资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的6名同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下：（单位：个）33，25，28，26，25，31，如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（ ）
A．900个 B．1080个 C．1260个 D．1800个
2．二次根式有意义的条件是（ ）
A．x>－1 B．x≥－1 C．x≥1 D．x＝－1
3．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则( )
A．2 B． C． D．
4．如图所示，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D=50°，则∠BOF为( )
A．35° B．30° C．25° D．20°
5．如图为二次函数的图象，在下列说法中:
①；②方程的根是③ ；④当时，随的增大而增大；⑤；⑥，正确的说法有（ ）
A． B． C． D．
6．若反比例函数y=的图象经过点(2，3)，则它的图象也一定经过的点是( )
A． B． C． D．
7．剪纸是中国特有的民间艺术.以下四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为（ ）
A． B．8 C．10 D．16
9．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
12．已知二次函数y=－x－2x＋3的图象上有两点A(－7，)，B(－8，)，则 ▲ .（用>、<、=填空）．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝1．现分别以点A、点B为圆心，以大于AB相同的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若将△BDE沿直线MN翻折得△B′DE，使△B′DE与△ABC落在同一平面内，连接B′E、B′C，则△B′CE的周长为_____．
14．如图1，点M，N，P，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，我们称四边形MNPQ是矩形ABCD的内接四边形．已知矩形ABCD，AB＝2BC＝6，若它的内接四边形MNPQ也是矩形，且相邻两边的比为3：1，则AM＝_____．
15．一个不透明的盒子中有4个白球，3个黑球，2个红球，各球的大小与质地都相同，现随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是_____．
16．代数式+2的最小值是_____．
17．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则__________．
18．若圆锥的底面周长是10，侧面展开后所得的扇形圆心角为90°，则该圆锥的侧面积是__________。
三、解答题(共66分)
19．（10分）计算：
（1）x（x﹣2y）﹣（x+y）（x+3y）
（2）（+a+3）÷
20．（6分）综合与探究
如图1，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，.双曲线与直线交于点.
（1）求的值；
（2）在图1中以线段为边作矩形，使顶点在第一象限、顶点在轴负半轴上.线段交轴于点.直接写出点，，的坐标；
（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点是双曲线上的一个动点，过点作轴的平行线分别交线段，于点，.
请从下列，两组题中任选一组题作答.我选择组题.
A．①当四边形的面积为时，求点的坐标；
②在①的条件下，连接，.坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
B．①当四边形成为菱形时，求点的坐标；
②在①的条件下，连接，.坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
21．（6分）已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点M是边AD上一点（与点A，D不重合），射线ME与BC的延长线交于点N．
（1）求证：△MDE≌△NCE；
（2）过点E作EF//CB交BM于点F，当MB＝MN时，求证：AM＝EF．
23．（8分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图1摆放，点D为AB边的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC=2.
（1）求证：△ADC∽△APD；
（2）求△APD的面积；
（3）如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点，使它到轴的距离为4，若存在，请求出点的坐标，若不存在，则说明理由．
25．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，是△ABC的外接圆，AB是的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若AD=2，CD=4，求BD的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】先求出6名同学家丢弃塑料袋的平均数量作为全班学生家的平均数量，然后乘以总人数45即可解答．
【详解】估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（个）．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体的问题，掌握算术平均数的公式是解题的关键．
2、C
【解析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求出x的取值范围即可.
【详解】∵二次根式有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1，
故选：C.
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键.
3、B
【分析】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1,AC= ,在直角三角形ACD中即可求得的值.
【详解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，
则CD=1，AC=
在直角三角形ACD中
故选：B
【点睛】
本题考查的是网格中的锐角三角函数，关键是创造直角三角形，尽可能的把直角三角形的顶点放在格点.
4、C
【解析】试题分析：CD∥AB，∠D=50°则∠BOD=50°．
则∠DOA=180°-50°=130°．则OE平分∠AOD，∠EOD=65°．∵OF⊥OE，所以∠BOF=90°-65°=25°．选C．
考点：平行线性质
点评：本题难度较低，主要考查学生对平行线性质及角平分线性质的掌握．
5、D
【分析】根据抛物线开口向上得出a＞1，根据抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上得出c＜1，根据图象与x轴的交点坐标得出方程ax2+bx+c=1的根，把x=1代入y=ax2+bx+c求出a+b+c＜1，根据抛物线的对称轴和图象得出当x＞1时，y随x的增大而增大，2a=-b，根据图象和x轴有两个交点得出b2-4ac＞1．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞1，
∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜1，
∴ac＜1，∴①正确；
∵图象与x轴的交点坐标是（-1，1），（3，1），
∴方程ax2+bx+c=1的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；
把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜1，∴③错误；
根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；
∵-=1，
∴2a=-b，
∴2a+b=1，不是2a-b=1，∴⑤错误；
∵图象和x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞1，∴⑥正确；
正确的说法有：①②④⑥．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性．
6、A
【详解】解：根据题意得k=2×3=6，
所以反比例函数解析式为y=，
∵﹣3×（﹣2）=6，2×（﹣3）=﹣6，3×（﹣2）=﹣6，﹣2×3=﹣6，
∴点（﹣3，﹣2）在反比例函数y=的图象上．
故选A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
7、B
【解析】根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【详解】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误.
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．
8、C
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．
【详解】解：∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=AE：AB，
∵AE：EB=2：3，
∴AE：AB=2：5，
∵EF=4，
∴4：BC=2：5，
∴BC=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=1．
【点睛】
本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．
9、B
【分析】设AC、BD交于点E，过点C作CF⊥BD于点F，过点E作EG⊥CD于点G，则CF∥AB，△CDF和△DEG都是等腰直角三角形，设AB=2，则易求出CF=，由△CEF∽△AEB，可得，于是设EF=，则，然后利用等腰直角三角形的性质可依次用x的代数式表示出CF、CD、DE、DG、EG的长，进而可得CG的长，然后利用正切的定义计算即得答案.
【详解】解：设AC、BD交于点E，过点C作CF⊥BD于点F，过点E作EG⊥CD于点G，则CF∥AB，△CDF和△DEG都是等腰直角三角形，
∴△CEF∽△AEB，
设AB=2，∵∠ADB=30°，
∴BD=，
∵∠BDC=∠CBD=45°，CF⊥BD，
∴CF=DF=BF==，
∴，
设EF=，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题以学生常见的三角板为载体，考查了锐角三角函数和特殊角的三角函数值、30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，构图简洁，但有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.
10、C
【解析】分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
详解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据根的判别式即可求出答案；
【详解】解：由题意可知：
解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式并应用．
12、＞．
【解析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y1的大小关系：
∵二次函数y=﹣x1﹣1x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大．
∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y1）是二次函数y=﹣x1﹣1x+3的图象上的两点，且﹣7＞﹣8，
∴y1＞y1．
13、3
【分析】根据线段垂直平分线的性质和折叠的性质得点B′与点A重合，BE＝AE，进而可以求解．
【详解】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝1．
根据勾股定理，得：BC＝2．
连接AE，
由作图可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，BD＝AD，
由翻折可知：
点B′与点A重合，
∴△B′CE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝6+2
＝3
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质定理和折叠的性质，通过等量代换把△B′CE的周长化为AC+BC的值，是解题的关键.
14、
【分析】证明△AMQ∽△DQP，△PCN∽△NBM，设MA＝x，则DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，PC＝9x﹣3，NB＝27x﹣9，表示出NC，由BC长为3，可得方程，解方程即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形MNPQ为矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，∠DQP＝∠QMA，
∴△AMQ∽△DQP，
同理△PCM∽△NBM，
设MA＝x，∵PQ：QM＝3：1，
∴DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，
PC＝6﹣（9﹣9x）＝9x﹣3，NB＝3PC＝27x﹣9，
BM＝6﹣x，
∴NC＝，
∴＝3，
解得x＝．
即AM＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程的思想方法．
15、．
【分析】直接利用概率求法，白球数量除以总数进而得出答案．
【详解】∵一个不透明的盒子中有4个白球，3个黑球，2个红球，
∴随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
16、1
【分析】由二次函数的非负性得a-1≥0，解得a≥1，根据被开方数越小，算术平方根的值越小，可得+1≥1，所以代数式的最小值为1.
【详解】解：∵≥0，
∴+1≥1，
即的最小值是1．
故答案为：1．
【点睛】
本题是一道求二次根式之和的最小值的题目，解答本题的关键是掌握二次根式的性质.
17、1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a=-4，b=-3，
则ab=1．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
18、100π
【分析】圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷1．
【详解】解：设扇形半径为R．
∵底面周长是10π，扇形的圆心角为90°，
∴10π=×1πR，
∴R=10，
∴侧面积=×10π×10=100π，
故选：C．
【点睛】
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
三、解答题(共66分)
19、（1）﹣6xy﹣3y2；（2）
【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则,即可求解；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可求解．
【详解】（1）原式＝x2﹣2xy﹣（x2+3xy+xy+3y2）
＝x2﹣2xy﹣x2﹣3xy﹣xy﹣3y2
＝﹣6xy﹣3y2；
（2）原式＝（+）÷
＝÷（a﹣2）
＝•
＝．
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算和分式的混合运算，掌握合并同类项法则和分式的通分和约分是解题的关键.
20、（1）；（2），，；（3）A.①，②，，；B.①，②，，.
【分析】（1）根据点在的图象上，求得的值，从而求得的值；
（2）点在直线上易求得点的坐标，证得可求得点的坐标，证得即可求得点的坐标；
（3）A.①作轴，利用平行四边的面积公式先求得点的纵坐标，从而求得答案；
②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；
B.①作轴，根据菱形的性质结合相似三角形的性质先求得点的纵坐标，从而求得答案；
②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解；
【详解】（1）在的图象上，
，
，
∴点的坐标是 ，
在的图象上，
∴，
∴；
（2）对于一次函数，
当时，，
∴点的坐标是 ，
当时，，
∴点的坐标是 ，
∴，，
在矩形中，
，，
∴，
∴，
，
，
，
∴点的坐标是 ，
矩形ABCD中，AB∥DG，
∴
∴点的坐标是 ，
故点，，的坐标分别是： ， ， ；
（3）A：①过点作轴交轴于点，
轴，，
四边形为平行四边形，
的纵坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标是 ，
②当时，如图1，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；
当时，如图2，过点作⊥轴于，直线交 轴于，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵点的坐标是 ，点的坐标是 ，
∴，，，
点的坐标是 ，
当时，如图3，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；
B：①过点作轴于点
， ， ，
∴，，，
，
四边形为菱形，，
∵轴，
∴ME∥BO，
∴ ，
，
，
，
的纵坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
②当时，如图4，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；
当时，如图5，过点作⊥轴于，直线交 轴于，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵点的坐标是 ，点的坐标是 ， ，
∴，，，
点的坐标是 ，
当时，如图6，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是；
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，掌握函数图象上点的坐标特征和矩形、菱形的性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，综合性强，有一定的难度．
21、（1）y=﹣x2+4x+5；（2）1．
【分析】（1）由A、C、（1，8）三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由B、C两点的坐标求得直线BC的解析式；过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=
【详解】（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴，
解方程组，得，
故抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣（x﹣2）2+9，
∴M（2，9），B（5，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
解得,
则直线BC的解析式为：y=﹣x+5.
过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，
则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=
当x=2时，y=﹣2+5=3，则N（2，3），
则MN=9﹣3=6，
则
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点和待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键.
22、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，可证明△MDE≌△NCE（AAS）；
（2）过点M作MG⊥BN于点G，由等腰三角形的性质得出BG＝BN＝BN，由中位线定理得出EF＝BN，则可得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△MDE≌△NCE（AAS）；
（2）证明：过点M作MG⊥BN于点G，
∵BM＝MN，
∴BG＝BN＝BN，
∵矩形ABCD中，∠A＝∠ABG＝90°，
又∵MG⊥BN，
∴∠BGM＝90°，
∴四边形ABGM为矩形，
∴AM＝BG＝，
∵EF//BN，E为DC的中点，
∴F为BM的中点，
∴EF＝BN，
∴AM＝EF．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
23、 (1)见解析;(2) ;(3) 不会随着α的变化而变化
【解析】（1）先判断出△BCD是等边三角形，进而求出∠ADP=∠ACD，即可得出结论；
（2）求出PH，最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明．
【详解】（1）证明：∵△ABC是直角三角形，点D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∵在△BCD中，BC=BD且∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴∠ACD=90°－∠BCD=30°，
∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=30°，
在△ADC与△APD中，∠A=∠A，∠ACD=∠ADP，
∴△ADC∽△APD.
（2）由（1）已得△BCD是等边三角形，∴BD=BC=AD=2，
过点P作PH⊥AD于点H，
∵∠ADP=30°=90°－∠B=∠A，
∴AH=DH=1， tanA=，
∴PH=.
∴△APD的面积=AD·PH=
（3）的值不会随着α的变化而变化.
∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°，
在△MPD与△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，
∴△MPD∽△NCD，∴，
由（1）知AD=CD，∴，
由（2）可知PD=2AH，∴PD=，
∴．
∴的值不会随着α的变化而变化.
【点睛】
属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积等，综合性比较强，对学生综合能力要求较高.
24、（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）存在一点P或，使它到x轴的距离为1
【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出A和C的坐标，再将点A和点C的坐标代入二次函数解析式即可得出答案；
（2）先求出顶点D的坐标，再过D点作DM平行于y轴交AC于M，再分别以DM为底求△ADM和△DCM的面积，相加即可得出答案；
（3）令y=1或y=-1，求出x的值即可得出答案.
【详解】解：（1）直线y＝﹣x+2中，当x = 0时，y = 2；
当y=0时，0 =﹣x+2，解得x = 1
∴点A、C的坐标分别为（0，2）、（1，0），
把A（0，2）、C（1，0）代入
解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）y＝﹣x2+x+2
∴抛物线的顶点D的坐标为，
如图1，设直线AC与抛物线的对称轴交于点M
直线y＝﹣x+2中，当x = 时，y =
点M的坐标为，则DM=
∴△DAC的面积为=；
（3）当P到x轴的距离为1时，则
①当y=1时，﹣x2+x+2=1，
而，所以方程没有实数根
②当y= - 1时，﹣x2+x+2= - 1，
解得
则点P的坐标为或；
综上，存在一点P或，使它到x轴的距离为1．
【点睛】
本题考查的是二次函数，难度适中，需要熟练掌握“铅垂高、水平宽”的方法来求面积.
25、（1）y=﹣+2x﹣；（2）；（3）存在最大值，此时P点坐标（，）．
【分析】（1）将A、B两点坐标分别代入抛物线解析式，可求得待定系数a和b，即可确定抛物线解析式；（2）因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，根据抛物线解析式求出C点坐标，根据勾股定理求出BC的长，再求出AB的长，利用相似三角形的性质即两个三角形相似，对应线段成比例，可求得AD的长，即为⊙A的半径；（3）先由B,C点坐标求出直线BC解析式，然后过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，因为P在抛物线上，P,Q点横坐标相同，所以可设出P、Q点的坐标，并把PQ的长度表示出来，进而表示出△PQC和△PQB的面积，两者相加就是△PBC的面积，再利用二次函数的性质讨论其最大值，容易求得P点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴把A、B两点坐标代入可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=﹣+2x﹣；
（2）过A作AD⊥BC于点D，
如图1：因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以AD为⊙A的半径，
由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），
∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得：BC===，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴，即，
解得AD=，
即⊙A的半径为；
（3）∵C（0，﹣），
∴设直线BC解析式为y=kx﹣，
把B点坐标（5,0）代入可求得k=，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，
过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，
如图2，因为P在抛物线上，Q在直线BC上，P,Q两点横坐标相同，
所以设P（x，﹣+2x﹣），
则Q（x，x﹣），
∴PQ=（﹣+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣+x=﹣+，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ
=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）
=PQ•OB=PQ
=×[﹣+]
=，
∵<0，∴当x=时，S△PBC有最大值，
把x=代入﹣+2x﹣，
求出P点纵坐标为，
∴△PBC的面积存在最大值，此时P点坐标（，）．
【点睛】
本题考查1．二次函数的综合应用；2．切线的性质；3．相似三角形的判定和性质；4．用待定系数法确定解析式，综合性较强，利用数形结合思想解题是关键．
26、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由垂直的定义，得到，由同角的余角相等，得到，即可得到结论成立；
（2）由（1）可知，得到，即可求出BD.
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵,,
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，
即，
∴．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题.
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