）为轴右侧抛物线上一点，为对称轴上一点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．
（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．
23．（8分）如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC平分线，点E在AC边上，且∠AED=∠ADB．
求证：（1）△ABD∽△ADE； （2）AD2=AB·AE.
24．（8分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
25．（10分）寒冬来临，豆丝飘香，豆丝是鄂州民间传统美食；某企业接到一批豆丝生产任务，约定这批豆丝的出厂价为每千克4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，新工人李明第1天生产100千克豆丝，由于不断熟练，以后每天都比前一天多生产20千克豆丝；设李明第x天（，且x为整数）生产y千克豆丝，解答下列问题：
(1)求y与x的关系式，并求出李明第几天生产豆丝280千克？
(2)设第x天生产的每千克豆丝的成本是p元，p与x之间满足如图所示的函数关系；若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）
26．（10分）如图，在中，，，，求和的长.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键
2、C
【解析】试题分析：设这个小组有人，故选C．
考点：一元二次方程的应用．
3、D
【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.
【详解】解：
，
，
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
4、B
【分析】由题意根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，进而即可得出方程．
【详解】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么得五、六月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，
根据题意得50+50（1+x）+50（1+x）2=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的增长率问题，注意掌握其一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，x为增长率．
5、B
【解析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【详解】把方程x2﹣2x﹣5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到：x2﹣2x+（﹣1）2＝5+（﹣1）2，配方得：（x﹣1）2＝1．
故选B．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6、A
【分析】根据勾股定理求得AB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=lr，求得答案即可．
【详解】解：∵AO=8米，OB=6米，∴AB=10米，
∴圆锥的底面周长=2×π×6=12π米，
∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，熟知圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
7、B
【解析】根据事件发生的可能性大小即可判断.
【详解】A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球的概率为0，故错误；
B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7的概率为1，故为必然事件，正确；
C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上的概率为50%，为随机事件，故错误；
D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，为随机事件，故错误；
故选B.
【点睛】
此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是熟知概率的定义.
8、D
【解析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．
【详解】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．
9、A
【解析】考点：旋转的性质．
分析：已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．
解：依题意旋转角∠A′CA=40°，
由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．故选A．
10、A
【分析】先找出圆心到y轴的距离，再与圆的半径进行比较，若圆心到y轴的距离小于半径，则圆与y轴相交，反之相离，若二者相等则相切
故答案为A选项
【详解】根据题意，我们得到圆心与y轴距离为3，小于其半径4，所以与y轴的关系为相交
【点睛】
本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
12、
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值；把m的值代入一元二次方程中，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：把x=0代入方程（m+2）x2+3x+m2-4=0得到m2-4=0，
解得：m=±2，
∵m-2≠0,
∴m=-2，
当m=-2时，原方程为：-4x2+3x=0
解得：x1=0，x2=，
则方程的另一根为x=．
【点睛】
本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出m的值是解此题的关键．
13、-1
【分析】由可得，，再代入代数式计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 原式＝，
故填：－1．
【点睛】
本题考查比例的基本性质，属于基础题型．
14、1
【分析】根据根与系数的关系得出−3x＝−6，求出即可．
【详解】设方程的另一个根为x，
则根据根与系数的关系得：−3x＝−3，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
15、1
【分析】由a+b2=2得出b2=2-a，代入a2+5b2得出a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10，再利用配方法化成a2+5b2=（a-，即可求出其最小值．
【详解】∵a+b2=2，
∴b2=2-a，a≤2，
∴a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10=（a-，
当a=2时，
a2+b2可取得最小值为1．
故答案是：1．
【点睛】
考查了二次函数的最值，解题关键是根据题意得出a2+5b2=（a-.
16、2.5
【分析】连接AC，根据∠ABC=90°可知AC是⊙O的直径，故可得出∠D=90°，再由AD=4，CD=3可求出AC的长，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∵AD=4，CD=3，
∴AC= 5,
∴⊙O的半径= 2.5,
故答案为：2.5.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
17、
【分析】由1占圆，2与3占，可得把数字为1的扇形可以平分成2部分，即可得转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3；然后由概率公式即可求得．
【详解】解：占圆，2与3占，
把数字为1的扇形可以平分成2部分，
转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3；
当转盘停止后，指针指向的数字为偶数的概率是：．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18、
【解析】分析：根据锐角三角函数的定义，可得答案．
详解：如图，由tanα==2，得a=2b，由勾股定理，得：
c==b，sinα===．
故答案为．
点睛：本题考查了锐角三角函数，利用锐角三角函数的定义解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）1元；（2）a=2.
【分析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；
（2）设5月2日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；
根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥1．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克1元；
（2）设5月2日两种猪肉总销量为1；
根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），
令a%=y，
原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），
整理得：，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=2．
答：a的值为2．
20、当BP=6时，CQ最大，且最大值为1.
【分析】根据正方形的性质和余角的性质可得∠BEP＝∠CPQ，进而可证△BPE∽△CQP，设CQ＝y，BP＝x，根据相似三角形的性质可得y与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，
∴∠BEP+∠BPE＝90°，∵，∴∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．
∴△BPE∽△CQP，∴．
设CQ＝y，BP＝x，∵AB=BC=12，∴CP＝12﹣x．∵AE＝AB，AB=12，∴BE＝9，
∴，化简得：y＝﹣（x2﹣12x），即y＝﹣（x﹣6）2+1，
所以当x＝6时，y有最大值为1．即当BP=6时，CQ有最大值，且最大值为1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质和二次函数的性质等知识，属于常见题型，熟练掌握相似三角形的性质和二次函数的性质是解答的关键．
21、（1）；（2）最大值为，点的坐标为；（3）点的坐标为，．
【分析】（1）先设顶点式，再代入顶点坐标得出，最后代入计算出二次项系数即得；
（2）点的坐标为，先求出B、C两点，再用含m的式子表示出的面积，进而得出面积与m的二次函数关系，最后根据二次函数性质即得最值；
（3）分成Q点在对称轴的左侧和右侧两种情况，再分别根据和列出方程求解即得．
【详解】（1）设抛物线的解析式为．
∵顶点坐标为
∴．
∵将点代入，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）如图1，过点作轴，垂足为，交于点．
∵将代入，解得，
∴点的坐标为．
∵将代入，解得
∴点C的坐标为
设直线的解析式为
∵点的坐标为，点的坐标为
∴，解得
∴直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为
∴
过点作于点
∵
∴
故当时，的面积有最大值，最大值为
此时点的坐标为
（3）点的坐标为，．
分两种情况进行分析：①如图2，过点作轴的平行线，分别交轴、对称轴于点，
设点的坐标为
∵
∴
∴在和中
∴
∴
∵，
∴
解得（舍去），
∴点的坐标为．
②如图3，过点，作轴的平行线，过点作轴的平行线，分别交，于点，．
设点的坐标
∵由①知
∴
∵，
∴
解得，（舍去)
∴点的坐标为
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数最值的应用、解一元二次方程、全等三角形的判定及性质，解题关键是熟知二次函数在实数范围的最值在顶点取到，一线三垂直的全等模型，二次函数顶点式：．
22、（1）见解析；（2）10cm．
【分析】（1）以点A，点C为圆心，大于AC为半径画弧，两弧的交点和点O的连线交弦AC于点D，交优弧于点E；
（2）由垂径定理可得AD=CD=4cm，由勾股定理可求OA的长，即可求解．
【详解】（1）如图所示：
（2）∵DE⊥AC，
∴AD＝CD＝4cm，
∵AO2＝DO2+AD2，
∴AO2＝（DE﹣AO）2+16，
∴AO＝5，
∴AB＝2AO＝10cm．
【点睛】
本题考查了圆的有关知识，勾股定理，灵活运用勾股定理求AO的长是本题的关键．
23、 (1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析
【分析】试题分析：(1)、根据角平分线得出∠BAD=∠DAE，结合∠AED=∠ADB得出相似；(2)、根据相似得出答案.
【详解】试题解析：(1)、∵AD是∠BAC平分线 ∴∠BAD=∠DAE 又∵∠AED=∠ADB ∴△ABD∽△ADE
(2)、∵△ABD∽△ADE ，∴∴AD2=AB·AE.
考点：相似三角形的判定与性质
24、（1）y＝﹣x2﹣2x+3 （2）（﹣，） （3）存在，P（﹣2，3）或P（，）
【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则F（t，t+3），则PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根据S△PAB＝S△PAF+S△PBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由对称轴为直线x＝﹣1，PE∥x轴交抛物线于点E，得yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t；②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F
∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3
∴A（0，3）
∴直线AB解析式为y＝x+3
∵点P在线段AB上方抛物线上
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）
∴F（t，t+3）
∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+
∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴对称轴为直线x＝﹣1
∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称
∴＝﹣1
∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°
∴PD＝PE
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2
∴P（﹣2，3）
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t
∴﹣t2﹣3t＝2+2t
解得：t1＝，t2＝（舍去）
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．
【点睛】
考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.
25、（1），第10天生产豆丝280千克；（2）当x=13时，w有最大值，最大值为1.
【分析】（1）根据题意可得关系式为：y=20x+80，把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
【详解】解：（1）依题意得：
令，则，解得
答：第10天生产豆丝280千克.
(2) 由图象得，当0＜x＜10时，p=2；
当10≤x≤20时，设P=kx+b，
把点（10，2），（20，3）代入得，
解得
∴p=0.1x+1，
①1≤x≤10时，w=（4-2）×（20x+80）=40x+160，
∵x是整数，
∴当x=10时，w最大=560（元）；
②10＜x≤20时，w=（4-0.1x-1）×（20x+80）
=-2x2+52x+240，
=-2（x-13）2+1，
∵a=-2＜0，
∴当x=-=13时，w最大=1（元）
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为1．
【点睛】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
26、，
【分析】作CD⊥AB于D．在Rt△BDC求出CD、BD，在Rt△ACD中求出AD、AC即可解决问题.
【详解】解：
如图，过点作于点，
在中，
，，
，
在中，
，∴，
，
∴.
【点睛】
本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
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