资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
X
﹣1
0
1
3
y
﹣
3
3
下列结论：
（1）abc＜0；
（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
（3）16a+4b+c＜0；
（4）抛物线与坐标轴有两个交点；
（5）x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；
其中正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线y=(x－4)(x＋2)的对称轴方程为（ ）
A．直线x=-2 B．直线x=1 C．直线x=-4 D．直线x=4
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查
B．一组数据3，6，6，7，8，9的中位数是6
C．从2000名学生中选出200名学生进行抽样调查，样本容量为2000
D．一组数据1，2，3，4，5的方差是2
6．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
7．若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系数中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
9．一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，则不等式|﹣x+3|＞﹣的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞4 B．x＜﹣1或0＜x＜4
C．x＜﹣1或x＞0 D．x＜﹣1或x＞4
11．已知二次函数，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且满足，则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝____．
14．如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱 洛三角形．若正三角形边长为 3 cm，则该莱洛三角形的周长为_______cm．
15．如图,P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=____________.
16．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出______个小分支．
17．在阳光下，高6m的旗杆在水平地面上的影子长为4m，此时测得附近一个建筑物的影子长为16m，则该建筑物的高度是_____m．
18．已知点A（m,1）与点B（3，n）关于原点对称，则m+n=_________。
三、解答题（共78分）
19．（8分）在等边中，点为上一点，连接，直线与分别相交于点，且．
（1）如图（1），写出图中所有与相似的三角形，并选择其中的一对给予证明；
（2）若直线向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；
（3）探究:如图（1），当满足什么条件时(其他条件不变)，?请写出探究结果，并说明理由(说明:结论中不得含有未标识的字母)．
20．（8分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C
（1）求证：∠CBP=∠ADB
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长.
21．（8分）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么小球抛出 秒后达到最高点．
22．（10分）不透明的袋中有四个小球，分别标有数字1、2、3、4，它们除了数字外都相同。第一次从中摸出一个小球，记录数字后放回袋中，第二次摇匀后再随机摸出一个小球.
（1）求第一次摸出的小球所标数字是偶数的概率；
（2）求两次摸出的小球所标数字相同的概率.
23．（10分）已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣4）、B（0，﹣4）、C（1，﹣2）．
（1）△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1，不用画图，请直接写出△A1B1C1的顶点坐标：A1 ，B1 ，C1 ；
（2）在图中画出△ABC关于原点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，请直接写出△A2B2C2的顶点坐标：A2 ，B2 ，C2 ．
25．（12分）万州三中初中数学组深知人生最具好奇心和幻想力、创造力的时期是中学时代，经研究，为我校每一个初中生推荐一本中学生素质数育必读书《数学的奥秘》，这本书就是专门为好奇的中学生准备的．这本书不但给于我们知识，解答生活中的疑惑，更重要的是培养我们细致观察、认真思考、勤于动手的能力．经过一学期的阅读和学习，为了了解学生阅读效果，我们从初一、初二的学生中随机各选20名，对《数学的奥秘》此书阅读效果做测试（此次测试满分：100分）．通过测试，我们收集到20名学生得分的数据如下：
初一
96
100
89
95
62
75
93
86
86
93
95
95
88
94
95
68
92
80
78
90
初二
100
98
96
95
94
92
92
92
92
92
86
84
83
82
78
78
74
64
60
92
通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
初一
87.5
91
m
96.15
初二
86.2
n
92
113.06
某同学将初一学生得分按分数段（，，，），绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如图（均不完整），初一学生得分频数分布直方图 初二学生得分扇形统计图（注：x表示学生分数）
请完成下列问题：
（1）初一学生得分的众数________；初二学生得分的中位数________；
（2）补全频数分布直方图；扇形统计图中，所对用的圆心角为________度；
（3）经过分析________学生得分相对稳定（填“初一”或“初二”）；
（4）你认为哪个年级阅读效果更好，请说明理由．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）已知AB＝4，AE＝1．求BF的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】先根据表格中的数据大体画出抛物线的图象，进一步即可判断a、b、c的符号，进而可判断（1）；
由点（0，3）和（3，3）在抛物线上可求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的开口方向并利用二次函数的性质即可判断（2）；
由（2）的结论可知：当x＝4和x＝﹣1时对应的函数值相同，进而可判断（3）；
根据画出的抛物线的图象即可判断（4）；
由表中的数据可知：当x＝3时，二次函数y＝ax2+bx+c＝3，进一步即可判断（5），从而可得答案.
【详解】解：（1）画出抛物线的草图如图所示：则易得：a<0，b>0，c>0，∴abc＜0，故（1）正确；
（2）由表格可知：点（0，3）和（3，3）在抛物线上，且此两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝，
因为a<0，所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＝4和x＝﹣1时对应的函数值相同，
∵当x=－1时，y<0，∴当x=4时，y<0，即16a+4b+c＜0，故（3）正确；
（4）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，故（4）错误；
（5）由表中的数据可知：当x＝3时，二次函数y＝ax2+bx+c＝3，∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（5）正确；
综上，结论正确的共有3个，故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图象和性质以及抛物线与一元二次方程的关系，根据表格中的数据大体画出函数图象、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
2、D
【分析】依据，即可得到a=b，进而得出的值．
【详解】∵，∴3a﹣3b=5b，∴3a=8b，即a=b，∴==．
故选D．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解决问题的关键是运用内项之积等于外项之积．
3、B
【解析】把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴方程即可．
【详解】解：y=（x+2）（x－4），
=x2－2x－8，
=x2－2x+1－9，
=（x－1）2－9，
∴对称轴方程为x=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，是基础题，把抛物线解析式整理成顶点式解析式是解题的关键．
4、D
【解析】将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.
【详解】原式=×=×（+1）=2+.
故选D.
【点睛】
本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.
5、D
【分析】根据调查方式对A进行判断；根据中位数的定义对B进行判断；根据样本容量的定义对C进行判断；通过方差公式计算可对D进行判断．
【详解】A. 了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，所以A选项错误；
B. 数据3，6，6，7，8，9的中位数为6.5，所以B选项错误；
C. 从2000名学生中选出200名学生进行抽样调查，样本容量为200，所以C选项错误；
D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是2，所以D选项正确
故选D.
【点睛】
本题考查了方差，方差公式是：，也考查了统计的有关概念.
6、B
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．
【点睛】
考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7、C
【分析】根据ab>0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．
【详解】解：.A.根据一次函数可判断a>0，b<0，即ab<0，故不符合题意，
B. 根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意，
C. 根据一次函数可判断a<0，b<0，即ab>0，根据反比例函数可判断ab>0，故符合题意，
D.根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质是解决问题的关键．
8、D
【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
∵B为的中点，即，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，
∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立．
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D．
9、B
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中球的总数为：2+3=5，有2个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为：．
故选B．
10、C
【分析】先解方程组得A（﹣1，4），B（4，﹣1），然后利用函数图象和绝对值的意义可判断x＜﹣1或x＞1时，|﹣x+3|＞﹣．
【详解】解方程组得或，则A（﹣1，4），B（4，﹣1），
当x＜﹣1或x＞1时，|﹣x+3|＞﹣，
所以不等式|﹣x+3|＞﹣的解集为x＜﹣1或x＞1．
故选：C．
【点睛】
考核知识点:一次函数与反比例函数.解方程组求函数图象交点是关键.
11、A
【分析】根据，求得m＝3或−1，根据当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，从而判断m＝-1符合题意，然后把x＝0代入解析式求得y的值．
【详解】解：∵，
∴m＝3或−1，
∵二次函数的对称轴为x＝m，且二次函数图象开口向下，
又∵当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，
∴−1≤m≤0
∴m＝-1符合题意，
∴二次函数为，
当x＝0时，y＝1．
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据题意确定m＝-1是解题的关键．
12、C
【解析】外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、﹣1．
【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值．
【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
14、
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【详解】解：该莱洛三角形的周长=3×.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边三角形的性质．
15、
【解析】∵点P的坐标为（3，4），
∴OP=，
∴.
故答案为：.
16、6
【分析】设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17、1
【分析】先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
【详解】解：设建筑物的高为h米，
则＝，
解得h＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
18、-1
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可直接得到m=-3，n=-1进而得到答案．
【详解】解：∵点A（m，1）与点B（3，n）关于原点对称，
∴m=-3，n=-1，
∴m+n=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
三、解答题（共78分）
19、（1） △BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，（3）当BD平分∠ABC时，PF=PE．
【分析】（1）由两角对应相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证明；
（2）成立，证法同（1）；
（3）先看PF=PE能得出什么结论，根据△BPF∽△EBF，可得BF2=PF∙PE=3PF2，因此，因为，可得∠PFB=90°，则∠PBF=30°，由此可得当BD平分∠ABC时，PF=PE．
【详解】解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠BPF=60°
∴∠BPF=∠EBF=60°，
∵∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF；
∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，
∴△BPF∽△BCD；
（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下：
如图（2）∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF；
∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，
∴△BPF∽△BCD．
如图（3），同理可证△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；
（3）当BD平分∠ABC时，PF=PE，
理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°．
∴PF=PB
又∵∠BEF=60°−30°=30°=∠ABP，
∴PB=PE．
∴PF=PE．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判断是解题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）BP=1.
【解析】分析：（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
详（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠CBP=∠ADB；
（2）解：∵OP⊥AD，
∴∠POA=90°，
∴∠P+∠A=90°，
∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴，即，
∴BP=1．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
21、1
【解析】试题分析：首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h=10t﹣5t2的顶点坐标即可．
解：h=﹣5t2+10t，
=﹣5（t2﹣6t+9）+45，
=﹣5（t﹣1）2+45，
∵a=﹣5＜0，
∴图象的开口向下，有最大值，
当t=1时，h最大值=45；
即小球抛出1秒后达到最高点．
故答案为1．
22、（1）（数字是偶数）；（2）（数字相同）
【分析】（1）利用概率公式求概率即可；
（2）先列表，然后根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：（1）第一次摸出的小球共有4种等可能的结果，其中摸出的小球所标数字是偶数的结果有2种，
∴（数字是偶数）=2÷4
（2）列表如下：
第二次 第一次
1
2
3
4
1
1,1
2,1
3,1
4,1
2
1,2
2,2
3,2
4,2
3
1,3
2,3
3,3
4,3
4
1,4
2,4
3,4
4,4
由表格可知：共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球所标数字相同的可能有4种
∴（数字相同）=4÷16
【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键．
23、见解析
【分析】通过角度转化，先求出∠D=∠B，然后根据∠C=∠DFG=90°，可证相似．
【详解】∵ DF⊥BC于F，∠C=90°
∴∠DFG＝∠C＝90°
又DE⊥AB于点E
∴∠DGB＋∠B＝90°
又∠DGB＋∠D＝90°
∴∠B=∠D
∴△DFG∽△BCA．
【点睛】
本题考查证相似，解题关键是通过角度转化，得出∠D=∠B．
24、（1）（2，4），（0，4），（﹣1，2）；（2）作图见解析；（4，﹣2），（4，0），（2，1）．
【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解可得；
（2）利用旋转变换的定义和性质作出对应点，再首尾顺次连接即可得．
【详解】（1）△A1B1C1的顶点坐标：A1 （2，4），B1（0，4），C1（﹣1，2），
故答案为：（2，4），（0，4），（﹣1，2）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
A2（4，﹣2），B2（4，0），C2（2，1），
故答案为：（4，﹣2），（4，0），（2，1）．
【点睛】
本题考查中心对称图形和旋转变换，作旋转变换时需注意旋转中心和旋转角，分清逆时针和顺时针旋转.
25、（1）95分，92分；（2）54；（3）初一；（4）初一，见解析
【分析】（1）根据众数和中位数知识计算即可；
（2）根据总人数为20人，算出的人数，补全频数分布直方图；再根据表格得出的人数，求出所占的百分比，算出圆心角度数即可；
（3）根据初一，初二学生得分的方差判断即可；
（4）根据平均数和方差比较，得出结论即可.
【详解】解：（1）初一学生得分的众数（分），
初二年级得分排列为60，64，74，78，78，82，83，84，86，92，92，92，92，92，92，94，95，96，98，100，
初二学生得分的中位数（分），
故答案为：95分，92分；
（2）的人数为：20-2-2-11=5（人），
补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中，人数为3人，则所对用的圆心角为，
故答案为：54；
（3）初一得分的方差小于初二得分的方差，
∴初一学生得分相对稳定，
故答案为：初一；
（4）初一阅读效果更好，
∵初一阅读成绩的平均数大于初二阅读成绩的平均数，初一得分的方差小于初二得分的方差，
∴初一阅读效果更好（答案不唯一，言之有理即可）．
【点睛】
本题是对统计知识的综合考查，熟练掌握频数分布直方图，扇形统计图，及方差知识是解决本题的关键.
26、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．
【详解】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∵AB＝4，AE＝1，
∴，
∴BF＝2．
【点睛】
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
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